|
Реферат: Билеты по аналитической геометрии (Математика)
ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ.
Пусть задана система векторов а1, а2, а3,…,ал (1) одной размерности.
Определение: система векторов (1) называется линейно-независимой, если
равенство (1а1+(2а2+…+(лал=0 (2) выполняется лишь в том случае, когда все
числа (1, (2,…, (л=0 и (R
Определение: система векторов (1) называется линейно-зависимой, если
равенство (2) выполнимо хотя бы при одном (i(0 (i=1,…,k)
Свойства
1. Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима
2. Если система векторов содержит линейно-зависимую подсистему векторов, то
она будет линейно-зависимой.
3. Если система векторов линейно-независима, то и любая ее подсистема будет
линейно независимой.
4. Если система векторов содержит хотя бы один вектор, являющийся линейной
комбинацией других векторов, то эта система векторов будет линейно
зависимой.
Определение: два вектора называются коллинеарными, если они лежат на
параллельных прямых.
Определение: три вектора называются компланарными, если они лежат в
параллельных плоскостях.
Теорема: Если заданы два вектора a и b, причем а(0 и эти векторы
коллинеарны, то найдется такое действительное число (, что b=(a.
Теорема: Для того что бы два вектора были линейно-зависимы необходимо и
достаточно, что бы они были коллениарны.
Доказательство: достаточность. Т.к. векторы коллинеарны, то b=(a. Будем
считать, что а,b(0 (если нет, то система линейно-зависима по 1 свойству).
1b-(a=0. Т.к. коэфф. При b(0, то система линейно зависима по определению.
Необходимость. Пусть а и b линейно-зависимы. (а+(b=0, ((0. а= -b/(*b. а и b
коллинеарны по определению умножения вектора на число.
Теорема: для того, чтобы три вектора были линекно-зависимы необходимо и
достаточно, чтобы они были компланарны. Необходимость.
Дано: a, b, c – линейно-зависимы. Доказать: a, b, c – компланарны.
Доказательство: т.к. векторы линейно-зависимы, то (а+(b+(c=0, ((0. с= -
(/(*а - (/(*b. с-диагональ параллелограмма, поэтому a, b, c лежат в одной
плоскости.
БАЗИС СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ. РАЗЛИЧНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.
1. Определение: пусть задана некоторая система векторов. Базисом этой
системы называется мах. совокупность линейно-независимых векторов системы.
В множестве векторов на прямой базис состоит из одного ненулевого вектора.
В качестве базиса множества векторов на плоскости можно взять произвольную
пару.
В множестве векторов в трехмерном пространстве базис состоит из трех
некомпланарных векторов.
2. Прямоугольная (декартова) система координат на плоскости определяется
заданием двух взаимно перпендикулярных прямых с общим началом и одинаковой
масштабной ед. на осях.
Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве определяется
заданием трех взаимно перпендикулярных прямых с общей точкойпересечения и
одинаковой масштабной ед. на осях.
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
Определение: скалярным произведением двух векторов называется произведение
длин двух векторов на косинус угла между ними.
(а,b)=|a| |b| cos u, u90, пр-е отриц.
Свойства:
1. (а,b)= (b,а)
2. ((а,b)= ( (а,b)
3. (а+b,с)= (а,с)+ (b,с)
4. (а,а)=|a|2 – скал.квадрат.
Определение: два вектора называются ортоганальными, когда скалярное пр-е
равно 0.
Определение: вектор называется нормированным, если его скал.кв.равен 1.
Определение: базис множества векторов называется ортонормированным, если
все векторы базиса взаимно-ортагональны и каждый вектор нормирован.
Теорема: Если векторы а и b заданы координатами в ортонормированном базисе,
то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих
координат.
Найдем формулу угла между векторами по определению скалярного произведения.
cos u=a,b/|a||b|=x1x2+y1y2+z1z2/sqrt(x12+y12+z12)*sqrt(x22+y22+z22)
ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
Определение: векторным произведением двух векторов a и b обозначаемым [a,b]
называется вектор с удовлетворяющий след. требованиям: 1. |c|=|a||b|sin u.
2. (с,а)=0 и (с,b)=0. 3. а, b, с образуют правую тройку.
Свойства:
1. [a,b]= - [b,a]
2. [(а,b]= ( [а,b]
3. [a+b,c]=[a,c]+[b,c]
4. [a,a]=0
Теорема: Длина векторного произведения векторов равна площади
параллелограмма построенного на этих векторах.
Доказательство: справедливость теоремы вытекает из первого требования
определения векторного произведения.
