|
Реферат: Моделирование процессов ионной имплантации (Химия)
Московская Государственная Академия Тонкой Химической Технологии им. М. В.
Ломоносова.
________________________________________________________________
Кафедра ТПМ
КУРСОВАЯ РАБОТА
Тема: «Математическое моделирование ионно-имплантированных структур».
Руководитель Евгеньев С. Б.
Выполнил Гнездилов А. Л.
МОСКВА 1999г.
ПЛАН РАБОТЫ:
1. Общие сведения о процессе ионной имплантации.
2. Постановка задачи.
3. Математическая модель.
4. Программное обеспечение.
5. Техническое обеспечение.
6. Результаты расчета.
7. Заключение.
8. Литература.
Общие сведения о процессе ионной имплантации.
НАЗНАЧЕНИЕ ИОННОЙ ИМПЛАНТАЦИИ
Ионной имплантацией называется процесс внедрения в мишень ионизованных
атомов с энергией, достаточной для проникновения в ее приповерхностные
области. Успешное применение ионной имплантации определяется главным
образом возможностью предсказания и управления электрическими и
механическими свойствами формируемых элементов при заданных условиях
имплантирования.
Наиболее распространенным применением ИИ в технологии формирования
СБИС является процесс ионного легирования кремния. Часто приходится
проводить имплантацию атомов в подложку, которая покрыта одним или
несколькими слоями различных материалов. Ими могут быть как тонкие слои
тяжелых металлов (например, Та или TaSi2), так и диэлектриков.
Существование многослойной структуры способно вызвать резкие перепады в
профиле легирования на границе отдельных слоев. За счет столкновения ионов
с атомами приповерхностных слоев последние могут быть выбиты в более
глубокие области легируемого материала. Такие "осколочные эффекты" способны
вызвать ухудшение электрических характеристик готовых приборов.
Во многих случаях для получения необходимого профиля распределения
легирующей примеси в подложке применяют метод, основанный на
предварительной загонке ионов с их последующей термической разгонкой в
мишени. При этом имплантация проводится с малой энергией ионов.
Общая траектория движения иона называется длиной пробега R, а
расстояние, проходимое внедряемым ионом до остановки в направлении,
перпендикулярном к поверхности мишени, проецированной длиной пробега Rp.
СХЕМА УСТАНОВКИ
Схема установки для ионной имплантации приведена на рис. 1.
1 - источник ионов
2 - масс-спектрометр
3 - диафрагма
4 - источник высокого напряжения
5 - ускоряющая трубка
6 - линзы
7 - источник питания линз
8 - система отклонения луча по вертикали и система отключения луча
9 - система отклонения луча по горизонтали
10 - мишень для поглощения нейтральных частиц
11 - подложка
12 - электрометр
Магнитный масс-спектрометр предназначен для отделения ненужных ионов
от легирующих, электрометр - для измерения величины имплантированного
потока ионов. Маски для ИИ могут быть изготовлены из любых материалов,
используемых в технологии СБИС (фоторезист, нитриды, окислы, поликремний).
Управление дозой при ИИ затруднено рядом факторов. Это наличие потока
нейтральных частиц, обмен энергии ионов с молекулами газов, вторичная
электронная эмиссия из мишени, эфект обратного ионного распыления.
Для ликвидации последствий действия этих факторов используют следующие
технические приемы. Нейтральные молекулы отсеивают с помощью масс-
спектрометра (его магнитным полем не отклоняет нейтральные частицы и они не
попадают в апертурную диафрагму). Кроме того, в камере поддерживается
достаточно высокий вакуум, предотвращающий процесс нейтрализации ионов.
Вторичную электронную эмиссию подавляют, располагая около мишени ловушку
Фарадея.
От загрязнений поверхности кремния вследствие полимеризации
углеводородов ИИ проводят через окисную пленку, которую затем удаляют.
Профиль распределения примеси при ионной имплантации бора различных
энергий в кремний приведен на рис. 2. Для корректного теоретического
расчета профиля, особенно для больших значений энергий пучков ионов,
используют два объединенных распределения Гаусса
, где
D - поглощенная доза,
Rm - модальная длина пробега (аналог проекционной длины пробега при
Гауссовском распределении),
(R1, (R2 - флуктуации первого и второго распределения,
(Ri=(R1 при x>Rm, (Ri=(R2 при x 800 C
для устранения более сложных радиационных дефектов по сравнению с отжигом
слоев, имплантированных бором.
Когда имплантированный слой фосфора становится аморфным (при дозе выше
3*1014 см-2), начинает действовать другой механизм отжига. Температура
отжига при этом несколько меньше, чем для кристаллических слоев и
составляет 600 С. Более сложные процессы происходят при отжиге скрытых
слоев с аморфной структурой, расположенных на определенной глубине под
поверхностью подложки. Эпитаксиальная перекристаллизация начинается на
обеих поверхностях раздела аморфных и монокристаллических областей.
3. Изотермический отжиг
Дополнительная информация о характере распределения имплантированных
примесей может быть получена при проведении отжига при постоянной
температуре, но в течение различного времени. По мере увеличения времени
отжига электрическая активность легирующей примеси возрастает относительно
медленно; при этом доля электрически активных атомов бора повышается от
начального значения до величины, составляющей более 90 % этого значения.
Энергия активации соответствует генерации и миграции термически введенных
вакансий. Термически генерированные вакансии мигрируют к межузельным
образованиям. При этом происходит внедрение атомов бора в узлы
кристаллической решетки.
