|
Реферат: Решения смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток (Математика)
МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Р.Ф.
КУРГАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра прикладной и высшей математики
Лабораторная работа № 43
на тему:
Решение смешанной задачи для уравнения
гиперболического типа методом сеток
Группа М-2136
Выполнил студент _______________________
Проверил преподаватель Воронова Лилия Ивановна
Курган 1998
Рассмотрим смешанную задачу для волнового уравнения ( (
2 u/ ( t2) = c 2 * ( ( 2u/ ( x2) (1). Задача состоит в отыскании
функции u(x,t) удовлетворяющей данному уравнению при 0 < x < a, 0 < t ( T,
начальным условиям u(x,0) = f(x), ( u(x,0)/ ( t = g(x) , 0 ( x ( a и
нулевыми краевыми условиями u(0,t) = u(1,t)=0.
Так как замена переменных t ( ct приводит уравнение (1) к виду ( (
2 u/ ( t2) = ( ( 2u/ ( x2), то в дальнейшем будем считать с = 1.
Для построения разностной схемы решения задачи строим в области D =
{(x,t) | 0 ( x ( a, 0 ( t ( T } сетку xi = ih, i=0,1 ... n , a = h * n,
tj = j* ((( , j = 0,1 ... , m, ( m = T и аппроксимируем уравнение (1) в
каждом внутреннем узле сетки на шаблоне типа “крест”.
t
T
j+1
j
j-1
0 i-1 i i+1
Используя для аппроксимации частных производных центральные разностные
производные, получаем следующую разностную аппроксимацию уравнения (1) .
ui,j+1 - 2uij + ui,j-1 ui+1,,j - 2uij + ui-1, j
( 2
h2
(4)
Здесь uij - приближенное значение функции u(x,t) в узле (xi,tj).
Полагая, что ( = ( / h , получаем трехслойную разностную схему
ui,j+1 = 2(1- ( 2 )ui,j + ( 2 (ui+1,j- ui-1,j) - ui,j-1 , i = 1,2
... n. (5)
Для простоты в данной лабораторной работе заданы нулевые граничные
условия, т.е. ( 1(t) ( 0, ( 2(t) ( 0. Значит, в схеме (5) u0,j= 0,
unj=0 для всех j. Схема (5) называется трехслойной на трех временных слоях
с номерами j-1, j , j+1. Схема (5) явная, т.е. позволяет в явном виде
выразить ui,j через значения u с предыдущих двух слоев.
Численное решение задачи состоит в вычислении приближенных значений
ui,j решения u(x,t) в узлах (xi,tj) при i =1, ... n, j=1,2, ... ,m .
Алгоритм решения основан на том, что решение на каждом следующем слое ( j =
2,3,4, ... n) можно получить пересчетом решений с двух предыдущих слоев (
j=0,1,2, ... , n-1) по формуле (5). На нулевом временном слое (j=0) решение
известно из начального условия ui0 = f(xi).
Для вычисления решения на первом слое (j=1) в данной лабораторной
работе принят простейший способ, состоящий в том, что если положить (
u(x,0)/ ( t ( ( u( x, ( ) - u(x,0) )/ ( (6) , то ui1=ui0+ + (
(xi), i=1,2, ... n. Теперь для вычисления решений на следующих слоях можно
применять формулу (5). Решение на каждом следующем слое получается
пересчетом решений с двух предыдущих слоев по формуле (5).
Описанная выше схема аппроксимирует задачу с точностью до О( ( +h2).
Невысокий порядок аппроксимации по ( объясняется использованием слишком
грубой аппроксимации для производной по е в формуле (6).
Схема устойчива, если выполнено условие Куранта ( < h. Это
означает, что малые погрешности, возникающие, например, при вычислении
решения на первом слое, не будут неограниченно возрастать при переходе к
каждому новому временному слою. При выполнении условий Куранта схема
обладает равномерной сходимостью, т.е. при h ( 0 решение разностной
задачи равномерно стремится к регшению исходной смешанной задачи.
Недостаток схемы в том, что как только выбраная величина шага сетки h
в направлении x , появляется ограничение на величину шага ( по
переменной t . Если необходимо произвести вычисление для большого значения
величины T , то может потребоваться большое количество шагов по переменной
t. Указанный гнедостаток характерен для всех явных разностных схем.
Для оценки погрешности решения обычно прибегают к методам сгущения
сетки.
Для решения смешанной задачи для волнового уравнения по явной
разностной схеме (5) предназначена часть программы, обозначенная Subroutine
GIP3 Begn ... End . Данная подпрограмма вычисляет решение на каждом слое по
значениям решения с двух предыдущих слоев.
