|
Реферат: Вычисление координат центра тяжести плоской фигуры (Математика)
Министерство общего и профессионального образования Российской
федерации.
Уральский Государственный Технический Университет - УПИ.
Реферат
ВЫЧИСЛЕНИЕ КООРДИНАТ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ.
Выполнил:
Студент группы Х-149
Покровский П.В.
Проверил:
Преподаватель кафедры ВМ и УМФ
Пироговская Л. М.
Екатеринбург.
1999.
1. Координаты центра тяжести.
Пусть на плоскости Oxy дана система материальных точек
P1(x1,y1); P2(x2,y2); ... , Pn(xn,yn)
c массами m1,m2,m3, . . . , mn.
Произведения ximi и yimi называются статическими моментами массы mi
относительно осей Oy и Ox.
Обозначим через xc и yc координаты центра тяжести данной системы.
Тогда координаты центра тяжести описанной материальной системы
определяются формулами:
[pic]
[pic]
Эти формулы используются при отыскании центров тяжести различных
фигур и тел.
2. Центр тяжести плоской фигуры.
Пусть данная фигура, ограниченная линиями y=f1(x), y=f2(x), x=a,
x=b, представляет собой материальную плоскую фигуру. Поверхностною
плотность, то есть массу единицы площади поверхности, будем считать
постоянной и равной ( для всех частей фигуры.
Разобьем данную фигуру прямыми x=a, x=x1, . . . , x=xn=b на полоски
ширины (x1, (x2, . . ., (xn. Масса каждой полоски будет равна
произведению ее площади на плотность (. Если каждую полоску
заменить прямоугольником (рис.1) с основанием (xi и высотой f2(()-
f1((), где ([pic], то масса полоски будет приближенно равна
[pic] (i = 1, 2, ... ,n).
Приближенно центр тяжести этой полоски будет находиться в центре
соответствующего прямоугольника:
[pic]
Заменяя теперь каждую полоску материальной точкой, масса которой
равна массе соответствующей полоски и сосредоточена в центре тяжести
этой полоски, найдем приближенное значение центра тяжести всей фигуры:
[pic]
Переходя к пределу при [pic], получим точные координаты центра
тяжести данной фигуры:
[pic]
Эти формулы справедливы для любой однородной (т.е. имеющей
постоянную плотность во всех точках) плоской фигуры. Как видно,
координаты центра тяжести не зависят от плотности ( фигуры (в процессе
вычисления ( сократилось).
3. Координаты центра тяжести плоской фигуры
В предыдущей главе указывалось, что координаты центра тяжести
системы материальных точек P1, P2, . . ., Pn c массами m1, m2, . . .,
mn определяются по формулам
[pic].
В пределе при [pic] интегральные суммы, стоящие в числителях и
знаменателях дробей, перейдут в двойные интегралы, таким образом
получаются точные формулы для вычисления координат центра тяжести
плоской фигуры:
[pic](*)
Эти формулы, выведенные для плоской фигуры с поверхностной
плотностью 1, остаются в силе и для фигуры, имеющей любую другую,
постоянную во всех точках плотность (.
Если же поверхностная плотность переменна:
[pic]
то соответствующие формулы будут иметь вид
[pic]
Выражения
[pic]
и
[pic]
называются статическими моментами плоской фигуры D относительно
осей Oy и Ox.
Интеграл [pic] выражает величину массы рассматриваемой фигуры.
4. Теоремы Гульдена.
Теорема 1.
Площадь поверхности, полученной при вращении дуги плоской кривой
вокруг оси, лежащей в плоскости этой кривой и не пересекающей ее,
равна длине дуги кривой, умноженной на длину окружности, описанной
центром тяжести дуги.
Теорема 2.
Объем тела, полученного при вращении плоской фигуры вокруг оси, не
пересекающей ее и расположенной в плоскости фигуры, равен
произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной
центром тяжести фигуры.
II.Примеры.
1)
Условие: Найти координаты центра тяжести полуокружности X2+Y2=a2,
расположенной над осью Ox.