4. Диффузия имплантированных примесей.
Коэффициент диффузии бора может быть повышен за счет уничтожения кремниевых
вакансий и межузельных кластеров, при этом вакансии могут увеличить
коэффициент диффузии по узлам кристаллической решетки, а межузельные атомы
кремния могут вытеснять атомы бора из ее узлов, что приведет к быстрой
диффузии комплексов межузельный атом кремния - атом бора.
5. Быстрый отжиг.
Имплантированные слои могут быть подвергнуты лазерному отжигу с плотностью
энергии в диапазоне 1-100 Дж/см2. Вследствие короткого времени нагрева
имплантированные слои могут быть термообработаны без заметной диффузии
примеси. Имплантированные аморфные слои толщиной 100 нм перекристаллизуются
в течение нескольких секунд при Т= 800 С по механизму твердофазной
эпитаксии.
Процесс быстрого отжига относиться к категориям чистых процессов, и
загрязнения от элементов конструкции оборудования не создают серьезной
проблемы. Лазерная энергия может быть локализована на отдельной части
кристалла ИС, так что некоторые р-n переходы схемы могут размываться во
время отжига за счет диффузии в большей степени, тогда как другие не
претерпевают изменений.
Значительное преимущество метода то, что после расплавления и
кристаллизации аморфных слоев по методу жидкофазной эпитаксии в них
отсутствуют линейные дефекты.
С использованием технологии лазерного отжига создают биполярные и МОП-
транзисторы, кремниевые солнечные батареи.
6. Отжиг в атмосфере кислорода.
Процессы отжига, в результате которых все имплантированные ионы занимают
электрически активные положения в узлах кристаллической решетки, обычно
приводят к возникновению микродефектов. Эти дефекты называют вторичными
дефектами. Любые внешние микродефекты развиваются в большие дислокации и
дефекты упаковки. Эти дефекты, называемые третичными дефектами, имеют
достаточно большие размеры.
ПРИМЕНЕНИЕ ИОННОГО ЛЕГИРОВАНИЯ В ТЕХНОЛОГИИ СБИС
Создание мелких переходов
Требование формирования n+ слоев, залегающих на небольшой глубине, для СБИС
можно легко удовлетворить с помощью процесса ионной имплантации Аs. Мышьяк
имеет очень малую длину проецированного пробега (30 нм) при проведении
обычной имплантации с энергией ионов 50 кэВ.
Одной из прогрессивных тенденций развитии СБИС является создание КМОП-
транзисторов. В связи с этим большое значение имеет получение мелких p+ -
слоев. Такие слои очень сложно сформировать путем имплантации ионов В+.
Решение проблемы, связанной с имплантацией бора на небольшую глубину, на
практике облегчается использованием в качестве имплантируемых частиц ВF2.
Диссоциация молекулы ВF2+ при первом ядерном столкновении приводит к
образованию низкоэнергетических атомов бора. Кроме того, использование
молекулы ВF2 имеет преимущество при проведении процесса отжига структур.
Геттерирование
Процесс геттерирования основан на трех физических эффектах:
-освобождение примесей или разложение протяженных дефектов на
составные части.
-диффузия примесей или составных частей дислокаций.
-поглощении примесей или собственных межузельных атомов некоторым
стоком.
Рассмотрим четыре основные механизма геттерирования примесей.
1. Образование пар ионов.
Диффузия фосфора является эффективным методом геттерирования. Профиль
распределения таких примесей, как медь, которая в основном находится в
междоузлиях в решетке нелегированного кремния и диффундирует по
межузельному механизму, принимает форму диффузионного профиля распределения
фосфора. Атомы меди занимают положения в узлах кристаллической решетки
кремния в области, легированной фосфором, а затем захватываются вакансиями,
расположенными около атомов фосфора, образуя пары Р+Сu3- . Энергия связи и
коэффициент диффузии ионных пар определяются обоими ионами.
2. Геттерирование с использованием нарушенных слоев.
Геттерируюшее действие дефектов было исследовано с использованием
пескоструйной обработки, механического абразивного воздействия ультразвуком
или шлифованием. Особенности дефектов зависят от концентрации и вида
имплантированных частиц.
Оптимальная температура геттерирования определяется для каждого
конкретного случая. Время жизни неосновных носителей в слое,
имплантированном аргоном, существенно увеличивается после отжига при
температуре 850 С.
3. Внутреннее геттерирование
Геттером может служить преципитаты SiOx и комплексы дислокаций,
присутствующие в объеме кремниевой подложки после предварительной
имплантации в нее кислорода. Воздействие этих преципитатов на дислокации
приводит к тому, что последние действуют в качестве стока для примесей
тяжелых металлов, тогда как поверхностные области становятся свободными от
дефектов.
Эффекты, используемые в технологии СБИС
При высокой дозе имплантированного азота скорость окисления кремния
уменьшается из-за образования нитрида кремния, тогда как появление
дефектов, вводимых при имплантации B, Ar, As, Sb может привести к
увеличению скорости окисления. С помощью этих эффектов можно изменять
толщину окисла в различных областях приборов СБИС.
В другом случае окислы с поврежденной поверхностью используются для
уменьшения толщины маски по краям вытравленных в маске окон, при этом
поверхностная область стравливается быстрее, чем бездефектные участки.
2. Постановка задачи.
Постановка задачи заключается в разработке программного обеспечения,
которое необходимо, чтобы наглядно представить и понять, а также самому
принять неотъемлемое участие в процессе расчета основных явлений при ионной
имплантации.
