|
Реферат: История тригонометрии (Математика)
Слово тригонометрия впервые встречается в 1505 году в заглавии книги
немецкого математика Питискуса.
Тригонометрия – слово греческое и в буквальном переводе означает измерение
треугольников ((((((((( - треугольник, а ((((((- измеряю).
В данном случае измерение треугольников следует понимать как решение
треугольников, т.е. определение сторон, углов и других элементов
треугольника, если даны некоторые из них. Большое количество практических
задач, а также задач планиметрии, стереометрии, астрономии и других
приводятся к задаче решения треугольников.
Возникновение тригонометрии связано с землемерением, астрономией и
строительным делом.
Хотя название науки возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас
к тригонометрии понятия и факты были известны ещё две тысячи лет назад.
Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между
сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами
Гиппархом (2 в. до н. э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.). Позднее
зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами начали
называть тригонометрическими функциями.
Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые Аль-
Батани (850-929) и Абу-ль-Вафа, Мухамед-бен Мухамед (940-998), который
составил таблицы синусов и тангенсов через 10’ с точностью до 1/604.
Теорему синусов уже знали индийский ученый Бхаскара (р. 1114, год смерти
неизвестен) и азербайджанский астроном и математик Насиреддин Туси Мухамед
(1201-1274). Кроме того, Насиреддин Туси в своей работе «Трактат о полном
четырехстороннике» изложил плоскую и сферическую тригонометрию как
самостоятельную дисциплину.
Длительную историю имеет понятие синус. Фактически различные отношения
отрезков треугольника и окружности (а по существу, и тригонометрические
функции) встречаются уже в III веке до н.э. в работах великих математиков
Древней Греции – Евклида, Архимеда, Апполония Пергского. В римский период
эти отношения достаточно систематично исследовались Менелаем (I век н.э.),
хотя и не приобрели специального названия. Современный синус (, например,
изучался как полухорда, на которую опирается центральный угол величиной (,
или как хорда удвоенной дуги.
A
А’
Рис. 1
В IV-V веках появился уже специальный термин в трудах по астрономии
великого индийского учёного Ариабхаты, именем которого назван первый
индийский спутник Земли. Отрезок АМ (рис. 1) он назвал ардхаджива (ардха –
половина, джива – тетива лука, которую напоминает хорда). Позднее появилось
более краткое название джива. Арабскими математиками в IX веке это слово
было заменено на арабское слово джайб (выпуклость). При переводе арабских
математических текстов в веке оно было заменено латинским синус (sinus –
изгиб, кривизна).
Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение латинского выражения
completely sinus, т. е. “дополнительный синус” (или иначе “синус
дополнительной дуги”; cos( = sin( 90( - ()).
Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени.
Тангенс (а также котангенс) введен в X веке арабским математиком Абу-ль-
Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и
котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными
европейским ученым, и тангенсы были заново открыты лишь в XIV веке немецким
математиком, астрономом Регимонтаном (1467 г.). Он доказал теорему
тангенсов. Региомонтан составил также подробные тригонометрические
таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала
самостоятельной дисциплиной и в Европе.
Название «тангенс», происходящее от латинского tanger (касаться), появилось
в 1583 г. Tangens переводится как «касающийся» (линия тангенсов –
касательная к единичной окружности).
Дальнейшее развитие тригонометрия получила в трудах выдающихся астрономов
Николая Коперника (1473-1543) – творца гелиоцентрической системы мира, Тихо
Браге (1546-1601) и Иогана Кеплера (1571-1630), а также в работах
математика Франсуа Виета (1540-1603), который полностью решил задачу об
определениях всех элементов плоского или сферического треугольника по трем
данным.
Долгое время тригонометрия носила чисто геометрический характер, т. е.
Факты, которые мы сейчас формулируем в терминах тригонометрических функций,
формулировались и доказывались с помощью геометрических понятий и
утверждений. Такою она была еще в средние века, хотя иногда в ней
использовались и аналитические методы, особенно после появления логарифмов.
