GeoSELECT.ru



Математика / Реферат: Геометрия чисел (Математика)

Космонавтика
Уфология
Авиация
Административное право
Арбитражный процесс
Архитектура
Астрология
Астрономия
Аудит
Банковское дело
Безопасность жизнедеятельности
Биология
Биржевое дело
Ботаника
Бухгалтерский учет
Валютные отношения
Ветеринария
Военная кафедра
География
Геодезия
Геология
Геополитика
Государство и право
Гражданское право и процесс
Делопроизводство
Деньги и кредит
Естествознание
Журналистика
Зоология
Инвестиции
Иностранные языки
Информатика
Искусство и культура
Исторические личности
История
Кибернетика
Коммуникации и связь
Компьютеры
Косметология
Криминалистика
Криминология
Криптология
Кулинария
Культурология
Литература
Литература : зарубежная
Литература : русская
Логика
Логистика
Маркетинг
Масс-медиа и реклама
Математика
Международное публичное право
Международное частное право
Международные отношения
Менеджмент
Металлургия
Мифология
Москвоведение
Музыка
Муниципальное право
Налоги
Начертательная геометрия
Оккультизм
Педагогика
Полиграфия
Политология
Право
Предпринимательство
Программирование
Психология
Радиоэлектроника
Религия
Риторика
Сельское хозяйство
Социология
Спорт
Статистика
Страхование
Строительство
Схемотехника
Таможенная система
Теория государства и права
Теория организации
Теплотехника
Технология
Товароведение
Транспорт
Трудовое право
Туризм
Уголовное право и процесс
Управление
Физика
Физкультура
Философия
Финансы
Фотография
Химия
Хозяйственное право
Цифровые устройства
Экологическое право
   

Реферат: Геометрия чисел (Математика)




Введение.


Возникновением теории чисел мы, по большому счёту, обязаны Минковскому.
Минковский (Minkowski), Герман - выдающийся математик (1864 - 1909), еврей,
родом из России. Был профессором в Бонне, Кенигсберге, Цюрихе и Геттингене.
Сблизил теорию чисел с геометрией, создав особое учение о "геометрии чисел"
("Geometrie der Zahlen", 1896 - 1910; "Diophantische Approzimationen",
1907, и др.). Последняя его работа: "Raum und Zeit" (Лейпциг.,1909;
несколько русских переводов); здесь дана смелая математическая формулировка
так называемого "принципа относительности". Полное собрание сочинение
Минковского вышло в Лейпциге, в 1911 г.; биография Минковского в русском
издании "Пространство и время". Таким образом, Минковский сделал большой
вклад в развитие математики как науки. В частности, он сумел упростить
теорию единиц полей алгебраических чисел, а также упростил и развил
теорию аппроксимации иррациональных чисел рациональными, или теорию
диофантовых приближений. Под диофантовыми приближениями в данном случае
понимается раздел теории чисел, изучающий приближения действительных чисел
рациональными и вопросы, связанные с решением в целых числах линейных и
нелинейных неравенств с действительными коэффициентами. Это новое
направление, которое Минковский назвал „геометрией чисел", развилось
в независимый раздел теории чисел, имеющий много приложений в
самых различных вопросах и вместе с тем достаточно интересный для
самостоятельного изучения.



Постановка задачи.
Для начала я хочу рассмотреть некоторые понятия и результаты, играющие в
дальнейшем основную роль. Рассуждения, которыми мы здесь пользуемся, иногда
значительно отличаются от рассуждений в основных книгах по данному вопросу,
так как в данной работе мы имеем целью, не давая полных доказательств,
сделать для простейших случаев геометрическую ситуацию интуитивно ясной,
тогда как позднее мы будем вынуждены жертвовать наглядностью ради точности.
В работе рассматривается основная задача геометрии чисел, приводится
теорема Минковского с её доказательством, и объясняются такие понятия
геометрии чисел как решётки и критические решётки. В конце работы
приводится так называемая «неоднородная задача» геометрии чисел.



Основная задача геометрии чисел.

