|
Реферат: Приближенное решение уравнений (Математика)
Управление образования администрации г. Норильска средняя школа №36
Научная работа по математике
тема : "Приближенное вычисление корней в уравнениях".
Выполнили: Мамедалиева Ирада и
Павлова Галина
ученицы 11"А" класса
средней школы №36
Научный руководитель:
учитель математики
средней школы № 36
Крайняя В.В..
Норильск 2000 г.
Содержание.
1. Введение.
2. Приближённое решение уравнений :
2.1 Способ хорд (или способ линейной интерполяции).
2. Способ касательных (или способ Ньютона).
3. Комбинированный способ (комбинированное применение способов хорд и
касательных).
3. Заключение.
4. Список литературы.
5. Приложение :
а) рисунок № 1
б) рисунок № 2
в) рисунок № 3
г) рисунок № 4
д) рисунок № 5
е) рисунок № 6
ж) рисунок № 7
Приближённое решение уравнений.
Если квадратные уравнения решали уже древние греки, то способы решения
алгебраических уравнений третьей и четвёртой степени были открыты лишь в
XVI веке. Эти классические способы дают точные значения корней и выражают
их через коэффициенты уравнения при помощи радикалов различных степеней.
Однако эти способы приводят к громоздким вычислениям и поэтому имеют малую
практическую ценность.
В отношении алгебраических уравнений пятой и высших степеней доказано, что
в общем случае их решения не выражаются через коэффициенты при помощи
радикалов. Не выражаются в радикалах, например, корни уже такого простого
по виду уравнения, как:
х^5-4х-2=0
Сказанное, однако, не означает отсутствия в науке методов решения уравнения
высших степеней. Имеется много способов приближенного решения уравнений -
алгебраических и неалгебраических (или, как их называют, трансцендентных),
позволяющих вычислять их корни с любой, заранее заданной степенью точности,
что для практических целей вполне достаточно.
На простейших из таких способов мы и остановимся, причём речь будет идти о
вычислении действительных корней.
Пусть нужно решить уравнение:
f(x)=0
(1)
Если обратиться к рисунку, то каждый корень уравнения (1) представляет
собой абсциссу точки пересечения графика функции y=f(х)
C осью Ох (рисунок №1)
С помощью графика функции или каким-нибудь иным способом обычно удаётся
установить приблизительные значения корней. Это позволяет для каждого корня
получить грубые приближения по недостатку и по избытку. Такого рода грубых
приближений во многих случаях оказывается достаточно, чтобы, отправляясь от
них, получить все значения корня с требуемой точностью. Об этом и пойдёт
речь.
Итак, пусть корень Е уравнения (1) "зажат" между двумя его приближениями а
и b по недостатку и по избытку а< E0, f``(х)>0 (рисунок №3), - в
остальных случаях рассуждение вполне аналогично. В этом первом случае x1
лежит между a и Е. С отрезком [x1, b] поступаем так же, как мы поступаем с
отрезком [a, b] (рисунок №4). При этом для нового приближённого значения
корня получаем:
x1 = x2-(b- x1)*f(x1)/f(b)-f(x1)
( в формуле (2) заменяем x1 на x2, а на x1 ); значение x2 оказывается
между x1 и Е. Рассматриваем отрезок [x2, b] и находим новое приближённое
x3, заключённое между x2 и Е и. т. д. В результате получим
последовательность а0, то применяем формулу:
x1`= х0- f(х0)/ f`( х0), где f`(1,7)=4*1,7^3-2=17,652. Тогда
x1=1,7- 0,952/17,652=1,646.
Применяем второй раз способ касательных:
х2= x1- f(x1)/ f` (x1), где f(x1)= f(1,646)=0,048, f` (1,646) =15,838;
x^2=1,646-0,048/15,838=1,643;
f(1,643)=0,004, f` (1,643)=15,740;
х3=1,643-0,004/15,740=1,6427.
Следовательно, искомый корень с точностью до 0,01 равен 1,64.
2.3 Комбинированный способ
(комбинированное применение способов хорд и касательных).
Этот способ состоит в одновременном использовании способов хорд и
касательных. Остановим своё внимание опять на случае, отвечающем первому
рисунку №2. Значения x1 и x1`, вычисляем по прежним формулам, т. е.
принимаем:
x1=a-(b-a)f(a)/f(b)-f(a),
(10)
x1`=b-f(b)/f`(b), причём: x1 | |