Теорема: Пусть векторы а и b заданы координатами в ортонормированном
базисе, тогда векторное произведение равно определителю третьего порядка в
первой строке которого наход-ся базисны векторы, во второй – координаты
первого вектора, в третьей – координаты второго.
Определение: ортой вектора а называется вектор ед. длины имеющий
одинаковое направление с вектором а. ea=a/|a|
РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ.
1.Общее ур-е пр. 2. Ур-е пр. в отрезках. 3. Каноническое ур-е пр. 4. Ур-е
пр. ч/з две точки. 5. Ур-е пр. с углов. коэфф. 6. Нормальное ур-е прямой.
Расст. от точки до прямой. 7. Параметрическое ур-е пр. 8. Пучок пр. 9.Угол
между пр.
1. Ах+By+C=0 (1), где A, B одновр.не равны нулю.
Теорема: n(A,B) ортоганален прямой заданной ур-ем (1).
Доказательство: подставим коорд. т.М0 в ур-е (1) и получим Ах0+By0+C=0
(1’). Вычтем (1)-(1’) получим А(х-х0)+B(y-y0)=0, n(A,B), М0М(х-х0, y-y0).
Слева в полученном равенстве записано скалярное произведение векторов, оно
равно 0, значит n и M0M ортоганальны. Т.о. n ортоганлен прямой. Вектор
n(A,B) называется нормальным вектором прямой.
Замечание: пусть ур-я А1х+B1y+C1=0 и А2х+B2y+C2=0 определяют одну и ту же
прямую, тогда найдется такое действительное число t, что А1=t*А2 и т.д.
Определение: если хотя бы один из коэффициентов в ур-ии (1) =0, то ур-е
называется неполным.
1. С=0, Ах+By=0 – проходит ч/з (0,0)
2. С=0, А=0, By=0, значит у=0
3. С=0, B=0, Ах=0, значит х=0
4. А=0, By+C=0, паралл. ОХ
5. B=0, Ах+C=0, паралл. OY
2. x/a+y/b=1.
Геом.смысл: прямая отсекает на осях координат отрезки а и b
3. x-x1/e=y-y1/m
Пусть на прямой задана точка и напр. вектор прямой (паралл.пр.). Возьмем
на прямой произв. точки. q и M1М(х-х1; y-y1)
4. x-x1/x2-x1=y-y1/y2-y1
Пусть на прямой даны две точки М1(x1;y1) и М2(x2;y2). Т.к. на прямой заданы
две точки, то задан направляющий вектор q(x2-x1; y2-y1)
5. y=kb+b.
u – угол наклона прямой. Tg угла наклона называется угловым коэффициентом
прямой k=tg u
Пусть прямая задана в каноническом виде. Найдем угловой коэффициент прямой
tg u = m/e. Тогда видим x-x1/e/e=y-y1/m/e. y-y1=k(x-x1) при y1-kx1=b,
y=kx+b
6. xcos(+ysin(-P=0
( - угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ.
Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и (
Решение: Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n. |n|=1, n(cos(, sin().
Пусть М(x,y) – произв.точка прямой. Рассмотрим два вектора n и ОМ. Найдем
двумя способвами их скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р. 2.
ОМ*n=cos(x+sin(y. Приравняем правые части.
Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.
Ах+By+C=0
xcos(+ysin(-P=0
т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности.
Cos2(=(A*t)2
Sin2(=(B*t)2
-p=C*t
cos2(+sin2(=t2(A2+B2), t2=1/A2+B2, t=(sqrt(1/ A2+B2). Sign t= - sign C
Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить на t.
Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель.
7. Система: x=et+x1 и y=mt+y1
НОРМАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ. Расстояние от точки до прямой.
1. xcos(+ysin(-P=0
( - угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ.
Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и (
Решение: Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n. |n|=1, n(cos(, sin().
Пусть М(x,y) – произв.точка прямой. Рассмотрим два вектора n и ОМ. Найдем
двумя способвами их скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р. 2.
ОМ*n=cos(x+sin(y. Приравняем правые части.
Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.
Ах+By+C=0
xcos(+ysin(-P=0
т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности.
Cos2(=(A*t)2
Sin2(=(B*t)2
-p=C*t
cos2(+sin2(=t2(A2+B2), t2=1/A2+B2, t=(sqrt(1/ A2+B2). Sign t= - sign C
Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить на t.
Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель.
2. Обозначим d – расстояние от точки до прямой, а ч/з б – отклонение точки
от прямой. б=d, если нач.коорд. и точка по разные стороны; = - d, если
нач.коорд. и точка по одну сторону.