1. По числу компонентов, заданной массе атомов, собственной
концентрации атомов в кристалле, зарядам ядер ионов и атомов мишени,
необходимо сделать расчет, конечным результатом которого послужит
графическое представление расчета (зависимость концентрации примеси
от глубины проникновения иона).
[pic]
Рис. 1.1. Окно заставки
Далее следует окно, в котором пользователь должен будет выбрать тип
решаемой задачи (Рис. 1.2.).
[pic]
Рис. 1.2. Выбор требуемой задачи (в данном случае выбрана задача №1)
Затем появляется окно, в котором пользователю необходимо ввести все
необходимые данные, для ее реализации (Рис. 1.3.).
[pic]
Затем выводится окно, в котором[pic] представлены результаты расчета
(Рис. 1.4.).
Конечным результатом данной задачи является форма с отчетом,
показанная в приложении.
2. Расчет профилей распределения концентрации внедренных примесей в
структурах с двойной имплантацией. Расчет производится путем
использования данных из предыдущей задачи, а также имеется набор
новых данных: энергия акцепторов, доза и все тоже самое для доноров.
Конечным результатом является расчет глубины залегания p-n перехода
и построение графической зависимости на основе рассчитанных данных.
Также, при выборе задачи №2 из меню заставки (см. Рис. 1.2.), появляется
окно для ввода необходимых данных (Рис. 2.1.).
[pic]
Рис. 2.1. Окно ввода данных (задача№2)
Затем выводится окно, в котором представлены результаты расчета (Рис.
2.2.).
[pic]
Рис. 2.2. Результаты расчета задачи№2
3. Расчет ионно-имплантированных структур с покрытием и без покрытия.
. Данная задача находится еще в проекте!
3. Математическая модель.
Задача№1:
Глубина проникновения в вещество характеризуется пробегом. Траектория
отдельных ионов в кристалле подобны ломанным линиям, каждый прямолинейный
участок и полная длина которых отличаются друг от друга. Вся совокупность
пробегов отдельных ионов группируется по закону нормального распределения
случайной величины со значением среднего полного пробега R и
среднеквадратичным отклонением пробега (R. Практическую важность имеет
средний нормальный пробег Rp – проекция траектории среднего полного пробега
на направление первоначальной скорости иона и его среднеквадратичное
отклонение (Rp. Для расчета среднего полного пробега R (см) иона с энергией
Е (эВ) используют формулы, в которых энергия и пробег выражены в
безразмерных единицах ( и ( соответственно:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Здесь L-нормирующий множитель пробега, см-1; F-нормирующий множитель
энергии, 1/эВ.
Радиус экранирования заряда ядра атомными электронами (см):
[pic]
Коэффициент передачи ионом с массой М1 атому с массой М2 максимально
возможной энергии при лобовом столкновении:
[pic]
Коэффициенты, учитывающие торможение, обусловленное ядерным
электронным взаимодействием:
[pic]
[pic]
Параметры, учитывающие торможение, обусловленные ядерным
взаимодействием, с=0.45, d=0.3.
Собственная концентрация атомов в кристалле N2, см-3, заряды ядер
иона Z1, атомов мишени Z2.
Профили распределения концентрации внедренных ионов определяются
характером распределения средних нормальных пробегов по глубине облученного
слоя. Пучок ионов, попадая в такие вещества, испытывает случайные
столкновения с атомами, и распределение пробегов описывается законом
распределения случайной величины. Аналогичная ситуация наблюдается и в
монокристаллах, если ионный пучок попадает на произвольную ориентированную
поверхность пластины относительно кристаллографических направлений с малыми
индексами, например вдоль оси (763). Такое внедрение называют не
ориентированным. В этом случае профиль внедренных атомов описывается, как и
для аморфных веществ, кривой Гаусса:
[pic]
Максимум концентрации примеси в отличие от случая введения ее методом
диффузии залегает не на поверхности, а на глубине x=Rp:
[pic]
Задача№2:
К примеру, для создания транзистора типа n-p-n в эпитаксиальный слой
с электропроводностью n- типа производят последовательную имплантацию ионов
акцепторной примеси с энергией Еа и дозой Nа для формирования базовой
области и ионов донорной примеси с энергией Ед и дозой Nд для формирования
эмиттера, причем Rpa>Rpd, а Cmax a < Cmax d. Суммарное распределение
примеси описывается выражением:
[pic]
Глубину залегания коллекторного перехода определяем из условия:
[pic]
откуда
[pic]
где
[pic]
Глубину залегания эмиттерного перехода с учетом того, что С(Xjэ)
>>Cb, определяем из условия:
[pic]
откуда
[pic]
где
[pic]
[pic]
[pic]
4. Программное обеспечение:
Разработанная расчетно-информационная система предназначена для
работы в среде Windows. Windows разработана корпорацией Microsoft, дата
первого поступления в продажу 1995 год и крупнейшие мировые компании
организовали выпуск различных приложений, использующих богатые возможности
новой операционной системы.
Эффективность работы компьютера определяется не только его аппаратным
обеспечением: моделью процессора, размерами жесткого диска, оперативной
памяти и т. п., но и установленной на нем оперативной системой. Оперативная
система это программа, которая осуществляет управление всеми устройствами
компьютера и процессом обработки на нем информации.
Windows 95/98 представляет собой высокопроизводительную,
многозадачную и многопоточную 32-разрядную операционную систему с
графическим интерфейсом и расширенными сетевыми возможностями. Она работает
в защищенном режиме и предназначена для настольных и персональных
компьютеров. Операционная система Windows позволяет более полно
использовать потенциал персонального компьютера.