Входные параметры :
hx - шаг сетки h по переменной х;
ht - шаг сетки ( по переменной t;
k - количество узлов сетки по x, a = hn;
u1 - массив из k действительных чисел, содержащий значение решений на
( j - 1 ) временном слое, j = 1, 2, ... ;
u2 - массив из n действительных чисел, содержащий значение решений на
j - м временном слое, j = 1, 2, ... ;
u3 - рабочий массив из k действительных чисел.
Выходные параметры :
u1 - массив из n действительных чисел, содержащий значение решения из
j - м временном слое, j = 1, 2, ... ;
u2 - массив из n действительных чисел, содержащий значение решения из
( j +1) - м временном слое, j = 1, 2, ... .
К части программы, обозначенной как Subroutine GIP3 Begin ... End
происходит циклическое обращение, пеоред первым обращением к программе
элементам массива u2 присваиваются начальные значения, а элементам массива
u1 - значения на решения на первом слое, вычислинные по формулам (6). При
выходе из подпрограммы GIP3 в массиве u2 находится значение решения на
новом временном слое, а в массиве u1 - значение решения на предыдущем слое.
Порядок работы программы:
1) описание массивов u1, u2, u3;
2) присвоение фактических значений параметрам n, hx, ht, облюдая
условие Куранта;
3) присвоение начального значения решения элементам массива и
вычисленное по формулам (6) значение решения на первом слое;
4) обращение к GIP3 в цикле k-1 раз, если требуется найти решение на k-
м слое ( k ( 2 ).
Пример:
1
0.5 0.5
Решить задачу о колебании струны единичной длины с закрепленными
концами, начальное положение которой изображено на рисунке. Начальные
скорости равны нулю. Вычисления выполнить с шагом h по x, равным 0.1, с
шагом ( по t, равным 0.05, провести вычисления для 16 временных слоев
с печатью результатов на каждом слое. Таким образом, задача имеет вид
( ( 2 u/ ( t2) = ( ( 2 u/ ( x 2) , x ( [ 0 , 1 ] , t (
[ 0 , T ] ,
u ( x , 0 ) = f (x) , x ( [ 0 , a ], ( u(x,0)/ ( t = g(x) ,
x ( [ 0 , a ],
u ( 0 , t ) = 0, u ( 1 , t ) = 0, t ( [ 0 , 0.8 ],
( 2x , x ( [ 0 , 0.5 ] ,
f(x) = ( g( x ) = 0
( 2 - 2x , x ( [ 0.5 , 1 ] ,
Строим сетку из 11 узлов по x и выполняем вычисления для 16 слоев по
t. Программа, и результаты вычисления приведены далее.
Реферат на тему: Ряды
Фун 2 числовых аргументов.
Пусть имеется Е (х1;у1) – элементы принадлеж точке Е
Сущ закон или правило по которому каж точке (xi;yi) ставится в соот-е число
Wi или любой точке (xi;yi) или паре чисел ставится в соот-е zi след-но
zi=F(х;у), где Е-обл опред-я F(х;у).
Если рассмот-ть точку (хi;уi) и нашли соот-е значения zi=F(хi;уi).
Пусть точка (х0;у0)(Е дельта окрест-ю точки (х0;у0) наз множество точек
(х;у) удовлетвор-х нерав-у
(((х-х0)+(y-y0)( 0 сущ-ет ( окрест-ть точки (х0;у0) такая, что при всех
(х;у)(( окрест-ти будет выполн нерав-во (((х-х0)2+(y-y0)2( lim(Xn(Yn)=a(b
(n(().
2)limXnYn = lim Xn * lim Yn (n(().
3)lim Xn=a, lim Yn=b (n(() => lim Xn/Yn =
(lim Xn)/(lim Yn) = a/b.
Док-во: Xn/Yn – a/b = (a+(n)/(b+(n) – a/b = (ab+(nb–ab–a(n)/b(b+(n) =(b(n-
a(n)/b(b+(n)=(n => Xn/Yn=a/b+(n => ( lim Xn/Yn = a/b = (lim Xn)/(lim Yn)
(n(().
Все св-ва и правила вычисл-я такие же как для 1 переменной.
Непрерывность фун в точке.
Опр: Пусть точка М0(х0;у0) ( обл опр-я фун-и f(х;у). Фун-я z=f(х;у) наз
непрерывной в точке М0(х0;у0), если имеет место равенство
limх(х0(у(у0)f(х;у)=f(х0;у0) или lim(х(0((у(0)f(х0+(х;у0+(у)= f(х0;у0), где
х=х0+(х и у=у0+(у, причем точка М(х;у) стремиться к точке М0(х0;у0)
произвольным образом, оставаясь в области определения фун-и.