Теорема: Пусть задано нормальное уравнение прямой xcos(+ysin(-P=0 и
М1(x1;y1), тогда отклонение точки М1 = x1cos(+y1sin(-P=0
Задача: найти расстояние от точки М0(x0;y0) до прямой Ах+By+C=0. Т.к.
d=|б|, то формула расстояний принимает вид d=| x0cos(+y0sin(-P|.
d=|Ах0+By0+C|/sqrt(A2+B2)
ГИПЕРБОЛА.
Определение: ГМТ на плоскости модуль разности расстояний от которых до двух
фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная
Каноническое уравнение:
Будем считать, что фокусы гиперболы находятся на ОХ на одинаковом
расстоянии от начала координат. |F1F2|=2c, М – произвольная точка
гиперболы. r1, r2 – расстояния от М до фокусов;
|r2-r1|=2a; a1 (т.к. с>a)
Определение: окружность – эллипс у которого а=b, с=0, е=0.
Выразим эксцентриситеты через а и b:
[pic]
[pic]
е эллипса является мерой его «вытянутости»
е гиперболы характеризует угол раствора между асимптотами
2. Директрисой D эллипса (гиперболы), соответствующей фокусу F, называется
прямая расположенная в полуплоскости ( перпендикулярно большой оси эллипса
и отстоящий от его центра на расстоянии а/е>a (а/е0
r1=xe+a
d1 – расстояние от М(x,y) до прямой D1
xcos180+ysin180-p=0
x=-p
x=-a/e
бм=-x-a/e
d1=-бм (минус, т.к. прямая и точка по одну стороно о начала коорд.)
[pic]
Определение: ГМТ на плоскости, отношение расстояния от которых до фокуса, к
расстоянию до соответствующей директрисы есть величина постоянная и
представляет собой эллипс, если 1, параболу, если =1.
ПОЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.
Пусть задан эллипс, парабола или правая ветвь гиперболы.
Пусть задан фокус этих кривых. Поместим полюс полярной системы в фокус
кривой, а полярную ось совместим с осью симметрии, на которой находится
фокус.
r= (
d=p+(cos(
e=(/p+(cos(
[pic] - полярное уравнение эллипса, параболы и правой ветви гиперболы.
КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ 2-ГО ПОРЯДКА.
Пусть задан эллипс в каноническом виде. Найдем уравнение касательной к
нему, проходящей через М0(x0;y0) – точка касания, она принадлежит эллипсу
значит справедливо:
[pic]
у-у0=y’(x0)(x-x0)
[pic]
Рассмотрим касательную к кривой [pic] следовательно [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
ya2y0-a2y02+b2x0x-b2x02=0
[pic]
[pic]
[pic] - уравнение касательной к эллипсу.
[pic] - уравнение касательной к гиперболе.
[pic] - уравнение касательной к параболе.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ.
Преобразование на плоскости есть применение преобразований параллельного
переноса и поворота.
Пусть две прямоугольные системы координат имеют общее начало. Рассмотрим
все возможные скалярные произведения базисных векторов двумя способами:
(е1;е1’)=cos u
(е1;е2’)=cos (90+u)= -sin u
(е2;е1’)=cos (90-u)=sin u
(е2;е2’)=cos u
Базис рассматривается ортонормированный:
(е1;е1’)=(е1, (11е1+(12е2)= (11
(е1;е2’)= (е1, (21е1+(22е2)= (21
(е2;е1’)= (12
(е2;е2’)= (22
Приравниваем:
(11=cos u
(21= - sin u
(12=sin u
(22=cos u
Получаем:
x=a+x’cos u – y’sin u
y=b+x’sin u – y’cos u - формулы поворота системы координат на угол u.
------------
x=a+x’
y=b+y’ - формулы параллельного переноса
ИНВАРИАНТЫ УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА.
Определение: Инвариантой ур-я (1) линии второго порядка относительно
преобразования системы координат, называется функция зависящая от
коэффициентов ур-я (1) и не меняющая своего значения при преобразовании
системы координат.
Теорема: инвариантами уравнения (1) линии второго порядка относительно
преобразования системы координат являются следующие величины: I1; I2; I3
Вывод: при преобразовании системы координат 3 величины остаются
неизменными, поэтому они характеризуют линию.
Определение:
I2>0 – элиптический тип
I20 и пусть I1>0
следовательно уравнение (1) определяет: 1. I30 – ур-е (1) не определяет. Если I3=0 говорят, что эллипс вырождается
в точку. Если I3>0 говорят, что задается мнимый эллипс. Пусть после ПП и
поворота ур-е (1) принимает вид (*).