Многозадачность означает, что можно работать с несколькими
программами одновременно. Многопоточное выполнение отдельной задачи
позволяет при задержке в выполнении одного потока работать со следующим.
Под потоком подразумевается последовательность команд, составляющих
отдельную частную задачу, решаемую внутри общей задачи (процесса).
Операционная система разработанная фирмой Microsoft обеспечивает
большое количество возможностей и удобств для пользователей. Широкое
распространение Windows сделало ее фактически стандартов для IBM PC
совместимых компьютеров.
Поставщики программного обеспечения для ряда отраслей промышленности
переходят на Windows 95, сокращая разработки для MS-DOS.
Кратко перечислю основные преимущества Windows 95 по сравнению с
широко распространенной операционной системой MS-DOS:
возможность параллельного (независимого) выполнения программ одновременно;
легкость переключения из одной программы в другую;
автоматизация обмена информации между различными программами, например,
рисунок , полученный в графической программе, можно легко вставить в текст,
созданный с использования текстового процессора;
облегчение доступа к программам и документам за счет использования
раскрывающихся меню;
нет необходимости запоминать имена программ и документов, так как для их
обозначения используются графические символы-значки;
увеличения объема памяти за счет использования свободного пространства на
жестком диске;
защищенность прикладных программ друг от друга в случае некорректных
действий одной из них.
Для разработки приложений существуют три варианта Delphi:
1. Client/Server Suite - средство создания приложений, рассчитанное
на использование в организациях, где требуются высокопроизводительные,
масштабируемые приложения, которые используют данные хранимые средствами
управления серверами.
2. Desktop - предназначен для индивидуальных программистов.
2. Developer - ориентирован на профессиональных разработчиков.
Для реализации поставленной задачи мною был использован продукт фирмы
Borland Delphi Developer версии 3.0. Delphi 3.0 представляет собой 32-
битовую версию популярного средства разработки приложений для Windows 95/
Windows NT.
Выбор определялся сравнением характеристик вариантов Delphi. Наиболее
приемлемые для создания расчетно-информационной системы оказались именно у
Delphi Developer 3.0.
5. Техническое обеспечение:
В результате расчета и компьютерного программирования использовалось
руководство пользователя: «Программирование в среде Delphi 4.0”, автор
Архангельский.
6. Результаты расчета:
Результаты расчета представлены в ПРИЛОЖЕНИИ…
7. Заключение:
В данном программном проекте представлены задачи, которые удовлетворяют
всем правилам и параметрам расчетов процесса ионной- имплантации, а
также представлены в наглядном виде все процессы расчета данных
структур, указанных в дипломном проекте.
8. Литература:
1. Архангельский «Программирование в среде Delphi 4.0».
2. А. И. Курносов, В. В. Юдин «Технология производства полупроводниковых
приборов и интегральных микросхем».
3. Программирование в среде Turbo Pascal v. 7.0.
Реферат на тему: Моделирование процессов переработки пластмасс
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования: “Белорусский государственный технологический
университет”
Кафедра автоматизации производственных процессов и электротехники
Расчётно-пояснительная записка
К курсовому проекту по курсу применения ЭВМ в химической промышленности
на тему: Моделирование процессов переработки пластмасс
Разработал: студент
Факультета ТОВ 4к. 1 гр.
Кардаш А. В.
Проверил: Овсянников
А. В.
Минск 2004
РЕФЕРАТ
Данная курсовая работа содержит 26 листов печатного текста, 7
рисунков, 66 формул.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ, ДИФЕРИНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ, ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ,
ВРЕМЯ, ЛИТНИКОВЫЙ КАНАЛ, ОХЛАЖДЕНИЕ, ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ.
Курсовая работа содержит расчет температурного поля литникового канала
литьевой формы, теоретические сведения о процессах происходящих в
химической технологии связанных с охлаждением и нагреванием материалов,
построение математической модели описывающую теплообмен между бесконечно-
длинным цилиндром и его поверхностью, описание переменных входящих в
модель. Разработана программа описывающая охлаждение полистирольного
литника формы.
СОДЕРЖАНИЕ
РЕФЕРАТ 2
СОДЕРЖАНИЕ 3
ВВЕДЕНИЕ 4
1. АНАЛИЗ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ 5
1.1 Неограниченный цилиндр. 5
1.2 Описание переменных 5
1.3 Граничные условия 5
2 ОБЩИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ 6
2.1 Теплообмен 6
2.1.1 Теплопроводность 6
2.1.2. Теплопередача в стационарном режиме. 7
2.1.3. Нестационарная теплопроводность. 7
2.2. Нагревание и охлаждение тел простой геометрической формы 8
2.2.1. Плоская неограниченная пластина. 8
2.2.2 Неограниченный цилиндр. 10
2.3. Теплопроводность в процессах, сопровождающихся изменением
физического состояния 11
2.3.1. Плавление в области х > 0. 12
2.3.2. Затвердевание. 12
2.3.3 Плавление с непрерывным удалением расплава. 13
2.4.Теплопередача в потоках расплава 13
2.5. Лучистый теплообмен 15
3. СОСТАВЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ИССЛЕДУЕМОГО ПРОЦЕССА. 17
3.1. Специфика построения математических моделей описывающих
термодинамические процессы 17
3.2. Вывод дифференциального уравнения теплопроводности. 17
4 СОСТАВЛЕНИЕ АЛГОРИТМА 20
5 СОСТАВЛЕНИЕ ПРОГРАММЫ 22
6 АНАЛИЗ МОДЕЛИРОВАНИЯ И РАСЧЁТОВ 24
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 25
ПРИЛОЖЕНИЕ1 26
ПРИЛОЖЕНИЕ2 27
ВВЕДЕНИЕ
Переработка полимерных материалов — это совокупность технологических
приемов, методов и процессов, посредством которых исходный полимер
превращают в различные изделия с заданными эксплуатационными
характеристиками.