Основной и типичной задачей геометрии чисел является следующая
задача.
Пусть f(х1,…,xn) — функция вещественных аргументов, принимающая
вещественные значения. Как мал может быть (f(u1,…,un)( при подходящем
выборе целых чисел u1,…,un? Может встретиться тривиальный случай
f(0,…,0)=0, например, если f(х1,…,xn) является однородной формой; в этом
случае совокупность значений u1 = u2 = ... = un = 0 из рассмотрения
исключается (“однородная проблема”).
Обычно рассматриваются оценки, применимые не только для конкретных
функций f, но и для целых классов функций. Так, типичным результатом такого
рода является следующее предложение. Пусть
f(x1,x2) = a11x12 + 2a12x1x2 + a22x22 (1)
- положительно определённая квадратичная форма. Тогда найдутся такие
целые числа u1,u2, не равные одновременно нулю, что справедливо неравенство
f(u1,u2) ( (4D/3)1/2 (2)
где D = a11a22 – a122 – определитель формы. Ясно, что если этот результат
верен, то он является наилучшим. Действительно,
u12 + u1u2 + u22 ( 1
для всех пар целых чисел u1,u2, не равных одновременно нулю; здесь D =
3/4.
Конечно, случай положительно определённых бинарных квадратичных форм
крайне прост, и результат задачи был известен задолго до возникновения
геометрии чисел. Однако на положительно определённых бинарных квадратичных
формах относительно просто проводятся некоторые рассуждения геометрии
чисел, так что эти формы удобно использовать в качестве иллюстрации всех
рассуждений.
Только что сформулированный результат можно выразить наглядно.
Неравенство типа
f(x1,x2) ( k,
где f(x1,x2) — форма (1), а k — некоторое положительное число,
задает область ( плоскости {x1,x2}, ограниченную эллипсом. Таким образом,
наше предложение утверждает, что если k ( (4D/3)1/2, то область (
содержит точку (u1,u2) с целыми координатами u1 и u2, не равными
одновременно нулю.



Теорема Минковского.
Аналогичный, но, правда, не настолько точный результат немедленно следует
из основной теоремы Минковского. В двумерном случае эта теорема утверждает,
что область ( всегда содержит точку (u1,u2) с целыми координатами, отличную
от начала, если эта область удовлетворяет следующим трем условиям:
1) область ( симметрична относительно начала координат; т. е. если
точка (x1,x2) находится в (, то точка (-x1,-x2) также содержится
в (;
2) область ( выпукла; т. е. если (x1,x2), (y1,y2) — две какие-нибудь точки
области (, то и весь отрезок
{(x1 + (1-()y1, (x2 + (1-()y2}, 0 ( ( ( 1,
соединяющий эти точки, также содержится в (;
3) площадь ( больше 4.
Любой эллипс f(x1,x2) ( k удовлетворяет условиям 1) и 2).
Так как его площадь равна
k( / (a11a22 – a12)1/2 = k( / D1/2,
то он удовлетворяет условию 3), если k( > 4D1/2. Таким образом, мы
имеем результат, аналогичный приведенному выше предложению, если в (2)
константу (4/3)1/2 заменить любым числом, большим 4/(.



