GeoSELECT.ru



Математика / Реферат: Теорема Безу (Математика)

Космонавтика
Уфология
Авиация
Административное право
Арбитражный процесс
Архитектура
Астрология
Астрономия
Аудит
Банковское дело
Безопасность жизнедеятельности
Биология
Биржевое дело
Ботаника
Бухгалтерский учет
Валютные отношения
Ветеринария
Военная кафедра
География
Геодезия
Геология
Геополитика
Государство и право
Гражданское право и процесс
Делопроизводство
Деньги и кредит
Естествознание
Журналистика
Зоология
Инвестиции
Иностранные языки
Информатика
Искусство и культура
Исторические личности
История
Кибернетика
Коммуникации и связь
Компьютеры
Косметология
Криминалистика
Криминология
Криптология
Кулинария
Культурология
Литература
Литература : зарубежная
Литература : русская
Логика
Логистика
Маркетинг
Масс-медиа и реклама
Математика
Международное публичное право
Международное частное право
Международные отношения
Менеджмент
Металлургия
Мифология
Москвоведение
Музыка
Муниципальное право
Налоги
Начертательная геометрия
Оккультизм
Педагогика
Полиграфия
Политология
Право
Предпринимательство
Программирование
Психология
Радиоэлектроника
Религия
Риторика
Сельское хозяйство
Социология
Спорт
Статистика
Страхование
Строительство
Схемотехника
Таможенная система
Теория государства и права
Теория организации
Теплотехника
Технология
Товароведение
Транспорт
Трудовое право
Туризм
Уголовное право и процесс
Управление
Физика
Физкультура
Философия
Финансы
Фотография
Химия
Хозяйственное право
Цифровые устройства
Экологическое право
   

Реферат: Теорема Безу (Математика)



Теорема Безу
Этьен Безу–

французский математик, член Парижской Академии Наук( с 1758 года ),
родился в Немуре 31 марта 1730 года и умер 27 сентября 1783 года.
С 1763 года Безу преподавал математику в училище гардемаринов, а с 1768
года и в королевском артиллерийском корпусе.
Основные работы Этьена Безу относятся к высшей алгебре, они посвящены
созданию теории решения алгебраических уравнений. В теории решения
систем линейных уравнений он содействовал возникновению теории
определителей , развивал теорию исключения неизвестных из систем уравнений
высших степеней, доказал теорему (впервые сформулированную К.
Маклореном ) о том , что две кривые порядка m и n пересекаются не
более чем в mn точках. Во Франции и за её границей вплоть до 1848 года
был очень популярен его шеститомный“Курс математики “, написанный им в 1764-
69 годах. Безу развил метод неопределённых множителей, в элементарной
алгебре его именем назван способ решения систем уравнений, основанный на
этом методе . Часть трудов Безу посвящена внешней баллистике. Именем
учёного названа одна из основных теорем алгебры.



Теорема Безу.

Остаток от деления полинома Pn(x)
на двучлен (x-a) равен значению
этого полинома при x = a.


Пусть :

Pn(x) – данный многочлен степени n ,
двучлен (x-a) - его делитель,
Qn-1(x) – частное от деления Pn(x) на x-a (многочлен
степени n-1 ) ,
R – остаток от деления ( R не содержит переменной x как
делитель первой степени относительно x ).

Доказательство :

Согласно правилу деления многочленов с остатком можно записать :
Pn (x) = (x-a)Qn-1(x) + R .
Отсюда при x = a :
Pn (a) = (a-a)Qn-1 (a) + R =0*Qn-1(a)+R=
=0+R=R .

Значит , R = Pn (a) , т.е. остаток от деления полинома на
(x-a) равен значению этого
полинома при x=a , что и требовалось доказать .



Следствия из теоремы .


Следствие 1 :

Остаток от деления полинома Pn (x)
на двучлен ax+b равен значению
этого полинома при x = -b/a ,
т. е. R=Pn (-b/a) .


Доказательство :

Согласно правилу деления многочленов :
Pn (x)= (ax + b)* Qn-1 (x) + R .
При x= -b/a :
Pn (-b/a) = (a(-b/a) + b)Qn-1(-b/a) + R = R. Значит , R
= Pn (-b/a) , что и требовалось доказать.


Следствие 2:

Если число a является корнем
многочлена P (x) , то этот
многочлен делится на (x-a) без
остатка .

Доказательство :

По теореме Безу остаток от деления многочлена P (x) на x-
a равен P (a) , а по условию a является корнем P (x) , а это
значит , что P (a) = 0 , что и требовалось доказать .

Из данного следствия теоремы Безу видно , что задача решения
уравнения P (x) = 0 равносильна задаче выделения делителей многочлена
P , имеющих первую степень ( линейных делителей ) .


Следствие 3 :

Если многочлен P (x) имеет
попарно различные корни
a1 , a2 , … , an , то он делится на
произведение (x-a1) … (x-an)
без остатка .