Полимеры начали перерабатывать в конце XIX в., а к середине XX в.
переработка полимеров выделилась в самостоятельную область техники, в
которой используется специализированное высокопроизводительное
оборудование, необходимое для реализации в промышленных масштабах
специфических для полимеров технологических процессов.
Вследствие большой производительности современного перерабатывающего
оборудования и высокой стоимости технологических линий проведение
экспериментальных исследований реального процесса переработки полимеров,
даже осуществленных с применением современных методов экстремального
планирования, превращается в дорогостоящую и продолжительную работу.
Поэтому целесообразно изучать особенность каждого конкретного процесса,
рассматривая вначале его теоретическое описание, т. е. его математическую
модель.
При таком подходе в каждом конкретном случае этапу физического
эксперимента (будь то создание несложной установки, конструирование
технологической линии или опробование нового технологического режима)
всегда предшествует этап теоретического эксперимента. На этом этапе нет
необходимости прибегать к реальным экспериментам, вместо этого исследуются
количественные характеристики процесса, полученные расчетным методом.
Такой подход позволяет существенно снизить объем физического
эксперимента, поскольку прибегать к нему приходится на самой последней
стадии — не в процессе поиска основных закономерностей, а для проверки и
уточнения выданных рекомендаций. Разумеется, для того чтобы исследуемые
теоретические модели процессов описывали эти процессы с достаточно хорошим
приближением, они непременно должны учитывать основные особенности
моделируемых явлении.
При математическом описании реальных производственных процессов
приходится прибегать к существенным упрощениям. При этом значительную
помощь в создании математических моделей оказывает анализ простых случаев.
Прием такого рода вполне допустим, он позволяет независимо устанавливать
основные закономерности наиболее простых случаев выбранных в качестве
математического аналога поведения полимерных расплавов.
Термодинамические соотношения, описывающие разогрев и плавление
полимеров, являются фундаментом, на базе которого строятся неизотермические
модели реальных процессов переработки. Основные вопросы термодинамики и
теплопередачи в полимерах рассмотрены в данной работе.
1. АНАЛИЗ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ
1.1 Неограниченный цилиндр.
Рассмотрим неограниченный цилиндр радиуса R, температура поверхности
которого остается неизменной на протяжении всего процесса теплообмена.
Радиальное распределение температур в начальный момент задано в виде
некоторой функции Т(r). Необходимо найти распределение температур. Такие
задачи встречаются при расчете процессов охлаждения полимерного волокна,
затвердевания литников литьевых форм и т. п.
Дифференциальное уравнение теплопроводности для цилиндра имеет вид:
[pic]
(1.1)
Краевые условия: [pic]
(1.2)
[pic]
(1.3)
[pic]
(1.4)
Решение, полученное методом разделения переменных, имеет сложный вид
потому задачей данной работы является найти численное его решение.
1.2 Описание переменных
Уравнение теплопроводности устанавливает зависимость между следующими
величинами характеризующими процесс теплопроводности:
T-температура по Цельсию (градус)
r-радиус цилиндра (М)
t-время (С)
a-коэффициент температуропроводности (градус/с*м2)
21.3 Граничные условия
Для решения данного дифференциального уравнения в частных производных
необходимыми данными является значения производных температуры по радиусу
на оси цилиндра, которая должна быть равной нулю (1.4).
Температуру стенки цилиндра, через которую происходит охлаждение
литника примем равной 30 градусов.
[pic]
(1.5)
Радиус литника обычно составляет 0.01 м.
R=0.01
(1.6)
Распределение температуры в начальный момент времени по радиусу
задано в виде убывающей экспоненциальной функции, чтобы производная
температуры по
времени на оси цилиндра была равной нулю, радиус возводим в квадрат
(1.7)
[pic]
(1.7)
2 ОБЩИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
2.1 Теплообмен
Различают три вида теплообмена: теплопроводность, теплопередача
конвекцией и лучистый теплообмен.
Передача тепла за счет теплопроводности осуществляется в результате
движения молекул, атомов и электронов; она играет значительную роль при
теплообмене в твердых и расплавленных полимерах. При конвекции, которая
возможна только в жидкостях и газах, тепло передается за счет
относительного движения частиц нагретого тела. При лучистом теплообмене
передача тепла между пространственно разделенными частями тела происходит
за счет электромагнитного излучения.
2.1.1 Теплопроводность
Основной задачей теории теплопроводности является установление
распределения температур внутри тела. Если распределение температур не
зависит от времени, то задача теплопроводности является стационарной; если
распределение температур зависит от времени, то задача становится
нестационарной.
Передача тепла происходит во всех случаях, когда в теле существует
температурный градиент. По закону Фурье, который лежит в основе всех
расчетов теплопроводности, для изотропных материалов вектор теплового
потока q пропорционален температурному градиенту:
[pic] (2.1)
где q — количество тепла, проходящего через единичную поверхность,
перпендикулярную направлению теплового потока;
k — коэффициент теплопроводности.