Пожалуй, наибольшие стимулы к развитию тригонометрии возникали в связи с
решением задач астрономии, что представляло большой практический интерес
(например, для решения задач определения местонахождения судна,
предсказания затемнения и т. д.). Астрономов интересовали соотношения между
сторонами и углами сферических треугольников. И надо заметить, что
математики древности удачно справлялись с поставленными задачами.
Начиная с XVII в., тригонометрические функции начали применять к решению
уравнений, задач механики, оптики, электричества, радиотехники, для
описания колебательных процессов, распространения волн, движения различных
механизмов, для изучения переменного электрического тока и т. д. Поэтому
тригонометрические функции всесторонне и глубоко исследовались, и приобрели
важное значение для всей математики.
Аналитическая теория тригонометрических функций в основном была создана
выдающимся математиком XVIII веке Леонардом Эйлером (1707-1783) членом
Петербургской Академии наук. Громадное научное наследие Эйлера включает
блестящие результаты, относящиеся к математическому анализу, геометрии,
теории чисел, механике и другим приложениям математики. Именно Эйлер первым
ввел известные определения тригонометрических функций, стал рассматривать
функции произвольного угла, получил формулы приведения. После Эйлера
тригонометрия приобрела форму исчисления: различные факты стали
доказываться путем формального применения формул тригонометрии,
доказательства стали намного компактнее проще,
Таким образом, тригонометрия, возникшая как наука о решении треугольников,
со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.
Позднее часть тригонометрии, которая изучает свойства тригонометрических
функций и зависимости между ними, начали называть гониометрией (в переводе
– наука об измерении углов, от греческого ((((( - угол, ((((((- измеряю).
Термин гониометрия в последнее время практически не употребляется.
-----------------------
R
( М
O
Реферат на тему: История тригонометрии в формулах и аксиомах
Тригонометрические функции
Тригонометрия – слово греческое и в буквальном переводе означает
измерение треугольников ((((((((( - треугольник, а ((((((- измеряю).
В данном случае измерение треугольников следует понимать как решение
треугольников, т.е. определение сторон, углов и других элементов
треугольника, если даны некоторые из них. Большое количество практических
задач, а также задач планиметрии, стереометрии, астрономии и других
приводятся к задаче решения треугольников.
Возникновение тригонометрии связано с землемерением, астрономией и
строительным делом.
Впервые способы решения треугольников, основанные на изависимостях
между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими
астрономами Гиппархом (2 в. до н .э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.).
Пожднее зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами
начали называть тригонометрическими функциями.
Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые аль-
Батани (850-929) и Абу-ль-Вефа Мухамед-бен Мухамед (940-998), который
составил таблицы синусов и тангенсов через 10’ с точностью до 1/604.
Теорему синусов уже знали индийский ученый Бхаскара (р. 1114, год смерти
неизвестен) и азербайджанский астроном и математик Насиреддин Туси Мухамед
(1201-1274). Кроме того, Насиреддин Туси в своей работе «Трактат о полном
четырехстороннике» изложил плоскую и сферическую тригонометрию как
самостоятельную дисциплину.
Теорему тангенсов доказал Региомонтан (латинизированное имя немецкого
астронома и математика Иоганна Мюллера (1436-1476)). Региомонтан составил
также плдробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и
сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе.
Дальнейшее развитие тригонометрия получила в трудах выдающихся
астрономов Николая Коперника (1473-1543) – творца гелиоцентрической системы
мира, Тихо Браге (1546-1601) и Иогана Кеплера (1571-1630), а также в
работах математика Франсуа Виета (1540-1603), который полностью решил
задачу об определениях всех элементов плоского или сферического
треугольника по трем данным.