Доказательство :

Проведём доказательство с помощью математической индукции по
числу корней . При n=1 утверждение доказано в следствии 2 .
Пусть оно уже доказано для случая , когда число корней равно k ,
это значит , что P(x) делится без остатка на (x-a1)(x-
a2) … (x-ak) , где
a1 , a2 , … , ak - его корни .
Пусть P(x) имеет k+1 попарно различных корней .По
предположению индукции a1 , a2 , ak , … , ak+1 являются корнями
многочлена, а , значит, многочлен делится на произедение (x-a1) … (x-
ak) , откуда выходит , что
P(x) = (x-a1) … (x-ak)Q(x).
При этом ak+1 – корень многочлена P(x) , т. е.


P(ak+1) = 0 .
Значит , подставляя вместо x ak+1 , получаем верное равенство
:
P(ak+1) = (ak+1-a1) … (ak+1-ak)Q(ak+1) =
=0 .
Но ak+1 отлично от чисел a1 , … , ak , и потому ни одно из
чисел ak+1-a1 , … , ak+1-ak не равно 0 . Следовательно , нулю
равно Q(ak+1) , т. е. ak+1 – корень многочлена Q(x) . А из
следствия 2 выходит , что Q(x) делится на x-ak+1 без
остатка .
Q(x) = (x-ak+1)Q1(x) , и потому
P(x) = (x-a1) … (x-ak)Q(x) =
=(x-a1) … (x-ak)(x-ak+1)Q1(x) .
Это и означает , что P(x) делится на (x-a1) … (x-
ak+1) без остатка .
Итак, доказано , что теорема верна при k =1 , а из её
справедливости при n = k вытекает , что она верна и при n =
k+1. Таким образом, теорема верна при любом числе корней , что
и требовалось доказать .



Следствие 4 :

Многочлен степени n имеет не более
n различных корней .


Доказательство :

Воспользуемся методом от противного: если бы многочлен Pn(x)
степени n имел бы более n корней - n+k (a1 , a2 , … , an+k
- его корни ) , тогда бы по ранее доказанному следствию 3 он

бы делился на произведение (x-a1) … (x-an+k) , имеющее степень
n+k , что невозможно .
Мы пришли к противоречию , значит наше предположение неверно и
многочлен степени n не может иметь более , чем n корней , что
и требовалось доказать .



Следствие 5 :

Для любого многочлена P(x)
и числа a разность
(P(x)-P(a)) делится без
остатка на двучлен (x-a) .


Доказательство :

Пусть P(x) – данный многочлен степени n , a - любое число .
Многочлен Pn(x) можно представить в виде :

Pn(x)=(x-a)Qn-
1(x)+R ,
где Qn-1(x) – многочлен , частное при делении Pn(x) на (x-
a) ,
R – остаток от деления Pn(x) на (x-a) .
Причём по теореме Безу :
R = Pn(a) , т.е.
Pn(x)=(x-a)Qn-1(x)+Pn(a) .
Отсюда
Pn(x) - Pn(a) = (x-a)Qn-1(x) ,
а это и означает делимость без остатка ( Pn(x) – Pn(a) )
на (x-a) , что и требовалось доказать .



Следствие 6 :

Число a является корнем
многочлена P(x) степени
не ниже первой тогда и
только тогда , когда
P(x) делится на (x-a)
без остатка .


Доказательство :

Чтобы доказать данную теорему требуется рассмотреть необходимость и
достаточность сформулированного условия .

1.Необходимость .

Пусть a – корень многочлена P(x) , тогда по следствию 2
P(x) делится на (x-a) без остатка .
Таким образом делимость P(x) на (x-a) является
необходимым условием для того , чтобы a являлось корнем P(x) ,
т.к. является следствием из этого .


2.Достаточность .

Пусть многочлен P(x) делится без остатка на (x-a),
тогда R = 0 , где R – остаток от деления P(x) на (x-a)
, но по теореме Безу R = P(a) , откуда выходит , что P(a) = 0
, а это означает , что a является корнем P(x) .
Таким образом делимость P(x) на (x-a) является и
достаточным условием для того , чтобы a являлось корнем P(x) .

Делимость P(x) на (x-a) является необходимым и достаточным
условием для того, чтобы a являлось корнем P(x) , что и
требовалось доказать .



Следствие 7(авторское):

Многочлен , не имеющийй действи-
тельных корней , в разложении
на множители линейных множителей
не содержит .

Доказательство :

Воспользуемся методом от противного: предполо-жим , что не имеющий
корней многочлен P(x) при разложении на множители содержит линейный
множитель (x – a):
P(x) = (x – a)Q(x),
тогда бы он делился на (x – a) , но по следствию 6 a являлось
бы корнем P(x) , а по условию он корней не содержит . Мы пришли
к противоречию , значит наше предположение неверно и многочлен ,
не имеющий действительных корней , в разложении на множители
линейных множителей не содержит , что и требовалось доказать .


На основании теоремы Безу и следствия 5 можно доказать
следующие утверждения:

1. Разность одинаковых натуральных степеней на разность их
оснований делится без остатка :

Пусть P(x) = xn , P(a) = an ,
тогда xn – an – разность одинаковых натуральных степеней .
По следствию 5
P(x) - P(a) = xn – an = (x – a)Q(x) ,
а это значит , что
(xn–an)/(x–a)=Q(x), т.е.
разность одинаковых натуральных степеней на разность их оснований
делится без остатка , что и требовалось доказать .
Итак
(xn – an)/(x – a) = xn-1 + axn-2 + a2xn-3 + … +an-2x + an-1.