Полагая в уравнении энергетического баланса V = О, получим:
[pic] (2.2)
Уравнение (2.2) представляет собой уравнение теплопроводности для
изотропного твердого тела.
Если внутри изотропного тела имеется источник тепла, то уравнение
(2.2) необходимо дополнить членом, учитывающим тепловыделение
[pic] (2.3)
где [pic]— коэффициент температуропроводности [замена [pic] на [pic] в
уравнении (2.3) возможна для несжимаемых твердых тел];
[pic] — оператор Лапласа в прямоугольной системе координат
[pic] (2.4)
G — интенсивность внутренних тепловыделений, отнесенная к единице
объема.
Примерами внутренних тепловыделений являются поглощения инфракрасного
излучения в полупрозрачных средах, экзотермический эффект химических
реакций и т. п.
2.1.2. Теплопередача в стационарном режиме.
Теплопередачу в непрерывно действующих нагревательных системах
перерабатывающего оборудования можно рассматривать как независящую от
времени. Следовательно, распределение температур носит установившийся
характер и определяется интегрированием дифференциального уравнения (2.5)
[pic]
(2.5)
2.1.3. Нестационарная теплопроводность.
В большинстве случаев в реальных процессах переработки приходится
иметь дело с нестационарным режимом теплопроводности, когда полимер
подвергают нагреву или охлаждению (например, охлаждение в форме отлитого
изделия). Теоретические исследования процесса нестационарной
теплопроводности представляют собой обширный раздел математической физики.
Решения, получаемые в результате интегрирования уравнения (2.5),
представляют собой функции времени и пространственных координат,
удовлетворяющие начальным и граничным условиям. Различают четыре рода
граничных условий Условия первого рода: задано распределение температур на
поверхности, которое может либо быть постоянным, либо зависеть от времени;
в простейшем случае, если положение границ определяется одним числом
(например, расстоянием L), такие граничные условия математически
определяются выражением вида (2.6):
[pic] (2.6)
Условия второго рода: задана плотность теплового потока для каждой
точки поверхности тела как функция времени:
[pic]
(2.7)
Условия третьего рода: задан коэффициент теплообмена, а на границе и
температура контактирующей с граничной поверхностью среды:
[pic] (2.8)
Условия четвертого рода: соответствуют теплообмену тела с окружающей
средой по закону теплопроводности или теплообмену системы тел, находящихся
в тепловом контакте (температура соприкасающихся поверхностей одинакова):
[pic] (2.9)
[pic] (2.10)
Аналитическая теория нестационарной теплопроводности располагает
большим набором решений одномерных задач, к которым принято сводить все
многообразие задач, встречающихся в инженерной практике. В настоящее время
получены аналитические решения для теплопроводности в плоской стенке, в
цилиндре, в корпусе и в сфере.
2.2. Нагревание и охлаждение тел простой геометрической формы
2.2.1. Плоская неограниченная пластина.
Под неограниченной обычно понимают такую пластину, ширина и длина
которой во много раз превышают толщину. Таким образом, неограниченная
пластина (рис. 2.1) представляет собой тело, ограниченное двумя
параллельными плоскостями. Изменение температуры происходит только в одном
направлении (х), в двух других направлениях (у и z) температура неизменна.
[pic]
Рис. 2.1. Положение координат при исследовании теплового процесса в
неограниченной пластине.
Следовательно, задача является одномерной. Для одномерного теплового
потока без внутреннего источника тепла уравнение теплопроводности сводится
к виду: [pic]
(2.11)
Обычно используют граничные условия третьего рода:
[pic] (2.12)
Рассмотрим случай, когда в начальный момент температура пластины во
всех точках была одинакова и равна То. Это начальное условие записывается в
виде:
[pic]
(2.13)
Решение, полученное методом преобразования Лапласа, имеет вид:
[pic] (2.14)
Здесь [pic]— безразмерная температура;
[pic]— критерий Фурье (критерий гомохронности для процессов чистой
теплопроводности );
[pic]- безразмерная координата;
[pic]— функция ошибок, где [pic];
[pic]
Если коэффициент теплоотдачи очень велик (это эквивалентно заданию
постоянной температуры на стенке), уравнение (2.14) упрощается:
[pic] (2.15)
Для прикидочных расчетов удобно пользоваться номограммой зависимости (
от [pic] представленной на рис.2.2
[pic]
Рис.2.2 Номограмма для определения безразмеоной температуры в сечении
неограниченной пластины при [pic]
Если значение критерия Фурье велико, но не равно бесконечности,
решение имеет вид:
[pic] (2.16)
Здесь [pic] (2.17)
где [pic]— корни характеристического уравнения
[pic]
(2.18)
где Bi = aw/( — критерий Био.
Уравнение (2.18) имеет бесчисленное множество действительных
положительных корней. Первые пять корней для различных значений критерия
Био были вычислены Карслоу и Егером. Обычно на практике пользуются
номограммами. Номограмма позволяющая определить безразмерную температуру
при различных значениях критерях Био приведена на рис.2.3
[pic]
Рис. 2.3 Номограмма для определения безразмерной температуры поверхности
неограниченной пластины.
Аналогичная номограмма, предназначенная для определения температуры в
центре пластины, приведена на рис.2.4.
[pic]
Рис. 2.4 Номограмма для определения безразмерной температуры в
середине неограниченной пластины
2.2.2 Неограниченный цилиндр.
Рассмотрим неограниченный цилиндр радиуса R, температура поверхности
которого остается неизменной на протяжении всего процесса теплообмена.
