|
Реферат: Сборник Лекций по матану (Математика)
Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной
переменной
§1. Основные понятия
Пусть D — некоторое множество чисел. Если задан закон, по которому
каждому числу x из множества D ставится в соответствие единственное
определенное число y, то будем говорить, что на множестве D задана функция,
которую назовём f. Число y — это значение функции f в точке x, что
обозначается формулой y = f(x).
Число x называется аргументом функции, множество D — областью
определения функции, а все значения y образуют множество E, которое
называется множеством значений или областью изменения функции.
Функция f называется возрастающей (убывающей) на множестве G, если для
любых чисел х1 и х2 из множества G, таких что x1 < x2, выполняется условие
f(x1) < f(x2) (f(x1) > f(x2)).
Так как между множеством действительных чисел и множеством точек
числовой оси можно установить взаимно-однозначное соответствие, в
дальнейшем изложении понятиям “число х” и “точка х числовой оси” в
некоторых случаях будет придаваться один и тот же смысл. Например, вместо
“значение функции при значении аргумента, равном х1” будет говориться
“значение функции в точке х1”. В нижеследующем определении можно везде
заменить выражение “точка х” на выражение “число х”.
Пусть ( — некоторое положительное число. (-окрестностью точки x0
называется множество всех точек x, принадлежащих промежутку (x0 -
(, x0 + (), кроме самой точки x0. Принадлежность точки x (-окрестности
точки [pic] можно выразить с помощью двойного неравенства
0 < (x – x0( < (.
Число ( называется радиусом окрестности.
§2. Предел и непрерывность функции
Рассмотрим функцию y = x2 в точке x0 = 2. Значение функции в этой
точке равно 4.
Отметим одну особенность поведения функции в этой точке. Можно
[pic]
выбрать какое-либо положительное число ( и построить (-окрестность точки
y0 = 4. Очевидно, что найдется такая окрестность точки x0 = 2 (на рисунке 1
эта окрестность имеет радиус () , что если x будет лежать в этой
окрестности, то соответствующее значение y, равное x2, попадет в (-
окрестность точки y0 = 4. Это заключение справедливо для любого, сколь
угодно малого числа (. Здесь точка x0 = 2 выбрана произвольно. Можно было
бы для данной функции выбрать любую другую точку и сделать подобное
заключение.
Рассмотрим функцию [pic]. Эта функция не определена в точке x0 = 2.
При x0 ( 2 её можно преобразовать:
[pic].
[pic]
График функции представлен на рисунке 2. Хотя исходная функция не
определена в точке x0 = 2 и естественно не равна 3 в этой точке, точка
y0 = 3 имеет характерную особенность. Выбрав положительное число (, можно
утверждать, что если рассматривать значения x, расположенные достаточно
близко к точке x0 = 2 (или лежащие в некоторой окрестности точки x0 = 2,
причем радиус этой окрестности зависит от (), то соответствующие значения y
попадут в (-окрестность точки y0 = 3. Всё сказанное остаётся справедливым
независимо от того, насколько малым выбрано положительное число (.
Введем понятие предела функции. Число A называется пределом функции
y = f(x) в точке x0 (иногда говорят, при x, стремящемся к x0), если для
любого положительного числа ( можно найти такое положительное число (, что
для всех x из (-окрестности точки x0 соответствующие значения y попадают в
(-окрестность точки y = A.
Можно сформулировать определение предела функции по-другому. Число A
называется пределом функции y = f(x) в точке x0, если для любого
положительного числа ( можно найти такое положительное число (, что для
всех x, удовлетворяющих условию
0 < (x – x0( < (,
выполняется условие
(y – A( < (.
Тот факт, что A есть предел функции y = f(x) в точке x = x0,
записывается формулой
[pic]
[pic].
Как видно из второго из рассмотренных выше примеров, для того, чтобы
функция имела предел в точке x = x0, не требуется, чтобы она была
определена в этой точке.
Рассмотрим функцию [pic]. Очевидно, что если x > 0, то y = 2x; если x < 0,
то y = –2x; при x = 0 функция не определена.
График функции изображен на рисунке 3. Легко убедиться в том, что,
согласно приведенному выше определению предела, эта функция в точке x = 0
предела не имеет.
Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x = x0, если она
определена в этой точке и ее значение f(x0) равно пределу функции в этой
точке: [pic].
Функция y = x2 непрерывна в точке x = 2, как и во всех точках числовой
оси. Функция [pic] не является непрерывной в точке x = 2. Функция [pic] не
является непрерывной в точке x = 0.
[pic]Функция, непрерывная в каждой точке открытого промежутка,
называется непрерывной на этом промежутке.