2. Разность одинаковых чётных степеней на сумму их оснований
делится без остатка .

Пусть P(x) = x2k , тогда P(a) = a2k .
Разность одинаковых чётных степеней x2k - a2k равна P(x) –
P(a) .
P(a) = a2k = (-a)2k = P(-a) , т.е. x2k - a2k = P(x) – P(-a).
По следствию 5
P(x) - P(-a) = (x –(- a))Q(x)=
= (x + a)Q(x)
а это значит , что
x2k – a2k = (x + a)Q(x) или
(x2k – a2k)/(x + a) = Q(x) ,
т.е. разность одинаковых чётных степеней на сумму их оснований
делится без остатка , что и требовалось доказать .
Итак ,
(x2k – a2k)/(x + a) = x2k-1 – ax2k-2 + … +a2k-2x + a2k-1.


3. Разность одинаковых нечётных натуральных степеней на сумму их
оснований не делится .

Пусть P(x) = x2k+1 - a2k+1 – разность одинаковых нечётных
степеней .
По теореме Безу при делении x2k+1 - a2k+1 на x + a = x
– (-a) остаток равен
R = P(-a) = (-a)2k+1 – a2k+1 = -2a2k+1
Т. к. остаток при делении не равен 0 , то разность одинаковых
нечётных натуральных степеней на сумму их оснований не делится , что
и требовалось доказать .


4. Сумма одинаковых нечётных натуральных степеней на сумму их
оснований делится без остатка .

Пусть P(x) = x2л+1 , P(-a) = (-a)2л+1 = -а2л+1 ,
тогда P(x) – P(-a) = x2k+1 + a2k+1 – сумма одинаковых
нечётных натуральных степеней .
По следствию 5
P(x) - P(-a) = x2k+1 + a2k+1= (x –(- a))Q(x)=

= (x + a)Q(x),
а это значит , что
(x2k+1 + a2k+1)/(x + a) = Q(x) ,
т.е. сумма одинаковых нечётных натуральных степеней на сумму их
оснований делится без остатка , что и требовалось доказать .
Итак ,
(x2k+1 + a2k+1)/(x + a) = x2k - ax2k-1 + … - a2k-1x + a2k.


5. Сумма одинаковых чётных натуральных степеней на сумму их оснований
не делится .

Пусть P(x) = x2k + a2k – сумма одинаковых чётных степеней
.
По теореме Безу при делении x2k + a2k на x + a = x – (-
a) остаток равен
R = P(-a) = (-a)2k + a2k = 2a2k.
Т. к. остаток при делении не равен 0 , то сумма одинаковых чётных
натуральных степеней на сумму
их оснований не делится, что и требовалось доказать.


Остановимся на рассмотрении некоторых случаев применения
теоремы Безу к решению практических задач .


Пример 1.


Найти остаток от деления многочлена

x3 – 3x2 + 6x – 5
на двучлен x – 2 .

По теореме Безу
R = P3 (2) = 23 – 3*22 + 6*2 – 5 = 3 .
Ответ: R = 3 .

Пример 2.

Найти остаток от деления многочлена
32x4 – 64x3 + 8x2 + 36x + 4
на двучлен 2x – 1 .

Согласно следствию 1 из теоремы Безу
R=P4(1/2)=32*1/24–64*1/23 + 8*1/22+36*1/2+4=
= 2 – 8 + 2 + 18 + 4 =18 .
Ответ: R = 18 .


Пример 3.

При каком значении a многочлен
x4 + ax3 + 3x2 – 4x – 4
делится без остатка на двучлен x – 2 ?

По теореме Безу
R = P4 (2) = 16 + 8a + 12 – 8 – 4 = 8a +16.

Но по условию R = 0 , значит
8a + 16 = 0 ,
отсюда
a = -2 .
Ответ: a = -2 .
Пример 4.

При каких значениях a и b многочлен
ax3 + bx2 – 73x + 102
делится на трёхчлен
x2 – 5x + 6 без остатка ?

Разложим делитель на множители :
x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3) .
Поскольку двучлены x – 2 и x – 3 взаимно просты , то данный
многочлен делится на x – 2 и на x – 3 , а это
значит , что
по теореме Безу

R1 = P3 (2) = 8a + 4b – 146 + 102 =
= 8a + 4b – 44 = 0

R2 = P3 (3) = 27a+9b – 219 + 102 =
= 27a +9b -117 =0

Решим систему уравнений :

8a + 4b – 44 = 0
27a + 9b – 117 = 0

2a + b = 11
3a + b = 13

Отсюда получаем :
a = 2 , b = 7 .

Ответ: a = 2 , b = 7 .
Пример 5.

При каких значениях a и b многочлен
x4 + ax3 – 9x2 + 11x + b
делится без остатка на трёхчлен
x2 – 2x + 1 ?