Доказательство теоремы Минковского.
Интересно будет кратко рассмотреть основные идеи, лежащие в основе
доказательства теоремы Минковского, потому что в формальных
доказательствах, приводимых основными источниками, они заслоняются
необходимостью получения сильных теорем, имеющих наиболее широкие
приложения.
[pic]
Вместо области ( Минковский рассматривает область ( = (/2, которая
состоит из точек (x1/2,x2/2), где (x1,x2) ( точки области (. Таким образом,
область ( симметрична относительно начала координат и выпукла, её площадь
равна четверти площади области ( и, следовательно, больше 1. В общем случае
Минковский рассматривает совокупность областей ( (u1,u2) с центрами в
целочисленных точках (u1,u2), полученных из тела ( параллельными
переносами.
Для начала справедливо отметить, что если ( и ((u1,u2) пересекаются, то
точка (u1,u2) находится в (. Обратное утверждение тривиально. Если точка
(u1,u2) находится в (, то точка (u1/2,u2/2) содержится как в (, так и в
((u1,u2). Действительно, пусть (?1, ?2) – точка, лежащая в пересечении.
Так как точка (?1, ?2) лежит в области ((u1,u2), то тогда точка (?1 – u1,
?2 – u2) лежит в области (; следовательно, ввиду симметрии области ( точка
(u1 - ?1, u2 - ?2) находится в (. Наконец, в силу выпуклости тела (
середина отрезка, соединяющего точку (u1 - ?1, u2 - ?2) с точкой (?1, ?2),
то есть точка (u1/2,u2/2), лежит в (, а потому точка (u1,u2) находится в (.
Что, собственно, и требовалось доказать. Ясно, что область ((u1,u2) тогда и
только тогда пересекается с областью ((u1’,u2’), когда область (
пересекается с областью ((u1 - u1’, u2 - u2’).
Таким образом, чтобы теорема Минковского была доказана, достаточно
показать, что если области ((u1,u2) не пересекаются, то площадь области
((u1,u2) не превышает 1. Небольшое размышление убеждает, что так должно
быть. Другое обоснование, возможно интуитивно более ясное, можно получить,
полагая, что область ( целиком содержится в квадрате
x1 ? X, |x2| ? X,
при этом нужно учитывать то, что выпуклая область конечной площади
ограничена.
Пусть U — достаточно большое целое число. Существует (2U + 1)2 областей
((u1,u2), координаты центров которых удовлетворяют неравенствам
u1 ? U, |u2| ? U.

Все эти области целиком находятся в квадрате

x1 ? U + X, |x2| ? U + X,
площадь которого равна
4 (U + X)2.
Так как предполагается, что области ((u1,u2) не пересекаются, то имеет
место неравенство
(2U + 1)2V ( 4(U + X)2,
где V – площадь области (, а значит, и любой области ((u1,u2). Устремляя
теперь U к бесконечности, мы получаем неравенство V ( 1, что и требовалось
доказать.



Решётки.
Преобразование координат в приведённом примере с определённой бинарной
квадратичной формой может привести и к другой точке зрения. Мы можем
представить форму f(x1,x2) как сумму квадратов двух линейных форм
f(x1, x2) = Х12 + Х22, (3)
где
Х1 = (x1 + (x2, X2 = (x1 + (x2, (4)
(,(,(,( - некоторые постоянные вещественные числа. Можно, например,
положить
( = a111/2, ( = a11-1/2a12,
( = 0, ( = a11-1/2D1/2.

Обратно, если (,(,(,( - такие вещественные числа, что (( - (( ( 0, и
формы Х1, Х2 заданы равенствами (4), то выражение

Х12 + Х22 = a11x12 + 2a12x1x2 + a22x22,
где
a11 = (2 + (2,
a12 = (( + ((, (5)
a22 = (2 + (2,
является положительно определенной квадратичной формой с определителем
D = a11a22 – a122 = ((( - (()2. (6)
Теперь будем рассматривать пару (Х1, Х2) как систему прямоугольных
декартовых координат. Тогда говорят, что точки (Х1, Х2), соответствующие
целым (x1, x2) в выражениях (4), образуют (двумерную) решетку (. В
векторных обозначениях решетка ( есть совокупность точек
(Х1, Х2) = u1((,() + u2((,(), (7)
где u1, u2 пробегают все целые числа; точки (векторы) ((,() и ((,()
образуют базис решётки (.

Рассмотрим теперь более подробно свойства решеток. Ввиду того, что мы
рассматриваем решетку ( просто как множество точек, мы можем её описать с
помощью различных базисов. Например, пара
(? – ?, ? – ?), (- ?, - ?)