Доказательство:
1. пусть I2>0, I1>0, I3 0
I1= a11’’+a22’’ > 0
a11’’ > 0; a22’’ > 0
[pic]
Итак, под корнями стоят положительные числа, следовательно, уравнение
эллипса.
2. I3>0 в данном случае под корнем стоят отрицательные числа, следовательно
уравнение не определяет действительного геометрического образа.
3. I3=0 в данном случае т(0,0) – случай вырождения эллипса.
ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА.
Теорема: Пусть уравнение (1) определяет линию гиперболического типа. Т.е.
I2V?= Sh ч.т.д.
Билет №5
1. Перпендикуляр к наклонной плоскости(формулировки, примеры)
2. Объем цилиндра.
1.Рассмотрим пл ? и т А, не лежащую в этой плоскости. Проведем через т А
прямую,( к пл ?, и обозначим букв H т пересечения этой прямой с пл ?
.Отрезок АН называется, ( проведенным из
т А к пл ?, a т Н — основанием (. Отметим в пл ? какую-
нибудь т М,отличную от Н, и проведем отр AM.Он называется
наклонной, про-вед из т А к пл ? , а т М — основанием
наклонной. Отрезок НМ наз-ывается проекцией наклонной на пл
?. Сравним ( АН и наклон-ную AM: в прямоугольном ?АМН
сторона АН — катет, а сторона AM - гипотенуза, поэтому
АН из всех расстояний от т А до различных т пл ? наименьшим
является расстояние до т H. Это расстояние, т. е: длина (,
проведенного из т А к пл ? , называется расстоянием от т A
до пл ?
Замечаиия. 1. Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости
равноудалены от другой плоскости.
2. Теорема. Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
Д-во. Впишем в данный цилиндр Р радиуса r и высоты h правильную n-угольную
призму Fn а в
эту призму впишем цилиндр Рп . Обозначим через V и Vn
объемы цилиндров Р и Рп, через rп — радиус цилиндра Рп. Так
как объем призмы Fn равен Snh, где Sn- площадь основания
призмы, а цилиндр Р содержит призму Fn , кот в свою
очередь , содержит цилиндр Рп , то Vn? n>?
Билет № 6
1. Расстояние между скрещивающимися прямыми (формулировки, примеры)
2. Объем конуса.
Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и
плоскостью , проходящей через другую прямую параллельную
первой , называется расстояни6е между скрещивающимися
прямыми.
Если две прямые скрещиваются то через каждую из них
проходит плоскость параллельная другой прямой , и при том
только одна.
2 Теорема. Объем конуса равен одной трети произведения
площади основания на высоту.
Д-во Рассмотрим конус с объемом V, радиусом основания R,
высо-той h и вершиной т О . Введем ось Ох (ОМ).
Произвольное сечение конуса пл. , ( к оси Ох , является
кругом с центром в т М1 пересе-чения этой пл. с осью Ох.
Обозначим радиус через R1 ,а S сечения через S(х) , где
х – абсцисса т М1 . Из подобия прямоугольных ? ОМ1А1 и
ОМА=> что
|ОМ|=|R|, |x|=|R|отк|R| |так|S(x)=|,|S(|(R|
|1 | |1|ил| | |1|уда|=|x|как|(R12 |т|x)|2 |
| | | |и | | | | | |R| | |о|= | |
|ОМ| |R| |h| |R| | | | | | | | |
| | | | | | | | | |h| | | | |h2|
Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при
а=0, b=0, получим
| |h| | | |h| | | | |
| | | | | | | | | |h |
|V|?|?|x2|?|?|x2|?|(|x3|(|1|?R2|
|=| |R|dx|R| |dx|R| | |=| |h |
| | |2|= |2| |= |2| | | | | |
| | |h| |h| | |h| |3 | |3| |
| | |2| |2| | |2| | | | | |
| |0| | | |0| | | | |
| | | | | | | | | |0 |
Площадь S основания конуса равна (R2, поэтому V=1/3Sh.
Следствие. Объемом V усеченного конуса , высота кот равна h, а площадь
оснований S и S1вычисляется по формуле V=1/3h(S·S1+? S·S1).
Билет №7
1. Угол между скрещивающимися прямыми
2. Площадь боковой поверхности цилиндра.
1. Пусть АВ и СD – скрещивающиеся прямые . Возьмем
произвольную т. М1 пространства и проведем через нее
прямые А1В1 и С1D1 , соответственно параллельн АВ и СD
Если ? между прямыми А1В1 и С1D1 =?, то будем говорить ,
что ? между скрещивающимися прямыми АВ и СD=?. Докажем
теперь, что ? между прямыми не зависит от выбора т. М1 .