Представим делитель так :
x2 – 2x + 1 = (x – 1)2
Данный многочлен делится на x – 1 без остатка ,
если по теореме Безу

R1 = P4 (1) = 1 + a – 9 + 11 + b = a + b + 3 = 0.

Найдём частное от деления этого многочлена на x – 1 :

_ x4 + ax3–9x2 + 11x–a –3 x – 1
x4 – x3
x3+(a+1)x2+(a–8)x+(a+3)
_(a + 1)x3 – 9x2
(a + 1)x3 – (a + 1)x2
_(a – 8)x2 + 11x
(a – 8)x2 – (a –8)x
_(a + 3)x – a – 3
(a + 3)x – a – 3
0
Частное
x3+(a+1)x2+(a–8)x+(a+3)
делится на (x –
1) без остатка , откуда
R2 = P3 (1) = 1 + (a + 1)*1 +(a – 8)*1 + a+3 =
=3a – 3 = 0 .

a + b + 3 = 0
3a – 3 = 0

a + b =-3
a = 1
Из системы : a = 1 , b = -4
Ответ: a = 1 , b = -4 .


Пример 6.

Разложить на множители многочлен P(x) = x4 +
4x2 – 5 .

Среди делителей свободного члена число 1 является корнем данного
многочлена P(x) , а это значит , что по следствию 2 из теоремы
Безу P(x) делится на (x – 1) без остатка :


_x4 + 4x2 – 5 x – 1
x4 – x3 x3 + x2 + 5x + 5
_x3 + 4x2 – 5
x3 – x2
_5x2 – 5
5x2 – 5x
_5x – 5
5x – 5
0


P(x)/(x – 1) = x3 + x2 + 5x + 5 , значит
P(x) = (x – 1)(x3 + x2 + 5x + 5).

Среди делителей свободного члена многочлена x3 + x2 + 5x + 5
x = -1 является его корнем , а это значит , что по следствию 2
из теоремы Безу x3 + x2 + 5x + 5 делится на (x + 1) без
остатка :


_x3 + x2 +5x + 5 x + 1
x3 + x2 x2 +5
_5x + 5
5x + 5
0

(x3 + x2 +5x + 5)/(x + 1) = x2 +5 ,
значит
x3 + x2 +5x + 5 = (x +1)(x2 +5).
Отсюда
P(x) = (x – 1)(x +1)(x2 +5) .

По следствию 7 (x2 + 5) на множители не раскладывается , т.к.
действительных корней не имеет , поэтому P(x) далее на множители не
раскладывается .

Ответ : x4 + 4x2 – 5 = (x – 1)(x +1)(x2 +5) .


Пример 7.

Разложить на множители многочлен
P(x) = x4 + 324 .

P(x) корней не имеет , т.к. x4 не может быть равен -324 , значит
, по следствию 7 P(x) на множители не раскладывается .

Ответ : многочлен на множители не раскладывается .



Пример 8.

Какую кратность имеет корень 2 для многочлена
P(x) = x5 - 5x4 + 7x3 – 2x2 + 4x – 8 .


Определение: Если многочлен P(x) делится без остатка на (x – a)k , но
не делится на (x – a)k+1 , то говорят , что число a является корнем
кратности k для P(x).



_x5 - 5x4 + 7x3 – 2x2 + 4x – 8 x – 2
x5 - 2x4 x4 – 3x3 + x2 + 4
_-3x4 + 7x3 – 2x2 + 4x – 8
-3x4 + 6x3
_x3 – 2x2 + 4x – 8
x3 – 2x2
_4x – 8
4x – 8
0


_x4 – 3x3 + x2 + 4 x – 2
x4 – 2x3 x3 – x2 – x – 2
_-x3 + x2 + 4
-x3 +2x2
_-x2 + 4
-x2 + 2x
_-2x + 4
-2x + 4
0

_ x3 – x2 – x – 2 x – 2
x3 – 2x2 x2 + x + 1
_x2 – x – 2
x2 – 2x
_x – 2
x – 2
0

x2 + x + 1 на x – 2 не делится , т.к. R=22 + 2 + 1=

=7.
Значит , P(x)/(x – 2)3 = x2 + x + 1 , т.е. корень 2 имеет кратность
3 для многочлена P(x) .

Ответ: корень 2 имеет кратность 3 для многочлена P(x) .


Пример 9.

Составить кубический многочлен , имеющий корень 4 кратности 2 и
корень -2 .

По следствию 3 , если многочлен P(x) имеет корень 4 кратности 2
и корень –2 , то он делится без остатка на (x – 4)2(x + 2) , значит

P(x)/(x – 4)2(x + 2) = Q(x) ,
т.е. P(x) = (x – 4)2(x + 2)Q(x) =
= (x2 – 8x +16)(x + 2)Q(x) =
= (x3 – 8x2 + 16x +2x2 – 16x + 32)Q(x) =
= (x3 – 6x2 + 32)Q(x).

(x3 – 6x2 + 32) - кубический многочлен , но по условию P(x) – также
кубический многочлен, следовательно , Q(x) – некоторое действительное
число .
Пусть Q(x) = 1 , тогда P(x) = x3 – 6x2 + 32 .