является другим базисом решётки (. Фиксированный базис (?, ?), (?, ?)
решётки ( определяет разбиение плоскости двумя семействами равноудалённых
параллельных прямых; первое семейство состоит из тех точек (Х1, Х2),
которые имеют координаты вида (7), где u2 – любое целое число, а u1 – любое
вещественное. Для линий второго порядка семейства u1 и u2 меняются ролями.
Таким образом, плоскость разбивается на параллелограммы, вершинами которых
являются как раз точки решётки (.
Разумеется, что это разбиение зависит от выбора базиса. Однако, можно
показать, что площадь получаемых параллелограммов, именно число
|?? – ??|,
не зависит от выбора базиса. Это становится возможным, если показать, что
число N(X) точек решётки в достаточно большом квадрате
? (Х): |Х1| ? Х, |Х2| ? Х
удовлетворяет соотношению
N(X) / 4X2 > 1 / |?? - ??| (X > ?).
Действительно, рассмотрение идей доказательства теоремы Минковского о
выпуклом теле, которое было приведено в кратком виде выше, показывает, что
число точек решётки ( в квадрате ? (Х), грубо говоря, равно числу
параллелограммов, находящихся в этом квадрате. А это число, в свою очередь,
приблизительно равно площади квадрата ? (Х), делённой на площадь |?? - ??|
одного параллелограмма. Строго положительное число
d (() = |?? - ??| (8)
называется определителем решётки (. Как было только что показано, это
число не зависит от выбора базиса.