Радиальное распределение температур в начальный момент задано в виде
некоторой функции Т(r). Необходимо найти распределение температур
определения в цилиндре в любой момент времени. Задачи такого типа
встречаются при расчете процессов охлаждения полимерного волокна,
затвердевания литников литьевых форм и т. п.
Дифференциальное уравнение теплопроводности для цилиндра
имеет вид: [pic] (2.19)
Краевые условия:
[pic]
Решение, полученное методом разделения переменных, в безразмерной
форме, имеет вид:
[pic] (2.20)
Для оценки изменения теплосодержания цилиндра определим среднюю
температуру как:
[pic] (2.21)
Тогда безразмерная средняя температура определится соотношением:
[pic] (2.22)
где [pic]; [pic]- корни функции Бесселя первого рода нулевого порядка
определяемые выражением:
[pic] (2.23)
Таким образом, уменьшение средней температуры описывается простым
экспоненциальным законом. Для удобства прикидочных расчетов на рис. IV. 10
приведена номограмма зависимости между ( и Fo.
[pic]
Рис. 2.5 Номограмма для определения зависимости между безразмерной
средней избыточной температурой и критерием Фурье в случае неограниченного
цилиндра.
2.3. Теплопроводность в процессах, сопровождающихся изменением
физического состояния
Анализируя процессы переработки полимеров, часто приходится
встречаться с задачей о нагреве или охлаждении полимера, сопровождающемся
изменением физического состояния (плавлением или затвердением).
Теоретическое рассмотрение задач такого типа впервые выполнено Нейманном.
Мы остановимся только на одном, наиболее простом случае, в котором для
упрощения теплофизические характеристики расплава и твердого полимера будем
считать одинаковыми. Пусть скрытая теплота плавления равна ?, а температура
плавления Тп. Обозначим координату поверхности раздела между твердой и
жидкой фазами через Х(t). Тогда одно из граничных условий которое должно
удовлетворяться на этой поверхности, запишется в виде:
Ts = Tm = Tn при X=X(t)
(2.24)
Индекс s указывает, что соответствующая величина относится к твердой
фазе (например, ?s — плотность твердой фазы). Соответственно индекс m
указывает, что величина относится к жидкой фазе.
Второе граничное условие касается поглощения (или выделения) скрытой
теплоты на поверхности раздела. Предположим, что в области x>x(t) находится
жидкость при температуре Тт(х, t), а в области x=x(t) — твердая фаза при
температуре Ts(xtt).
Если поверхность раздела перемещается на расстояние dx, то в элементе
объема вещества выделяется и должно быть отведено в результате
теплопроводности количество тепла, в пересчете на единицу поверхности
равное (?dx. Математически это условие запишется в виде:
[pic] (2.25)
Рассмотрим три случая: плавление, затвердевание и плавление с
удалением расплава.
2.3.1. Плавление в области х > 0.
Если в начальный момент область х > 0 занята твердым телом с
постоянной температурой Ts0 и при t > 0 плоскость х = 0 поддерживается при
постоянной температуре Т2 > Тп, то положение плоскости плавления
определится выражением:
[pic] (2.26)
Здесь [pic] - корень уравнения
[pic] (2.27)
где
[pic]; [pic]
При этом распределение температур в твёрдой и жидкой фазах описывается
выражением:
[pic] (2.28)
[pic] (2.29)
2.3.2. Затвердевание.
Пусть в начальный момент времени область х > 0 представляет собой
жидкость, а область х <С 0 — твердое тело. Иначе говоря, в начальный момент
поверхность раздела совпадает с началом координат.
Допустим, что значения термических коэффициентов только что
затвердевшего расплава отличаются от значений термических коэффициентов
твердой фазы в области х < 0. Присвоим термическим коэффициентам этой
области индекс s0.
Поступающий расплав имеет температуру Т2. Координата поверхности раздела
фаз определится соотношением:
[pic] (2.30)
Здесь ? — корень уравнения
[pic] (2.31)
После определения ?, которое может быть выполнено любым численным
методом (например, методом итерации), можно определить температурные поля
во всех трех областях (начальная твердая фаза, затвердевшее вещество и
расплав):
[pic] (2.34)
[pic] (2.35)
[pic] (2.35)
2.3.3 Плавление с непрерывным удалением расплава.
Пусть твердое тело нагревается благодаря поступающему извне к его
поверхности постоянному тепловому потоку q. При этом весь расплав
непрерывно удаляется. Примем плоскость, на которой происходит плавление, за
плоскость с координатой х = 0 и будем считать, что твердое тело в области х
> 0 движется относительно этой плоскости со скоростью v. Следовательно,
массовый расход расплава, Qm, отнесенный к единичной ширине, равен:
[pic] (2.36)
В установившемся режиме температура в области х > 0 описывается
выражением:
[pic] (2.37)
Из дифференциального уравнения теплопроводности следует, что тепловой
поток в стационарном режиме равен нулю. Следовательно, количество тепла,
подведенного извне в единицу времени, должно быть равно количеству тепла,
отводимого в единицу времени с расплавом:
[pic] (2.38)
Определив v из соотношения (2.38), можно рассчитать распределение
температур в твердом теле по формуле (2.36). Рассмотренные три случая
наиболее типичны для процессов переработки полимеров, так как любой
реальный процесс плавления можно свести к одному из них.
2.4.Теплопередача в потоках расплава
Передача тепла в движущейся жидкости происходит по механизму
конвективного теплообмена, который осуществляется как за счет переноса
тепла током жидкости, так и за счет теплопроводности самой жидкости.
