|
Реферат: Преобразования плоскости, движение (Математика)
Преобразования плоскости
Отображение плоскости на себя
Отображенем плосости на себя называется такое преоброзование, что каждой
точке исходной плоскости сопоставляется какая-то точка этой же плоскости,
причем любая любая точка плоскости оказывается сопоставленой другой точке.
Если при отображении плоскости на себя фигура F преобразовывается в фигуру
F', то говорят, что фигура F' - образ фигуры F, а фигура F - прообраз
фигуры F'. Если одним отображением фигура F переводится в фигуру F', а
затем фигура F' переводится в фигуру F'', то отображение, переводящее F в
F'' называется композицией двух отображений. Неподвижной точкой отображения
называется такая точка A которая этим отображением переводится сама в себя.
Отображение, все точки которого неподвижные называется тождественным
отображением. Если при данном отображении разным точкам фигуры
соответствуют разные образы, то такое отображение называется взаимно
однозначным. Пусть фигура F' получена из фигуры F взаимно однозначным
отображением f, то можно задать отображение обратное отображению f, которое
определяется так: композиция отображения f и отображения, обратного f
является тождественным отображением. Существует множество видов отображения
плоскости на себя, рассмотрим некоторые из них:
Движения
. Параллельный перенос
. Осевая симметрия
. Поворот вокруг точки
. Центральная симметрия
Подобие
. Гомотетия
Движение
Движением называется отображение плоскости на себя при которром
сохранаяются все расстояния между точками. Движение имеет ряд важных
свойств:
Три точки, лежащие на одной прямой, при движении переходят в три точки,
лежащие на одной прямой, и три точки, не лежащие на одной прямой, переходят
в три точки, не лежащие на одной прямой.
Докозательство: пусть движение переводит точки A, B, C в точки A', B',
C'. Тогда выполняются равенства
A'B'=AB , A'C'=AC , B'C'=BC (1)
Если точки A, B, C лежат на одной прямой, то одна из них, например точка
B лежит между двумя другими. В этом случае AB+BC=AC, и из равенств (1)
следует, что A'C'+B'C'=A'C'. А из этого следует, что точка B' лежит между
точками A' и C'. Первое утверждение доказано. Второе утверждение докажем
методом от противного: Предположим, что точки A', B', C' лежат на одной
прямой даже в том случае, если точки A, B, C не лежат на одной прямой, то
есть являются вершинами треугольника. Тогда должны выполнятся неравенства
треугольника:
AB | |