Критические решётки.
Используя введённые выше новые понятия, можно заметить, что утверждение о
существовании целых решений неравенства f(х1,х2) ( (4D/3)1/2 эквивалентно
утверждению о том, что любая решётка ( в области
Х12 + Х22 ? (4/3)1/2 d(() (9)
имеет точки, отличные от начала координат. В силу однородности это в свою
очередь эквивалентно утверждению, что открытый круг
?: Х12 + Х22 < 1 (10)
содержит точку каждой решётки (, для которой d(() < (3/4)1/2. А тот факт,
что существуют такие формы, для которых в (2) знак равенства необходим,
эквивалентен существованию решётки (с с определителем d((с) = (3/4)1/2, не
имеющей точек в круге ?. Таким образом, задача о произвольной определённой
бинарной квадратичной форме эквивалентна задаче о фиксированной области ? и
произвольной решётке. Аналогично исследование решёток с точками в области
| Х1 Х2| < 1
даёт информацию о минимумах inf |f(u1,u2)| неопределённых бинарных
квадратичных форм f(x1,x2). Здесь точная нижняя граница берётся по всем
целым числам u1 и u2, не равным одновременно нулю. Примеры можно
продолжить.
Подобные рассмотрения приводят к следующим определениям. Говорят, что
решётка ( допустима для области (точечного множества) ( в плоскости {Х1,Х2}
если она не содержит никаких других точек (, кроме, может быть, начала
координат. Последний случай возможен, когда начало координат является
точкой области (. Тогда мы говорим, что эта решётка (-допустима. Точная
нижняя грань ?(() определителей d(?) всех (-допустимых решёток является
константой области (. Если (-допустимых решёток не существует, то полагаем,
что ?(() = ?. Тогда любая решётка ?, для которой d(?) < ?((), обязательно
содержит точку области (, отличную от начала координат. (-допустимая
решётка ?, для которой d(?) = ?((), называется критической (для ().
Конечно, критические решётки, вообще говоря, существуют не всегда.
Важность критических решёток была замечена уже Минковским. Если (с –
критическая решётка области (, а решётка ? получена из ?с небольшой
деформацией (то есть малым изменением пары базисных векторов), то либо
решётка ? имеет точку, отличную от начала координат и лежащую в области (,
либо d(?) ? d(?с). Либо и то, и другое вместе.
В качестве примера можно снова рассмотреть открытый круг
?: Х12 + Х22 < 1.
Предположим, что ?с – критическая решётка области ?. Ниже будет дан
набросок доказательства того, что если критическая решётка существует, то
она должна иметь три пары точек ((А1, А2), ((В1, В2), ((С1, С2) на границе
Х12 + Х22 = 1 круга ?.
Если ?с не имеет точек на окружности Х12 + Х22 = 1, то можно будет
получить ?-допустимую решетку с меньшим определителем, гомотетически сжимая
решетку ?с к началу координат, то есть рассматривая решетку ( = t?с точек
(tX1, tX2), где (Х1, Х2) ( ?с , а t — это фиксированное число с условием 0
< t < 1. Тогда d(() = t2d((c) < d((c) и, очевидно, ( будет ?-допустимой
решеткой, если t достаточно близко к 1. Таким образом, решетка (c содержит
пару точек на окружности Х12 + Х22 = 1, координаты которых после
надлежащего поворота осей мы можем считать равными ± (1, 0).
Если бы на окружности Х12 + Х22 = 1 не было бы больше точек решетки (c,
то мы смогли бы получить ?-допустимую решетку ( с меньшим определителем,
сжимая решетку (c в направлении, перпендикулярном оси X1, то есть принимая
за ( решетку точек (Х1, tХ2), где (Х1, Х2) ( ?с, а t достаточно близко к 1.
Наконец, если бы ?с имела бы только две пары точек ±(1, 0), ± (В1, В2) на
границе, то решетку можно было бы слегка деформировать так, чтобы точка (1,
0) осталась на месте, а точка с координатами (В1, В2) продвинулась бы вдоль
окружности Х12 + Х22 = 1 ближе к оси Х1. Наглядно это представлено на
рисунке:
[pic]
Данная операция, как легко проверить, уменьшает определитель, и при
небольших деформациях получающаяся решётка ? остаётся ?-допустимой.
Действительно, (1,0) и (В1, В2) можно рассматривать как базис решётки ?с,
так как треугольник с вершинами (0, 0), (1, 0), (В1, В2), а следовательно,
и параллелограмм, отвечающий базису (1, 0), (В1, В2) не содержит внутри
себя точек ?с. Тогда критическая решётка ?с (если она существует) должна
иметь три пары точек на окружности Х12 + Х22 = 1. Легко увидеть, что
единственной решеткой, у которой три пары точек лежат на окружности Х12 +
Х22 = 1, а одна из пар есть пара ± (1, 0), является решетка ? ? с базисом
(1, 0), (1/2, ?3/4).
Она содержит вершины правильного шестиугольника
± (1, 0), ± (1/2, ?3/4), ±(-1/2, ?3/4),
лежащие на окружности Х12 + Х22 = 1, но не содержит ни одной точки (кроме
(0, 0)) в круге Х12 + Х22 < 1. Таким образом, мы показали, что если ? имеет
критическую решетку, то ?(?) = d(? ?) = (3/4)1/2. Минковский показал, что
критические решетки существуют для довольно широкого класса областей (,
показав, грубо говоря, что любую (-допустимую решетку ? можно постепенно
деформировать до тех пор, пока она не станет критической.



“Неоднородная задача”
Другим общим типом проблемы является следующая типичная «неоднородная
задача». Пусть f(х1,…,xn) — некоторая вещественнозначная функция
вещественных аргументов х1, . . ., хn. Требуется подобрать постоянное число
k со следующим свойством: если ?1, ..., ?n — любые вещественные числа, то
найдутся такие целые числа u1,…,un, что
|f(?1 – u1,…, ?n – un)|? k.
Подобные вопросы естественно возникают, например, в теории алгебраических
чисел. И на этот раз имеется простая геометрическая интерпретация. Для
наглядности положим n = 2. Пусть ( — множество таких точек (х1, х2)
двумерной евклидовой плоскости, что
|f(x1, …, xn)|? k.
Пусть u1, u2 — любые целые числа; обозначим через ((u1, u2) область,
полученную из ( параллельным переносом на вектор (u1, u2); иными словами,
((u1, u2) есть множество таких точек х1, х2, что
|f(х1 – u1, х2 – u2)|? k.
Неоднородная проблема состоит в выборе k таким образом, чтобы области
((u1, u2) покрывали всю плоскость. Желательно выбрать k, а значит и (,
наименьшим из всех возможных (но так, чтобы свойство покрывать всю
плоскость сохранилось). Здесь мы имеем противоположность постановке
однородной задачи, приведённой выше, где цель состояла в том, чтобы сделать
области наибольшими, но все еще не пересекающимися одна с другой.