Долгое время тригонометрия носила чисто геометрический характер. Такою
она была еще в средние века, хотя иногда в ней использовались и
аналитические методы, особенно после появления логарифмов. Постепенно
тригонометрия органически вошла в математический анализ, механику, физику и
технические дисциплины.
Начиная с XVII в., тригонометрические функции начали применять к
решению уравнений, задач механики, оптики, электричества, радиотехники, для
описания колебательных процессов, распространения волн, движения различных
механизмов, для изучения переменного электрического тока и т. д. Поэтому
тригонометрические функции всесторонне и глубоко исследовались и приобрели
важное значение для всей математики.
Аналитическая теория тригонометрических функций в основном была
создана выдающимся математиком XVIII в. Леонардом Эйлером (1707-1783)
членом Петербургской Академии наук.
Таким образом, тригонометрия, возникшая как наука о решении
треугольников, со временем развилась и в науку о тригонометрических
функциях.
Позднее часть тригонометрии, которая изучает свойства
тригонометрических функций и зависимости между ними, начали называть
гониометрией (в переводе – наука об измерении углов, от греч. ((((( - угол,
((((((- измеряю). Термин гониометрия в последнее время практически не
употребляется.
Изучение свойств тригонометрических функций и зависимостей между ними
отнесено к школьному курсу алгебры, а решение треугольников – к курсу
геометрии.
Тригонометрические функции острого угла
В прямоугольном треугольнике, имеющем данный угол (, отношения сторон
не зависят от размеров треугольника. Рассмотрим два прямоугольных
треугольника АВС и А1В1С1 (рис.1), имеющих равные углы (А=(А1 =(. Из
подобия этих треугольников имеем:
Если величину угла ( измерить, то написанные равенства остаются
справедливыми, а измениться
лишь числовое значение отношений и т.д. Поэтому отношения
можно рассматривать как функции угла (.
Рис.1.
Синусом острого угла называется отношение противоположного этому
углукатета к гипотенузе. Обозначают это так:
sin(=
Значения тригонометрических функций (отношений отрезков) являются
отвлеченными числами.
Приближенные значения тригонометрических функций острого угла можно
найти непосредственно согласно их определениям. Построив прямоугольный
треугольник с острым углом ( и измерив его стороны, согласно определениям
мы можемвычислить значение, например, sin(.
Пользуясь тем, что значения тригонометрических функций не зависят от
размеров треугольника, для вычисления значений sin углов (=30(; 45(; 60(
рассмотрим прямоугольный треугольник с углом (=30(; и катетом ВС=a=1, тогда
гипотенуза этого треугольника с=2, а второй катет b=(3; рассмотрим также
треугольник с углом (=45( и катетом a=1, тогда для этого треугольника c=(2
и b=1.
Полученные результаты запишем в таблицу.
| |30( |45( |60( |
|sin( | | | |
| | | | |
Рис.2.
Приближенные значения тригонометрических функций для углов от 0( до
90( можно получить построив четверть круга, радиус которогопримем за 1, и
его дугу разделимна 45 равных частей. Тогда градусная мера каждой части
будет равна 2(.
90( N
0,79
а
А b С 0,62 0( M Рис.3.
Радиусы АМ и АN разделим на 100 равных частей. Построим прямоугольный
треугольник с вершиной в центре круга и катетом совпадающим с радиусом АМ и
гипотенузой АВ=1. Если угол ВАС=(, то по определению тригонометрических
функций мы имеем:
sin(=а
Для угла 52( на шкале радиуса АN находим, что а=0,79, а на шкале
радиуса АМ находим, что b=0,62., то есть sin52(=0,79.
Построив прямоугольные треугольники для углов (=2(, 4(, 6(, 8(,…, 88(,
согласно рис.3., найдем значения (при аккуратных измерениях и вычислениях)
с точностью до 0,01. Для углов 0( и 90( прямоугольных треугольников не
существует. Однако, если гипотенуза АВ будет стремиться по положению к
радиусу АМ, то угол ((0, а катеты а(0 и b(1. В таком случае для полноты
значений тригонометрических функций принимают, что
sin0(=а=0; cos0(=b=1.