Ответ: x3 – 6x2 + 32 .



Пример 10.

Определите a и b так , чтобы -2 было корнем многочлена P(x) =
x5 + ax2 + bx + 1, имеющим по крайней мере кратность два .

Если -2 – корень многочлена P(x) кратности два , то по
следствию 3 P(x) делится на (x + 2)2 без остатка (R = 0)
(x + 2)2 = x2 + 4x + 4

_x5 + ax2 + bx + 1 x2 + 4x + 4
x5 + 4x4 + 4x3 x3 – 4x2 + 12x – (a + 32)
_-4x4–4x3–ax2+bx+1
-4x4 – 16x3 – 16x2
_12x3 + (16 – a)x2 + bx + 1
12x3 +48x2 + 48x
_-(a + 32)x2 + (b – 48)x + 1
-(a + 32)x2 – 4(a + 32)x – 4(a + 32)

(4a +b – 48 + 128)x + 4a + 129

R = (4a +b – 48 + 128)x + 4a + 129 =
= (4a +b + 80)x + 4a + 129
Но R = 0 , значит
(4a +b + 80)x + 4a + 129 = 0 при любых x .
Это возможно при условии , что
4a +b + 80 = 0 ,
4a + 129 = 0
Решим систему двух уравнений :

4a +b + 80 = 0 a = -32,25
4a + 129 = 0 b = 49

Ответ: a = -32,25 , b = 49 .


Из рассмотренных примеров видно , что теорема Безу находит
применение при решении задач , связанных с делимостью многочленов
(нахождение остатка при делении многочленов , определение кратности
многочленов и т.д. ) , с разложением многочленов на множители ,
с определением кратности корней и многих других .
Теорема Безу находит применение при рассмотрении одной из
важнейших задач математики – решении уравнений .



Литература.



Бородин А.И., Бугай А.С.

Биографический словарь деятелей в области математики.

Математическая энциклопедия.

Яремчук Ф.П., Рудченко П.А.
Алгебра и элементарные функции.

Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварц-

бурд С.И.
Алгебра и математический анализ.

Курош А.Г.
Курс высшей алгебры.






Реферат на тему: Теорема Пифагора и способы ее доказательства


МОСКОВСКИЙ ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ

ШКОЛА — ЛАБОРАТОРИЯ № 799

Реферат по Геометрии

Тема: “Теорема Пифагора и способы ее доказательства”

Ученика Кудашева Алексея

Москва. 1997 г.



План:

1) Введение.

2) Биография Пифагора.

2) Не алгебраические доказательства теоремы.

А) Простейшее доказательство.


Б) Древнекитайское доказательство.

В) Древнеиндийское доказательство.

Г) Доказательство Евклида.

3) Алгебраические доказательства теоремы.

А) Предисловие.

Б) Первое доказательство.

В) Второе доказательство.

4) Заключение.

Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с
теоремой Пифагора. Пожалуй, даже те, кто в своей жизни навсегда распрощался
с математикой, сохраняют воспоминания о «пифагоровых штанах» — квадрате на
гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах. Причина такой
популярности теоремы Пифагора триедина: это простота — красота —
значимость. В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Это
сочетание двух противоречивых начал и придает ей особую притягательную
силу, делает ее красивой. Но, кроме того, теорема Пифагора имеет огромное
значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт,
что существует около 500 различных доказательств этой теоремы
(геометрических, алгебраических, механических и т.д.), свидетельствует о
гигантском числе ее конкретных реализаций. Открытие теоремы Пифагором
окружено ореолом красивых легенд. Прокл, комментируя последнее предложение
первой книги «Начал» Евклида, пишет: «Если послушать тех, кто любит
повторять древние легенды, то придется сказать, что эта теорема восходит к
Пифагору; рассказывают, что он в честь этого открытия принес в жертву
быка». Впрочем, более щедрые сказители одного быка превратили в одну
гекатомбу, а это уже целая сотня. И хотя еще Цицерон заметил, что всякое
пролитие крови было чуждо уставу пифагорейского ордена, легенда эта прочно
срослась с теоремой Пифагора и через две тысячи лет продолжала вызывать
горячие отклики. Так, оптимист Михаил Ломоносов (1711--1765) писал:
«Пифагор за изобретение одного геометрического правила Зевсу принес на
жертву сто волов. Но ежели бы за найденные в нынешние времена от остроумных
математиков правила по суеверной его ревности поступать, то едва бы в целом
свете столько рогатого скота сыскалось». А вот ироничный Генрих Гейне
(1797—1856) видел развитие той же ситуации несколько иначе: «Кто знает! Кто
знает! Возможно, душа Пифагора переселилась в беднягу кандидата, который не
смог доказать теорему Пифагора и провалился из-за этого на экзаменах, тогда
как в его экзаменаторах обитают души тех быков, которых Пифагор,
обрадованный открытием своей теоремы, принес в жертву бессмертным богам».
Сегодня теорема Пифагора обнаружена в различных частных задачах и чертежах:
и в египетском треугольнике в папирусе времен фараона Аменемхета первого
(ок. 2000 до н.э.), и в вавилонских клинописных табличках эпохи царя
Хаммурапи (XVIII в. до н.э.), и в древнеиндийском геометрическо-
теологическом трактате VII —V вв. до н.э. «Сульва сутра» («Правила
веревки»). В древнейшем китайском трактате «Чжоу-би суань цзинь», время
создания которого точно не известно, утверждается, что в XII в. до н. э.
китайцы знали свойства египетского треугольника, а к VI в. до н.э.—и общий
вид теоремы. Несмотря на все это, имя Пифагора столь прочно сплавилось с
теоремой Пифагора, что сейчас просто невозможно представить, что это
словосочетание распадется. То же относится и к легенде о заклании быков
Пифагором. Да и вряд ли нужно препарировать историко-математическим
скальпелем красивые древние предания. Сегодня принято считать, что Пифагор
дал первое доказательство носящей его имя теоремы. Увы, от этого
доказательства также не сохранилось никаких следов.