Аналитическое решение дифференциальных уравнений теплопроводности в случае
конвективного теплообмена удается получить лишь при введении большого числа
упрощений. Поэтому для практических целей используют результаты
экспериментальных исследований, представленные в виде зависимостей между
соответствующими критериями подобия. Обычно при изучении теплопередачи
конвекцией принимаются следующие допущения:
1) на границе с поверхностью нагрева (охлаждения) соблюдаются условия
прилипания; 2) физические параметры жидкости (теплоемкость,
теплопроводность, плотность и вязкость) сохраняют неизменное значение для
всего потока; 3) лучистый теплообмен между поверхностью нагрева
(охлаждения) и потоком жидкости происходит независимо от контактной
теплоотдачи.
В настоящее время наибольшее распространение получили экс*
периментальные исследования процессов стационарного теплообмена. Для
описания процесса теплообмена обычно используется известное уравнение
Ньютона:
[pic] (2.39)
где а — коэффициент теплоотдачи, определяющий количество тепла,
подводимое (или отводимое) к жидкости в единицу времени через поверхность с
единичной площадью;
Tw — температура стенки канала;
Тж — средняя температура жидкости.
По своему физическому смыслу коэффициент теплоотдачи является условной
величиной и характеризует отношение коэффициента теплопроводности жидкости
к толщине ? пристенного слоя, в котором происходит температурный скачок:
[pic] (2.40)
Использование методов теории подобия позволяет свести решение проблемы
теплообмена в потоке жидкости к экспериментальному определению вида
функциональной зависимости:
[pic] (2.41)
Здесь — [pic] критерий Нуссельта, характеризующий
интенсивность
теплообмена;
Рr = Ср?/( — критерий Прандтля, характеризующий соотношение между
количеством тепла, поглощаемого жидкостью за счет изменения энтальпии, и
количеством тепла, отводимого за счет теплопроводности;
Gr = g?P2lz?T/?2 — критерий Грасгофа, характеризующий интенсивность
теплообмена за счет свободной конвекции;
Re = vlp/ц — число Рейнольдса, характеризующее отношение сил инерции
к силам вязкого трения;
Ре = vd/a — критерий Пекле;
[pic]— критерий Гретца.
Известные в настоящее время результаты экспериментального исследования
теплообмена в расплавах полимеров относятся преимущественно к течению в
каналах круглого сечения. Общая формула имеет вид:
[pic] (2.42)
где индексы «Ж» и «ст» Означают, что соответствующие значения критерия
относятся к усредненным характеристикам жидкости или к характеристикам
жидкости в пристенном слое.
Значения показателей степени при критериях в уравнении (2.42)
приведены ниже:
Таблица (3.1) Значения показателей степени при критериях подобия.
|Полимер |А |X |У |Z |Z1 |
|П Полиэтилен низкой |[pic] |0,33 |0,33 |0,15 |0,33 |
|плотности 16 | | | | | |
|П Полиэтилен низкой |2,25 |0,18 |0,20 |0,25 |0 |
|плотности 17 | | | | | |
2.5. Лучистый теплообмен
Нагрев излучением применяется главным образом в операциях,
предшествующих пневмо- и вакуум-формованию относительно тонких листов
термопластов.
Лучистая энергия передается в виде электромагнитных волн,
распространяющихся в пространстве до тех пор, пока на их пути не встретится
какая-либо поглощающая среда: газ, жидкость или твердое тело. Излучаемая
энергия пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры изучающего
тела. Так как обычно большая часть энергии излучения в применяемой на
практике области температур приходится на инфракрасный спектр, нагрев
излучением называют также инфракрасным нагревом.
Гипотетическое тело, поглощающее все падающие на него лучи, называется
абсолютно черным телом. Интенсивность лучеиспускания абсолютно черного тела
Еb определяется законом Стефана — Больцмана:
[pic] (2.43)
Где а — постоянная Стефана Больцмана, равная 1,36 • 10 -12 кал/(см2 •
с • /K4), или [pic]
Реальные тела излучают меньше энергии. Их излучательная способность е
оценивается по формуле:
[pic] (2.44)
где Е — интенсивность лучеиспускания реального тела.
Обычно ? зависит от температуры, увеличиваясь с ее ростом. Металлоиды
и окислы металлов обладают высокой излучательной способностью (? ? 0,8). У
хорошо отполированных металлов излучательная способность невысока (? ? 0,1)
Реальные тела поглощают только часть попадающего на них излучения.
Коэффициент поглощения определяется как отношение поглощенного из
лучения к падающему.
При расчете лучистого теплообмена между черными телами под излучение
попадает только та часть тела, которая просматривается с излучающего тела.
Далее, интенсивность излучаемой энергии максимальна вдоль нормали к
поверхности и равна нулю в тангенциальном направлении. Можно учесть
взаимное расположение излучателя и облучаемого тела введением коэффициента
видимости, учитывающего долю излучаемой энергии, которая попадает на
облучаемое тело.
Допустим, что лучистая энергия, излучаемая от черной поверхности 1 на
черную поверхность 2, равна E1A1F12 (A1 — площадь излучателя, F12 — доля
энергии, попадающая на поверхность 2). Очевидно, что
A1F12 = A2F21
(2.45)
Поэтому количество тепла Q12, переданное при лучистом теплообмене от
тела 1 к телу 2, равно:
Q12 = A1F12(E1-E2)
(2.46)
Воспользуемся законом Стефана — Больцмана и получим:
[pic] (2.47)
Наконец, если T2/T1 | |