Что касается значений tg( и ctg(, то при ((0 отношение (0, т.е.
, а отношение при ((0 неограниченно возрастает. Этот результат
записывают как ((, где символ ( указывает, что величина неограниченно
возрастает и не может быть выражена никаким числом, так как знак ( не
является каким-либо числом. Таким образом, принимают, что tg0(=0, а ctg0(
не существует, что чаще записывают как ctg0(=(.
Рассуждая аналогично при ((90( приходим к целесообразности принять
что
sin90(=1; cos90(=0, tg90( не существует (tg90((() и ctg90(=0.
Приведем таблицу значений синусов для углов от 0( до 90( с шагом 2(,
которую можно получить указанным выше способом.
градусы |0 |2 |4 |6 |8 |10 |12 |14 |16 |18 |20 |22 | |sin |0,00 |0,03 |0,07
|0,10 |0,14 |0,17 |0,21 |0,24 |0,28 |0,31 |0,34 |0,37 | |градусы |24 |26
|28 |30 |32 |34 |36 |38 |40 |42 |44 |46 | |sin |0,41 |0,44 |0,47 |0,50
|0,53 |0,56 |0,59 |0,62 |0,64 |0,67 |0,69 |0,72 | |градусы |48 |50 |52 |54
|56 |68 |60 |62 |64 |66 |68 |70 | |sin |0,74 |0,77 |0,79 |0,81 |0,83 |0,93
|0,87 |0,88 |0,90 |0,91 |0,93 |0,94 | |градусы |72 |74 |76 |78 |80 |82 |84
|86 |88 |90 | | | |sin |0,95 |0,96 |0,97 |0,98 |0,98 |0,99 |0,99 |1,00
|1,00 |1,00 | | | |Пользуясь значениями тригонометрической функции y=sinx
из таблицы, построим график.
y
1
0 30( 60( 90( x
Рис.4.
Основные соотношения между тригонометрическими функциями острого угла
Для прямоугольного треугольника в соответствии с теоремой Пифагора
a2+b2=c2
или
По определению тогда
(1)
Легко также найти следующие зависимости
(2)
(3)
(4)
(5)
Из соотношений (1)-(5), которые называют основными, можно вывести и
другие вспомогательные соотношения, например:
(6)
(7)
(8)
Соотношения (1)-(8) связывают все тригонометрические функции так, что
по значению одной из них для данного острого угла можно найти значения всех
остальных функций для этого же угла.
Тригонометрические функции произвольного угла
Пусть в прямоугольной системе координат x0y задан радиус-вектор
образующий с положительным направлением оси 0x угол (. Будем считать, что
ось 0x – начальная сторона, а вектор - конечная сторона угла (.
Проекция вектора на координатные оси соответственно обозначим ax и ay.
Можно показать, что отношения где а – длина вектора ,
зависят только от
величины угла ( и не зависят от длины вектора . Поэтому эти отношения
можно рассматривать как функции произвольного угла (.
Синусом угла (,образованного осью 0x и произвольным радиусом-вектором
, называется отношение проекции этого вектора на ось 0y к его длине:
y
A
x
Рис. 6.
Если не указано сколько оборотов совершил вектор вокруг точки 0, то
положение вектора определяет угол с точностью до целого оборота, т.е углу с
начальной стороной 0x и конечной стороной соответствует бесчисленное
множество углов, которые выражаются формулой
360((n+(, где n=0; (1; (2; (3; (4; …
и sin((+360(( n)=sin(
Длина радиуса-вектора всегда число положительное. Проекция его на
координатные оси величины алгебраические и в зависимости от координатных
четвертей имеют следующие знаки:
В I четверти ax>0; ay>0;
Во II четверти ax0;
В III четверти ax | |