Я рассмотрю некоторые классические доказательства теоремы Пифагора,
известные из древних трактатов. Сделать это полезно еще и потому, что в
современных школьных учебниках дается алгебраическое доказательство
теоремы. При этом бесследно исчезает первозданная геометрическая аура
теоремы, теряется та нить Ариадны, которая вела древних мудрецов к истине,
а путь этот почти всегда оказывался кратчайшим и всегда красивым. Итак,
Теорема Пифагора.

Биография Пифагора. Великий ученый Пифагор родился около 570 г. до н.э.
на острове Самосе. Отцом Пифагора был Мнесарх, резчик по драгоценным
камням. Имя же матери Пифагора не известно. По многим античным
свидетельствам, родившийся мальчик был сказочно красив, а вскоре проявил и
свои незаурядные способности. Среди учителей юного Пифагора традиция
называет имена старца Гермодаманта и Ферекида Сиросского (хотя и нет
твердой уверенности в том, что именно Гермодамант и Ферекид были первыми
учителями Пифагора). Целые дни проводил юный Пифагор у ног старца
Гермодаманта, внимая мелодии кифары и гекзаметрам Гомера. Страсть к
музыке и поэзии великого Гомера Пифагор сохранил на всю жизнь. И, будучи
признанным мудрецом, окруженным толпой учеников, Пифагор начинал день с
пения одной из песен Гомера. Ферекид же был философом и считался
основателем италийской школы философии. Таким образом, если Гермодамант
ввел юного Пифагора в круг муз, то Ферекид обратил его ум к логосу. Ферекид
направил взор Пифагора к природе и в ней одной советовал видеть своего
первого и главного учителя. Но как бы то ни было, неугомонному
воображению юного Пифагора очень скоро стало тесно на маленьком Самосе, и
он отправляется в Милет, где встречается с другим ученым - Фалесом. Фалес
советует ему отправится за знаниями в Египет, что Пифагор и сделал.

В 548 г. до н.э. Пифагор прибыл в Навкратис – самосскую колонию, где
было у кого найти кров и пищу. Изучив язык и религию египтян, он уезжает в
Мемфис. Несмотря на рекомендательное письмо фараона, хитроумные жрецы не
спешили раскрывать Пифагору свои тайны, предлагая ему сложные испытания. Но
влекомый жаждой к знаниям, Пифагор преодолел их все, хотя по данным
раскопок египетские жрецы не многому могли его научить, т.к. в то время
египетская геометрия была чисто прикладной наукой (удовлетворявшей
потребность того времени в счете и в измерении земельных участков).
Поэтому, научившись всему, что дали ему жрецы, он, убежав от них, двинулся
на родину в Элладу. Однако, проделав часть пути, Пифагор решается на
сухопутное путешествие, во время которого его захватил в плен Камбиз, царь
Вавилона, направлявшийся домой. Не стоит драматизировать жизнь Пифагора в
Вавилоне, т.к. великий властитель Кир был терпим ко всем пленникам.
Вавилонская математика была, бесспорно, более развитой (примером этому
может служить позиционная система исчисления), чем египетская, и Пифагору
было чему поучится. Но в 530 г. до н.э. Кир двинулся в поход против племен
в Средней Азии. И, пользуясь переполохом в городе, Пифагор сбежал на
родину. А на Самосе в то время царствовал тиран Поликрат. Конечно же,
Пифагора не устраивала жизнь придворного полу раба, и он удалился в пещеры
в окрестностях Самоса. После нескольких месяцев притязаний со стороны
Поликрата, Пифагор переселяется в Кротон. В Кротоне Пифагор учредил нечто
вроде религиозно-этического братства или тайного монашеского ордена
(«пифагорейцы»), члены которого обязывались вести так называемый
пифагорейский образ жизни. Это был одновременно и религиозный союз, и
политический клуб, и научное общество. Надо сказать, что некоторые из
проповедуемых Пифагором принцыпов достойны подражания и сейчас.