Действительно , возьмем любую т. М2 и проведем прямые
А2В2и С2D2 соответственно парал. АВ и СD Т.к А1В1? А2D2 ,
С1D1? C2D2 , то стороны углов с вершинами в т.М1и М2
попарно сонаправлены ( ?А1М1С1 и ?А2М2С2 , ?А1М1D1 и?А2М2D2
) потому эти ? равны , ? что ? между А2В2и С2D2 так же
=?. В качестве т М можно взять любую точку на одной из
скрещивающихся прямых . Например на СD отметить т М и
через нее провести А'B' параллельные АВ .Угол между
прямыми A'B'и CD= ?
2. Терема: S боковой поверхности цилиндра равна произведению длинны
окружности основания на высоту
Разрежем боковую поверхность по образующей АВ и развернем
т.о , что все образующие оказались в одной плоскости ? . В
результате в пл ? получится прямоугольник АВВ'А' .
Стороны АВ и А'В' –два края разреза боковой поверхности
цилиндра по образующей АВ . Это прямоугольник называется
разверткой боковой поверхности цилиндра . основание АА'
прямоугольника является разверткой окружности основания
цилиндра , поэтому АА'=2?r , AB-h, где г- радиус цилиндра
, h- его высота . за S бок цилиндра принято считать S её
развертки . Т.к S прямоугольника АВВ'А'= АА'•ВА = 2?r•h
то, для вычисления S бок цилиндра радиуса к и высоты h
формула
S бок=2?rh
Билет № 9
1. Угол между плоскостями (формулировка, примеры)
2. Сложение векторов. Свойства сложения.
2. Возьмем 2 произвольных вектора a и b .Отложим от какой-нибудь т А вектор
АВ равный а. Затем от т В отложим ВС=b . Вектор АС называется суммой
векторов а и b : АС=a+b.
Это правило сложения векторов называется правилом
треугольника. (по этому же правилу складываются и
коллинеарные векторы , хотя при их сложении треугольника не
получается) Сумма a+b не зависит от выбора т А, от которой
при сложении откладывается вектор а. (если например
заменить т А на т А1 то вектор АС заменится равным ему
вектором А1С1Привило треугольника можно сформулировать и в
другой форме: для любых точек А,В,и С имеет место равенство
АВ+ВС=АС. Для сложения 2-ух неколлинеарных векторов можно
пользоваться так же правилом параллелограмма. Для любых
векторов а, b и с справедливы равенства: a+b=b+a (перемести-
тельный з-н.);(a+b)+с=а+(b+с)(сочетательный з-н). Два
нулевых вектора называются противоположными, если их длины
равны нулю и они противоположно направлены.Вектором проти-
оположным нулевому вектору , считается нулевой вектор.
Вектр АВ является проти-воположным вектру ВА
Билет № 10
1. Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла.(
формулировки , примеры)
2. Умножение вектора на число . Св-ва произведения вектора на
число.
1. Двугранным углом называют фигуру , образованную прямой а и 2-мя
полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости.
Полуплоскости, образующие двугранный угол , называются его гранями.
У двугранного угла 2 грани, отсюда и название. Прямая а –
общая граница полуплоскостей- называется ребром двугранного
угла. Для измерения двугранного угла отметим на ребре
какую-нибудь т. и в каждой грани из этой точки проведем
перпендикуляр к ребру. Образованный этими лучами угол
называется линейный угол двугранного угла. (( АОВ ) ОА(CD
CD(ОВ, то плоскость АОВ ( к прямой СD. Двугранный угол
имеет бесконечное множество линейных углов и они равны друг
другу. Рассмотрим 2 линейных (АОВ и (А1О1В1 . Лучи ОА и
О1А1 лежат в одной грани (к ОО1, поэтому они сонаправлены.
Точно так же сонаправлены ОВ и О1В1=> ( А1О1В1 =(АОВ.
Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера
его линейного угла . Он может быть прямым , острым, тупым (
90(, 90()
2. Произведение ненулвого вектора а на число k называется такой вектор b ,
длинна которого равно (k(((a( , причем вектор a и b сонаправлены при k? 0
и противоположно направлены при k0 при а(0
20.ab=ba(переместительный з-н)
30.(a+b)c=ac+bc(распределительный з-н)
40.k(ab)=(ka)b (сочетательный з-н)
Утверждения 1?-4?относятся и к планиметрии Нетрудно док-ть
, что распределительный з-н имеет место для любого числа
слагаемых( (a+b+c)d=ad+bd+cd.)
Билет № 12
1. Прямая и правильная призма(формулировки примеры)
2. Существование плоскости , проходящей через данную прямую и данную
точку.