Реферат на тему: Граничные условия общего вида

План.

1. Сопряженный оператор.
2. Сопряженная однородная задача.
3. Условия разрешимости.



Сопряженный оператор.

Обозначим через [pic] дифференциальный оператор второго порядка, т.е.
[pic] (1)
где [pic] представляют собой непрерывные функции в промежутке [pic]. Если
[pic] и [pic]- дважды непрерывно дифференцируемые на [pic]функции, то
имеем:
[pic] (2)
Как и в предыдущем параграфе, интегрирование соотношения (2) по частям
дает:
[pic] (3)
Обозначим дифференциальный оператор, входящий в подынтегральное выражение в
правой части (3) через [pic], т.е. [pic] (4)
При этом соотношение (3) перепишется так:
[pic] (5)
Оператор [pic] называется сопряженным по отношению к оператору [pic].
Умножая соотношение (4) на [pic] и интегрируя полученный результат по
частям, по отношению к оператору [pic]. Таким образом, операторы [pic] и
[pic] взаимно сопряжены.
Как и в предыдущем параграфе, дифференциальное уравнение:
[pic](6)
будем называть сопряженным дифференциальному уравнению:
[pic](7)
Если же [pic], то оператор [pic] и дифференциальное уравнение [pic]будем
называть сопряженными. Сравнивая выражения (1) и (5), приходим к выводу,
что [pic] тогда и только, когда:
[pic]
Таким образом, оператор [pic] будем самосопряженным тогда и только тогда,
когда [pic].
При этом:
[pic]
Так как любое дифференциальное уравнение вида (7) можно преобразовать в
самосопряженную форму, умножив на функцию [pic].
Дифференцируя соотношение (5) по [pic], получаем так называемую формулу
Лагранжа:
[pic] (8)
Правая часть этой формулы может быть записана как:
[pic] (9)
где
[pic] [pic] [pic] (10)
Отметим, что:
[pic] и следовательно, матрица [pic]-невырожденная. Подстановка выражения
(9) в соотношение (8) дает:
[pic](11)

Сопряженная однородная задача.

Введем следующее невырожденное линейное преобразование [pic] в вектор
[pic]:
[pic][pic](12),
где
[pic] [pic]
Заметим, что указанное преобразование может быть выполнено бесчисленным
множеством способов, в зависимости от выбора матрицы А. При заданном
ненулевом векторе [pic]две последние строки матрицы А можно выбрать так,
чтобы придать любые требуемые значения компонентам[pic]. Это замечание
используется в дальнейшем при нахождении вида сопряженных граничных
условий. Поскольку [pic], мы можем обратить преобразование (12) и получить:

[pic].
При этом (11) можно переписать как:
[pic]
или
[pic] (13),
где [pic] (14)
Билинейная форма [pic] в соотношении (13) называется каноническим
представлением билинейной формы в правой части тождества (11).
Для того чтобы найти граничные условия сопряженной задачи, положим в
соотношении (13)
[pic]и [pic]и получим:
[pic] (15)
Из формулы (21) следует, что однородные граничные условия, эквивалентны
равенствам:
[pic] (16)

[pic] (17)
С учетом равенств (16) и (17) соотношение (15) принимает вид:
[pic] (18)

При ненулевом векторе [pic] последние две строки матрицы А могут быть
выбраны так, чтобы компоненты [pic] и [pic] принимали любые требуемые
значения, лишь бы [pic] и [pic]не обращались в нуль одновременно. В
частности, нижние строки матрицы А можно выбрать из условия [pic]. При этом
из соотношения (11) следует, что [pic]. Аналогичным образом, нижние строки
матрицы А можно выбрать так, чтобы выполнялись равенства [pic]. При этом из
соотношения (11) вытекает, что [pic]. Таким образом, задача, сопряженная
задаче [pic](19)

имеет вид:

[pic] (20)

где [pic] и [pic] связаны с компонентами [pic] вектора [pic] соотношением
(14). Краевая задача (19) называется самосопряженной тогда и только тогда,
когда [pic]и каждая из двух компонент [pic] и [pic] является линейной
комбинацией [pic] и [pic], т.е. [pic]пропорциональна [pic].