...Прошло 20 лет. Слава о братстве разнеслась по всему миру. Однажды к
Пифагору приходит Килон, человек богатый, но злой, желая спьяну вступить в
братство. Получив отказ, Килон начинает борьбу с Пифагором,
воспользовавшись поджогом его дома. При пожаре пифагорейцы спасли жизнь
своему учителю ценой своей, после чего Пифагор затосковал и вскоре покончил
жизнь самоубийством.

"Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника,
равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах." Простейшее
доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного
прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема. В самом
деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных
треугольников (рис. 1), чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например,
для (ABC : квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных
треугольника, а квадраты, построенные на катетах,— по два. Теорема
доказана.

Древнекитайское доказательство. Математические трактаты Древнего Китая
дошли до нас в редакции II в. до н.э. Дело в том, что в 213 г. до н.э.
китайский император Ши Хуан-ди, стремясь ликвидировать прежние традиции,
приказал сжечь все древние книги. Во II в. до н.э. в Китае была изобретена
бумага и одновременно начинается воссоздание древних книг. Так возникла
тематика в девяти книгах» — главное из сохранившихся математико -
астрономических сочинений в книге «Математики» помещен чертеж (рис. 2, а),
доказывающий теорему Пифагора. Ключ к этому доказательству подобрать
нетрудно. В самом деле, на древнекитайском чертеже четыре равных
прямоугольных треугольника с катетами а, b и гипотенузой с уложены так, что
их внешний контур образует квадрат со стороной а+b, а внутренний — квадрат
со стороной с, построенный на гипотенузе (рис. 2, б). Если квадрат со
стороной с вырезать и оставшиеся 4 затушеванных треугольника уложить в два
прямоугольника (рис. 2, в), то ясно, что образовавшаяся пустота, с одной
стороны, равна с2, а с другой — а2+Ь2, т.е. с2=а2+Ь2. Теорема доказана.
Заметим, что при таком доказательстве построения внутри квадрата на
гипотенузе, которые мы видим на древнекитайском чертеже (рис. 2, а), не
используются. По-видимому, древнекитайские математики имели другое
доказательство. Именно если в квадрате со стороной с два заштрихованных
треугольника (рис. 2, б) отрезать и приложить гипотенузами к двум другим
гипотенузам (рис. 2, г), то легко обнаружить, что полученная фигура,
которую иногда называют «креслом невесты», состоит из двух квадратов со
сторонами а и b, т.е. с2=а2+Ь2.

На рисунке 3 воспроизведен чертеж из трактата «Чжоу-би...». Здесь
теорема Пифагора рассмотрена для египетского треугольника с катетами 3, 4 и
гипотенузой 5 единиц измерения. Квадрат на гипотенузе содержит 25 клеток, а
вписанный в него квадрат на большем катете—16. Ясно, что оставшаяся часть
содержит 9 клеток. Это и будет квадрат на меньшем катете.

Древнеиндийское доказательство. Математики Древней Индии заметили, что
для доказательства теоремы Пифагора достаточно использовать внутреннюю
часть древнекитайского чертежа. В написанном на пальмовых листьях трактате
«Сиддханта широмани» («Венец знания») крупнейшего индийского математика XII
в. Бхаскары помещен чертеж (рис. 4, а) с характерным для индийских
доказательств словом «смотри!». Как видим, прямо-угольньные треугольники
уложены здесь гипотенузой наружу и квадрат с2 перекладывается в «кресло
невесты» а2-b2 (рис. 4, б). Заметим, что частные случаи теоремы Пифагора
(например, построение квадрата, площадь которого вдвое больше площади
данного квадрата) встречаются в древнеиндийском трактате «Сульва сутра»
(VII —V вв. до н.э.).

Доказательство Евклида приведено в предложении 47 первой книги «Начал».
На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника АВС строятся
соответствующие квадраты (рис. 5) и доказывается, что прямоугольник BJLD
равновелик квадрату ABFH, а прямоугольник ICEL — квадрату АС КС. Тогда
сумма квадратов на катетах будет равна квадрату на гипотенузе. В самом
деле, затушеванные на рисунке треугольники ABD и BFC равны по двум сторонам
и углу между ними: FB=AB, BC==BD и (FBC=d+(ABC=(ABD. Но SABD=1/2 SBJLD, так
как у треугольника ABD и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая
высота LD. Аналогично SFBC=12 SABFH (BF—общее основание, АВ—общая высота).
Отсюда, учитывая, что SABD=SFBC , имеем SBJLD= SABFH. Аналогично, используя
равенство треугольников ВСК. и АСЕ, доказывается, что SJCEL=SACKG. Итак,
SABFH+SACKG=SBJLD+SJCEL= SBCED , что и требовалось доказать. Доказательство
Евклида в сравнении с древнекитайским или древнеиндийским выглядит
чрезмерно сложным. По этой причине его нередко называли «ходульным» и
«надуманным». Но такое мнение поверхностно. Теорема Пифагора у Евклида
является заключительным звеном в цепи предложений 1-й книги «Начал». Для
того чтобы логически безупречно построить эту цепь, чтобы каждый шаг
доказательства был основан на ранее доказанных предложениях, Евклиду нужен
был именно выбранный им путь.