Условия:1)f(х;у) – опред ф-ия; 2) Сущ-ют конечные пределы со всех сторон;
3)Эти пределы равны между собой; 4)Конечные пределы со всех сторон
=f(x0;у0).
Если (х0;у0) точка разрыва и выполняется условие 2, то (х0;у0)–1 род.
Если (х0;у0)–1 род и выполняется условие 3, то разрыв устранимый.
Если (х0;у0) точка разрыва и не выполняется условие 2, то (х0;у0) – 2 рода.
Св-ва непрерывности в точке: 1)Если фун f1(х;у) и f2(х;у) непрерывны в
точке (х0;у0), то сумма (разность) f(х;у)=f1(х;у)(f2(х;у), произведение
f(х;у)=f1(х;у)*f2(х;у), а также отношение этих функций
f(х;у)=f1(х;у)/f2(х;у), есть непрер-я фун в точке х0;у0.
Док-во (суммы): По определению получаем, что
limх(х0(у(у0)f1(х;у)=f1(х0;у0), limх(х0(у(у0)f2(х;у)=f2(х0;у0) на
основании св-ва: limXn=a, limYn=b => lim(Xn(Yn)=a(b (n((), можем написать:
limх(х0(у(у0)f(х;у)=limх(х0(у(у0)[f1(х;у)+f2(х;у)]=
=limх(х0(у(у0)f1(х;у)+limх(х0(у(у0)f2(х;у)=
=f1(х0;у0)+f2(х0;у0)=f(х0;у0). Итак сумма есть непрерывная функция.(
2)Всякая непрерывная фун непрерывна в каждой точке, в которой она
определена. 3) Если фун z=((m) непрерывна в точке m=х0;у0, а фун y=f(z)
непрерывна в соот-й точке z0=((х0;у0), то фун y=f(((х;у)) непрер-а в точке
(х0;у0).
Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в), где а<в, то
говорят, что фун непреывна на этом интервале.
Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в) и непрерывна
на концах интервала, то говорят, что f(x;у) непрерывна на замкнутом
интервале или отрезке (а,в).
Точки разрыва.
Если в некоторой точке N(х0;у0) не выполняется условие limх(х0(у(у0)f(х;у)=
f(х0;у0), то точка N(х0;у0) наз точкой разрыва фун z=f(х;у).
Условие lim(х(0((у(0)f(х0+(х;у0+(у)=f(х0;у0) может не выпол-ся в след-х
случаях: 1)z=f(х;у) определена во всех точках некоторой окрестности точки
N(х0;у0), за исключением самой точки N(х0;у0); 2)фун z=f(х;у) определена во
всех точках некоторой окрестности точки N(х0;у0), но не сущ-ет предела
limх(х0(у(у0)f(х;у); 3)фун z=f(х;у) определена во всех точках некоторой
окрестности точки N(х0;у0) и сущ-ет предел limх(х0(у(у0)f(х;у), но
limх(х0(у(у0)f(х;у)(f(х0;у0).
Классификация точек разрыва:
Если (х0;у0) точка разрыва и сущ-ют конечные пределы со всех сторон, то
(х0;у0) – 1 род.
Если (х0;у0) – 1 род, сущ-ют конечные пределы со всех сторон и эти пределы
равны между собой, то разрыв устранимый.
Если (х0;у0) точка разрыва и не сущ-ют конечные пределы со всех сторон, то
(х0;у0) – 2 рода.
Непрерывность фун нескольких (или 2) переменных в замкнутой области.
Опр: Фун-я, непрерывная в каж точке некоторой замкнутой области, наз
непрерывной в этой замкнутой области.
Св-ва: 1)Если фун f(x;y…) определена и непрерывна в замкнутой и
ограниченной области D, то в обл D найдется по крайней мере одна точка
N(х0;у0…) такая, что для всех др точек обл будет выплн-ся соот-е
f(х0;у0…)(f(х;у) и по крайней мере одна точка (N((х0;(у0…) такая, что для
всех др точек обл будет выпол соот-е f((х0;(у0…)(f(х;у…). Фориулируется
так: Непрерывная фун в замкнутой огранич обл D достигает по крайней мере
один раз наиболь значения М и наимень значения m. 2)Если фун f(x;y…)
непрерывна в замкнутой и ограниченной обл D и если M и m – наиб и наим
значения фун f(x;y…) в обл, то для любого числа (, удовл усл m0
3)f(x,y) не имеет ни макс. ни мин.
?2f(x0,y0)/(x2*?2 f(x0,y0)/(y2-(?2f(x0,y0)/?x?y)2 | |