1.Если боковые ребра перпендикулярны основаниям, то призма нвзывается
прямой, в противном случае наклонной. Высота прямой призмы равна ее
боковому ребру.
Прямая призма называется правильной, если ее основания- правильные
многоугольники. У такой призмы все боковые грани – равные прямоугольники.
2. Теорема. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
приом только одна .
Д-во. Рассмотрим пр а и не лежащую на ней т М. Отметим на прямой а 2 точки
Р и Н Точки М,Р и Н не лежат на одной прямой поэтому согласно аксиоме А1
через эти 3 точки проходит пл (. Т.к. 2 точки прямой РиН лежат в пл (.,
то по аксиоме А2 пл (.проходит через прямую а.Единственность пл, проходящай
через прямую а и т М, => из того, что любая пл., проходящая через пр а и т
М, проходит через т М, Р и Н .=>, она совпадает с пл (., т.к по аксиоме
А1через 3 точки проходит только одна плоскость.
Билет № 13
1. Параллелепипед. Прямоугольный параллелепипед(формулировка примеры)
2. Теорема о боковой поверхности призмы.
1. Прямоугольный параллелепипед. Параллелепипед называется прямоугольник,
если его боковые ребра (к основанию, а основания представляют собой
прямоугольники: коробки,
ящики, комнаты к т. д. прямоугольный параллелепипед ABCD
A1B1C1D1.Его основаниями служат прямоугольники ABCD и
A1B1C1D1 a боковые ребра АА1, ВВ1, СС1 и DD1 ( к
основаниям. Отсюда=>, что АА1(АВ, т. е. боковая граyь
АА1В1В — прямоуголь-ник. To же самое можно сказать и об
остальных боковых гранях. Та-ким образом, мы обосновали
следующее свойство прямоугольного параллелепипеда:
1°. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней
прямоугольники. Полупл, в кот расположены смежные грани
парал-
да, образуют двугранные углы, кот называются двугранными углами
параллелепипеда.
2°. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда — прямые.
Длины трех ребер, имеющих общую вершину, назовем измерениями прямоугольного
парал-да. Например, у парал-да, можно взять длины ребер АВ, AD и АА1.Длины
смежных сторон можно назвать измерениями прямоугольника и поэтому можно
сказать, что квадрат диагонали, прямоугольника равен сумме квадратов двух
его измерений.
2. Теорема: S боковой поверхности прямой призмы равна произведению
периметра основания на высоту призмы.
Д-во. Боковая поверхность прямой призмы – прямоугольники , основания
которых- стороны основания призмы, а высота равна h призмы. S боковой
поверхности призмы равна сумме произведений указанных прямоугольников,
т.е. равна сумме произведений сторон основания нв высоту h. Вынося
множитель h за скобки получим в скобках сумму сторон основания призмы, т.е
его периметр P. Итак Sбок=Ph
S=AB•h+BC•h+CA•h=h(AB+BC+CA)=Ph
Билет № 14
1. Пирамида(формулировка , примеры)
2. Существование прямой, параллельной данной прямой и
проходящей через данную точку.
1. Пирамида. Рассмотрим многоугольник А1А2…Аn и точку Р не лежащую в
плоскости этого многоугольника . Соединив т. Р отрезками с вершинами
многоугольника, получим n треугольников РА1А1, РА2А3…,РаnА1.
Многоугольник, составленный из n –угольника А1А2…Аn и n
тре-угольников , называется пирамидой. Многоугольник
А1А2…Аn назы-вается основанием, а треугольники- боковыми
гранями пирамиды. Т.Р называется вершиной пирамиды , а
отрезки РА1,РА2, …, РАn – её боковыми ребрами . Пирамиду с
основанием А1А2,…Аn и вершиной Р обозначают так: РА1А2…Аn
–и называют n –угольной пирамидой. Треугольная пирамида
называется тетраэдр. Перпендикуляр , проведенный из
вершины пирамиды к плоскости основания , называют высотой
пирамиды (РН) Площадью полной поверхности пирамиды называют
сумму площадей её граней , а площадью боковой поверх-ности
– сумму площадей её боковых граней
2. Т е о р е м а. Через любдю точку пространства, не лежащую на данной
прямой, проходит прямая, параллелькая данной, и притом только одна.
Д-во. Рассмотрим прямую a и т М, не лежащую на этой прямой. Через прямую a
и т М проходит
пл, и притом только одна . Обозначим эту плоскость буквой
?. Прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а,
должна лежать в одной плоскости с т М и прямой а, т. е.