Еще давно была изобретена головоломка, называемая сегодня «Пифагор».
Нетрудно убедиться в том, что в основе семи частей головоломки лежат
равнобедренный прямоугольный треугольник и квадраты, построенные на его
катетах, или, иначе, фигуры, составленные из 16 одинаковых равнобедренных
прямоугольных треугольников и потому укладывающиеся в квадрат. Такова лишь
малая толика богатств, скрытых в жемчужине античной математики — теореме
Пифагора. Далее я рассмотрю несколько алгебраических доказательств теоремы.



ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА. Пусть Т— прямоугольный треугольник с
катетами а, b и гипотенузой с (рис. 6, а). Докажем, что с2=а2+Ь2.

Построим квадрат Q со стороной а+Ь (рис. 6, б). На сторонах квадрата Q
возьмем точки А, В, С, D так, чтобы отрезки АВ, ВС, CD, DA отсекали от
квадрата Q прямоугольные треугольники Т1, Т2, Т3, Т4 с катетами а и b.
Четырехугольник ABCD обозначим буквой Р. Покажем, что Р — квадрат со
стороной с.

Все треугольники Т1, Т2, Т3, Т4 равны треугольнику Т (по двум
катетам). Поэтому их гипотенузы равны гипотенузе треугольника Т, т. е.
отрезку с. Докажем, что все углы этого четырехугольника прямые.

Пусть ( и (— величины острых углов треугольника Т. Тогда, как вам
известно, (+(= 90°. Угол у при вершине А четырехугольника Р вместе с
углами, равными ( и (, составляет развернутый угол. Поэтому (+(=180°. И так
как (+(= 90°, то (=90°. Точно так же доказывается, что и остальные углы
четырехугольника Р прямые. Следовательно, четырехугольник Р — квадрат со
стороной с.

Квадрат Q со стороной а+Ь слагается из квадрата Р со стороной с и
четырех треугольников, равных треугольнику Т. Поэтому для их площадей
выполняется равенство S(Q)=S(P)+4S(T) .

Так как S(Q)=(a+b) 2 ; S(P)=c2 и S(T)=1/2(ab), то, подставляя эти
выражения в S(Q)=S(P)+4S(T), получаем равенство

(a+b) 2=c2+4*(1/2)ab . Поскольку (a+b)2=a2+b2+2ab, то равенство
(a+b)2=c2+4*(1/2)ab можно записать так: a2+b2+2ab=c2+2ab.

Из равенства a2+b2+2ab=c2+2ab следует, что с2=а2+Ь2.
Ч.Т.Д.

ЕЩЕ ОДНО АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Пусть АВС — данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем
высоту CD из вершины прямого угла С (рис. 7).
По определению косинуса угла (Косинусом острого угла прямоугольного
треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе)
соsА=AD/AC=AC/AB. Отсюда AB*AD=AC2. Аналогично соsВ=BD/BC=BC/AB. Отсюда
AB*BD=ВС2. Складывая полученные равенства почленно и замечая, что AD+DB=AB,
получим:
АС2+ВС2=АВ(AD + DB)=АВ2. Теорема доказана.

В заключении еще раз хочется сказать о важности теоремы. Значение ее
состоит прежде всего в том, что из нее или с ее помощью можно вывести
большинство теорем геометрии. К сожалению, невозможно здесь привести все
или даже самые красивые доказательства теоремы, однако хочется надеется,
что приведенные примеры убедительно свидетельствуют об огромном интересе
сегодня, да и вчера, проявляемом по отношению к ней.
-----------------------

Рис 1.


Рис. 4



Рис. 2



Рис. 2


Рис. 5

[pic]


Рис. 3


[pic]


Рис. 5







Новинки рефератов ::

Реферат: Лекции по курсу истории Отечества (История)


Реферат: Пилотируемые орбитальные комплексы серии "Салют" ( Космонавтика)


Реферат: Борьба за существование (Биология)


Реферат: Русские монастыри (Архитектура)


Реферат: Урок в современной школе (Педагогика)


Реферат: Искусство росписи пасхальных яиц (Искусство и культура)


Реферат: Международно-правовые вопросы гражданства (Международное публичное право)


Реферат: Правовое положение иностранцев в Литовской Республике (Государство и право)


Реферат: Ароморфозы растений и животных (WinWord 98) (Биология)


Реферат: Роль флота в развитии военно-морского искусства (История)


Реферат: Расчет сетевой модели методом Форда (с программой) (Компьютеры)


Реферат: Художник Северного Возрождения: Питер Брейгель (Искусство и культура)


Реферат: Машинное гравирование (Технология)


Реферат: Банковские риски (Банковское дело)


Реферат: Преподавание фонетики (Педагогика)


Реферат: Вирусы и их разновидности (Программирование)


Реферат: Лекции по культурологии (Культурология)


Реферат: Социальная стратификация (Социология)


Реферат: Отливка (Металлургия)


Реферат: Гражданско-правовая ответственность: понятие, особенности, виды, условия (контрольная по основам права) (Гражданское право и процесс)



Copyright © GeoRUS, Геологические сайты альтруист