Один из определителей:

[pic]

матриц-блоков

[pic]

должен быть отличным от нуля. Чтобы иметь возможность сравнить эти
результаты с теми. которые были получены в предыдущем параграфе,
предположим. что [pic]. Далее, выберем такие [pic]и [pic], чтобы строки
матрицы А были линейно независимы.

Например, положим [pic]и [pic].

При этом матрица А примет вид:

[pic] (21).

Из формулы (19) следует, что [pic].

Тогда

[pic] (22)

Подставляя матрицы (20) и (9) в соотношение (14) имеем (14а):

[pic]Следовательно, граничные условия сопряженной задачи имеют вид:

[pic] (22)
[pic] (23)
Для того, чтобы краевые задачи были самосопряженными необходимо, чтобы
[pic] и чтобы каждая из компонент [pic] и [pic] являлась линейной
комбинацией [pic] и [pic]. Как указывалось выше, [pic] тогда и только
тогда, когда [pic]. При этом условия (21) и (20) принимают вид:
[pic] (24)
Разрешая равенства относительно [pic] и [pic] при [pic] и заменяя [pic] на
[pic], получаем:
[pic] (25)
Сравнивая граничные условия (24) и (25), заключаем, что они совпадают тогда
и только тогда, когда:

[pic] (26)

Краевая задача при [pic] самосопряжена тогда и только тогда, когда
выполнены соотношения (24) и равенство [pic].

Условие разрешимости.

Определив сопряженную краевую задачу, вернемся к решению неоднородной
задачи. Используя определение (25), перепишем формулу Грина в виде:

[pic] (27)

[pic],

тогда из соотношения (27) вытекает, что условие разрешимости имеет вид:



[pic] (27)

Для того, чтобы сравнить условие (27) с условием разрешимости, используем
связь [pic] и [pic] с вектором [pic], описываемую формулой (14а) т.е.:

[pic] (28)

При этом соотношение (27) принимает вид:

[pic]

Если иметь дело с граничными условиями общего вида можно выразить какие-
либо два из граничных значений через два других.




Новинки рефератов ::

Реферат: Семья как социальный институт (Социология)


Реферат: Правоотношения (Право)


Реферат: Порядок формирования и использования средств Фонда социального страхования РФ (Страхование)


Реферат: Налоги с населения: роль, значение и перспективы развития (Финансы)


Реферат: Немецкий менталитет и происхождение двух мировых войн (Райнер Бендик) (История)


Реферат: Иностранцы в Германии (Иностранные языки)


Реферат: Историография Кубани ("Реликтовые интуиции памяти и исторические перпендикуляры") (Государство и право)


Реферат: Обучение детей английскому языку с 1 класса средней школы (Педагогика)


Реферат: Виды и роль эмоций в жизни человека (Психология)


Реферат: Коренные народности севера: история, культура, быт (История)


Реферат: Финансовые рынки Санкт-Петербурга (Финансы)


Реферат: НАТО. Создание и развитие (Политология)


Реферат: Производство чугуна и стали (Металлургия)


Реферат: Гегель о государстве (История)


Реферат: Конституция Российской Федерации и ее развитие (Право)


Реферат: Опpичнина (Литература)


Реферат: Векторная графика (Компьютеры)


Реферат: ЗАСОБИ СТИМУЛЮВАННЯ НАВЧАЛЬНОЇ АКТИВНОСТI МОЛОДИХ ШКОЛЯРiВ (Педагогика)


Реферат: А В Колчак (Исторические личности)


Реферат: Солнце (Астрономия)



Copyright © GeoRUS, Геологические сайты альтруист