должна лежать в плоскости ?. Ho в плоскости ?, как известно
из курса планиметрии, через т М проходит прямая,
параллельная прямой а, и притом только одна. Эта прямая
обозначена буквой b. Итак, b — единственная прямая,
проходящая через т М параллельно прямой а. Теорема
доказана.
Билет № 15
1. Цилиндр (формулировки и примеры)
2. Признак параллельных прямых.
1. Цилиндр. Рассмотрим две параллельные плоскости ? и ? и окружность L с
центром О радиуса r , расположенную в пл ?. Отрезки прямых заключенных
между плоскостями образуют цилиндрическую поверхность. Сами отрезки
называются образующими цилиндрической поверхности По построению концов
образующих расположенных в пл ? заполним окружность
L1. Тело ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя
кругами с границами L и L1 , называется цилиндром.
Цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью
цилиндра, а круги - основаниями цилиндра . Образующие
цилиндрической поверхности называются образующими цилиндра
, прямая ОО1- осью цилиндра.
Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг
одной из его сторон. Сечение цилиндра , проходящее через
ось , представляет собой прямоугольник , две стороны
которого образующие , а 2 другие –диаметры оснований
цилиндра , такое сечение называется осевым. Если секущая
плоскость ? к оси цилиндра , то сечение является кругом.
Цилиндры так же могут быть и наклонными или иметь в своем
основании параболу .
Параллельность прямых а и b обозначается так: а||b. Докажем теорему о
параллельных прямых.
Т е о р е м а. Через любдю точку пространства, не лежащую на данной прямой,
проходит прямая, параллелькая данной, и притом только одна.
Д-во. Рассмотрим прямую a и т М, не лежащую на этой прямой. Через прямую a
и т М проходит
пл, и притом только одна . Обозначим эту плоскость буквой
?. Прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а,
должна лежать в одной плоскости с т М и прямой а, т. е.
должна лежать в плоскости ?. Ho в плоскости ?, как известно
из курса планиметрии, через т М проходит прямая,
параллельная прямой а, и притом только одна. Эта прямая
обозначена буквой b. Итак, b — единственная прямая,
проходящая через т М параллельно прямой а. Теорема
доказана.
Билет №16
1. Конус (формулировки и примеры)
2. Признак параллельности прямой и плоскости
1.Конус. Рассмотрим окружность L с центром О и прямую ОР ,
перпендикулярную к плоскости этой окружности. Каждую точку окружности
соединим с отрезом в т. Р Поверхность, образованная этими отрезками
называется конической поверхностью
а сами отрезки – образующими конической поверхности. Тело,
ограниченное конической поверхностью и круг-ом с границей
L, называется конусом .Коническая по-верх называется
боковой поверхностью конуса, а круг - снованием конуса .
Т.Р называется вершиной конуса , а образующие конической
поверхности – образующими конуса. Все образующие равны
друг другу . ОР , прохо-дящая через центр основания и
вершину , называется Осью конуса . Ось конуса ? к
плоскости основания. Отрезок ОР называется высотой конуса.
Конус можно получить и вращением прямоуголь-ным
треугольником вокруг одного из его катетов. При этом
боковая поверхность образуется с помо-щью гипотенузы.
Рассмотрим сечения конуса. Если секущая ось проходит через
ось , то сечение пред-ставляет собой треугольник , и
называется осевым сечением. Если секущая плоскость ? к оси
ОР конуса, о сечене пред-ставляет собой круг с центром
в т.О1 , расположенным на оси конуса. R1 этого круга равен
РО1/РО r , где r- радиус основания конуса , что легко
усмотреть из подобия ?РОМ??РО1М1
2.Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не
имеют общих точек.
Теорема. Если прямая , не лежащая в даннойц плоскости, палаллльна какой-
нибудь прямой , лежащей в этой плоскости, то она параллнльна данной
плоскости.
Д-во. Рассмотрим пл.?и 2|прямые a и b , расположенные так, что прямая b
лежит в пл ?, а прямая a не лежит в этой пл. Докажем, что ?|a. Допустим,
что это не так, тогда прямая a пересекает пл ? , а значит по лемме о
пересечении пл параллельными прямыми пр b так же пересекает пл ? . Но это
невозможно , так как пр b лежит в пл ?. Итак пр a не пересекает пл ?,
поэтому она |этой плоскости.
Билет № 17
1. Сфера, шар( формулировки, примеры)
2. Признак параллельности плоскостей.
Определение. Сферой называется поверхность, состоящая из всех точен.