Решение: Определим абсциссу центра тяжести: [pic],
[pic]
Найдем теперь ординату центра тяжести:
[pic]
2)
Условие: Определить координаты центра тяжести сегмента параболы
y2=ax, отсекаемого прямой, х=а (рис. 2)
Решение: В данном случае [pic] поэтому
[pic]
[pic] (так как сегмент симметричен относительно оси Ox)
3)
Условие: Определить координаты центра тяжести четверти эллипса
(рис. 3)
[pic]
полагая, что поверхностная плотность во всех точках равна 1.
Решение: По формулам (*) получаем:
[pic]
[pic]
4)
Условие:
Найти координаты центра тяжести дуги цепной линии [pic].
Решение:
1Так как кривая симметрична относительно оси Oy, то ее центр тяжести лежит
на оси Oy, т.е. Xc= 0. Остается найти [pic]. Имеем [pic] тогда [pic]
длина дуги
[pic]
Следовательно,
[pic]
5)
Условие:
Пользуясь теоремой Гульдена найти координаты центра тяжести четверти
круга
[pic].
Решение:
При вращении четверти круга вокруг оси Ох получим полушар, объем
которого равен [pic]
Согласно второй теореме Гульдена, [pic] Отсюда [pic] Центр тяжести
четверти круга лежит на оси симметрии, т.е. на биссектрисе I
координатного угла, а потому [pic]
III. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. «Высшая математика в
упражнениях и задачах», часть 2, «Высшая школа», Москва, 1999.
2. Пискунов Н.С. «Дифференциальное и интегральное исчисления для
втузов», том 2, «Наука», Москва, 1965
Реферат на тему: Вычисление корней нелинейного уравнения
Министерство образования Российской федерации
Южно-Уральский Государственный Университет
Аэрокосмический факультет
Кафедра летательных аппаратов
Специальность: Авиа-ракетостроение
Курсовая работа по информатике
Тема:
«Вычисление корней не линейного уравнения»
выполнил студент
Дюмеев Данил
АК-110
Проверил
_______________
Челябинск 2004
Содержание
1. Нахождение нулей функции графическим методом
2. Вычисление корней уравнения при помощи вычислительных блоков Givel и
Root
3. Поиск экстремумов функции
4. Разложение функции в степенной ряд
5. Алгоритм метода поиска нулей функции (метод простых итераций)
6. Блок схема к методу простых итераций
При а =0.1
[pic]
Интервал изменения параметра x
[pic]
[pic]
Строим график функции
При интервале изменения коэффициента x
[pic]
График имеет вид
При а=0 функция f(x)=0 имеет значения корня x=0.77
Находим более точное значение корня
[pic]
[pic]
-вычислительный блок
[pic]
[pic]
-процедура нахождения корня
[pic]
-более точное значение корня
Проверка:
[pic]
При а =1
[pic]
Интервал изменения параметра x
[pic]
[pic]
Строим график функции
При интервале изменения коэффициента x
[pic]
График имеет вид
При а=1 функция f(x)=0 имеет приближенное значения корня x=0,21
Находим более точное значение корня
[pic]
[pic]
-вычислительный блок
[pic]
[pic]
-процедура нахождения корня
[pic]
-более точное значение корня
Проверка:
[pic]
При а =2
[pic]
Интервал изменения параметра x
[pic]
[pic]
Строим график функции
При интервале изменения коэффициента x
[pic]
График имеет вид
При а=2 функция f(x)=0 имеет приближенное значения корня x=-0,25
Находим более точное значение корня
[pic]
-вычислительный блок
[pic]
[pic]
-процедура нахождения корня
[pic]
-более точное значение корня
Проверка:
[pic]
Нахождение более точного значения корня при помощи root
[pic]
[pic]
[pic]
-приближенное значение корня
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Находим min и max функции
[pic]
[pic]
[pic]
-шаг изменения аргумента
[pic]
[pic]
- на интервале от -10 до 10
[pic]
- на интервале от -10 до 10
Разложение функции d(x)=exp(x) в степенной ряд
[pic]
- интервал изменения аргумента
[pic]
[pic]
[pic]
| |