пространства, расположенных на данном расстоянии or данной точки
Данная точка называется центром сферы (т О), а данное
расстояние — радиусом сферы. Радиус сферы часто обозначают
буквой R Люб-ой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь
точку сферы, также называется радиусом сферы.Отрезок,
соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр,
называется диаметром сферы. Очеви-дно, диаметр сферы равен
2R Отметим, что сфера может быть полу-чена вращением
полуокружности вокруг ее диаметра Тело, ограни-ченное
сферой, называется шаром. Центр, радиус и диаметр сферы
называются также центром, радиусом и диаметром шара.
Очевидно, шар радиуса R с центром О содержит все точки
пространства, кот. Расположены от точки О на расстоянии, не
превышающем H (вклю-чая и точку О), и не содержит других
точек.
2.Теорема. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно
параллельны двум прямым, другой плоскости, то эти плоскости праллельны.
Д-во. Рассмотрим две плоскости ? и ?. В плоскости ? лежат
пересека-ющиеся в точке М прямые a и b, а в плоскости ? —
прямые a1 и b, причем a||a1 и b||b1. Докажвм, что a||b.
Прежде всего отметим, что по признаку параллельности прямой
и плоскости a||? и b||?. Допустим, что плоскости ? и ? не
параллельны. Тогда они пересекаются по некоторой прямой с.
Мы получили, что плоскость a проходит через прямую а, па-
раллельную плоскости ?, и пересекает плоскость по прямой с.
Отсюда следует, что a||с.
Но плоскость a проходит также через прямую b, параллельную
плоскости ?. Поэтому b||c. Т.о, через т М проходят две
прямые a и b, параллельные прямой с. Но это невозможно, т.к
по теореме о параллельных прямых через точку М проходит
только одна прямая, параллельная прямой с. Значит, наше
допущение неверно и ?|| ?. Теорема доказана.
Билет № 18
1.Формула прямоугольногопараллелепипеда. (формулировка и пример)
2. Свойства перпендикулярности прямой и плоскости( доказательство одного
из них)
2. Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости , если она
перпендикулярна к любой прямой , лежащей в этой плоскости.
Теорема. Если одна из 2-ух параллельных прямых перпендикуляр-
на к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой
плос-кости.
Д-во. Рассмотрим 2 |а и а1 и пл ?, такую, что а(?. Докажем,
что и а1(?.. проведем какую-нибудь прямую х в пл ?. Так как
а(?, то а(х. По лемме о перпендикулярности 2-ух параллельных
прямых к третьей а1(х. Т.о. прямая а1 ( к любой прямой ,
лежащей в пл ( т.е а1(?.
Теорема. Если 2 прямые перпендикулярны к плоскости , то они
параллельны.
Билет №20
1. Фрмула обьема шара( формула примеры)
2. Теорема о трех перпендикулярах
1. Теорема: Объем шара радиуса R равен 4/3 (R3
Д-во: Рассмотрим шар радиуса R с центром в т.О и выберем ост Ох
произвольным образом. Сечение шара пл. (к оси Ох и проходящей через т М
этой оси является кругом с центром в т М. Обозничим радиус этого круга r
, а его площадь S(x), где х- абсц-исса т М. Выразим S(х)через х и R.Из
прямоуголь-ника ОМС находим: r=(OC2 –OM2 =(R2(x2.Так как S(x)=(R2 ,то S(x)=
((R2- x2). Заметим , что эта фор-мула верна для любого положения т.М на
диаметре АВ, т.е. для всех х, удовлетворяющих условию -R( x (R. Примеряя
основную формулу для вычисления объемов тел при а= -R, b=R, получим
|V| R |(| |4| |
| |R R |x|R| | |
| |R |3| | | |
| |=?((R2-x2)dx= (R2? | |(| |(R|
| |dx-(?x2dx=(R2x(- | |=| |3 |
| | |3| |3| |
| | -R | |-| | |
| |-R -R | |R| | |
| |-R | | | | |
2.Теорема. Прямая проведенная в плоскости через основание наклонной
перпендикулярно к её проекции на эту плоскость,
перпендикулярна и к самой наклонной.
Д-во. Дана пл ? и перпендикуляр АН , АМ- наклонная, а-
прямая, проведенная в пл ? через т м ( к проекции НМ
наклонной. Докажем , что а (АМ. Рассотрим пл АМН. Пр.а (к
этой пл, т.к она ( к 2-ум пересекающимся прямым АН и МН(а
( НМ по условию и а (АН, т.к. АН( ?). Отсюда =>, что пр а (
к любой прямой , лежащей в пл АМН, в частности а(АМ
Обратная теорема. Прямая проведенная в плоскости через основание наклонной
перпендикулярно к ней перпендикулярна и к её проекции
| |