Приведем свойства предела функции.
1. Функция не может иметь в одной точке два разных предела.
2. [pic], если C — постоянная функция.
3. Если существует[pic] и C — постоянная функция, то
[pic].
4. Если существуют[pic] и [pic], то существует [pic], равный [pic], а
также существует [pic], равный [pic]. Если при этом [pic], то
существует[pic], равный [pic].
Введем определения так называемых “односторонних пределов”.
Число B называется пределом функции f(x) в точке a справа (это
записывается в виде формулы [pic] ), если для любого положительного числа (
найдется положительное число (, такое что из из условия 0 < x – a < ( будет
следовать (B –f(x) ( < (.
Согласно приведенному определению [pic]. Отметим, что обыкновенного
предела функция [pic] в точке x = 0 не имеет.
Число С называется пределом функции f(x) в точке b слева (это
записывается в виде формулы [pic] ), если для любого положительного числа (
найдется положительное число ( такое, что из условия 0 < b – x < ( будет
следовать (C – f(x)( < (.
Очевидно, что функция [pic] (её график, изображен на рисунке 3) имеет
два односторонних предела в точке x = 0:
[pic]; [pic].
Функция f(x) называется непрерывной в точке a справа (непрерывной в
точке b слева), если
[pic] ([pic]).
Функция [pic] непрерывна справа в точке x=0.
Функция называется непрерывной на замкнутом промежутке [a, b], если
она непрерывна на открытом промежутке (a, b), непрерывна справа в точке a и
непрерывна слева в точке b.
Достаточно просто можно доказать теорему, связывающую понятия предела
функции в точке и односторонних пределов. Мы ограничимся только
формулировкой теоремы.
Для того, чтобы выполнялось равенство [pic], необходимо и достаточно,
чтобы одновременно выполнялись два равенства:
[pic]; [pic]
В дальнейшем нам понадобятся понятия предела функции в бесконечно
удалённых точках. Рассмотрим сначала функцию f(x), определенную на
полубесконечном промежутке (х0; (). Число А называется пределом функции
f(x) при х, стремящемся к бесконечности:
[pic],
если для любого положительного числа ( можно найти такое положительное
число M (зависящее от (), что для всех чисел х, превосходящих М,
выполняется условие:
(f(x) – A( < (.
Пусть теперь функция f(x) определена на полубесконечном промежутке
(–(; х0). Число А называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к
минус бесконечности:
[pic],
если для любого положительного числа ( можно найти такое положительное
число M (зависящее от (), что для всех чисел х, меньших, чем – М,
выполняется условие:
(f(x) – A( < (.
Отметим два, так называемых, "замечательных предела".
1. [pic]. Геометрический смысл этой формулы заключается в том, что
прямая [pic] является касательной к графику функции [pic] в точке [pic].
2. [pic]. Здесь e — иррациональное число, приблизительно равное 2,72.
Приведем пример применения понятия предела функции в экономических
расчетах. Рассмотрим обыкновенную финансовую сделку: предоставление в долг
суммы S0 с условием, что через период времени T будет возвращена сумма ST.
Определим величину r относительного роста формулой
[pic]. (1)
Относительный рост можно выразить в процентах, умножив полученное значение
r на 100.
Из формулы (1) легко определить величину ST:
ST = S0(1 + r)
При расчете по долгосрочным кредитам, охватывающим несколько полных лет,
используют схему сложных процентов. Она состоит в том, что если за 1-й год
сумма S0 возрастает в (1 + r) раз, то за второй год в (1 + r) раз
возрастает сумма S1 = S0(1 + r), то есть S2 = S0(1 + r)2. Аналогично
получается S3 = S0(1 + r)3. Из приведенных примеров можно вывести общую
формулу для вычисления роста суммы за n лет при расчете по схеме сложных
процентов:
Sn = S0(1 + r)n.
В финансовых расчетах применяются схемы, где начисление сложных
процентов производится несколько раз в году. При этом оговариваются годовая
ставка r и количество начислений за год k. Как правило, начисления
производятся через равные промежутки времени, то есть длина каждого
промежутка Tk составляет [pic] часть года. Тогда для срока в T лет (здесь T
не обязательно является целым числом) сумма ST рассчитывается по формуле
[pic] (2)
Здесь [pic] — целая часть числа [pic], которая совпадает с самим
числом, если, например, T - целое число.
Пусть годовая ставка равна r и производится n начислений в год через
равные промежутки времени. Тогда за год сумма S0 наращивается до величины,
определяемой формулой
[pic] (3)
В теоретическом анализе и в практике финансовой деятельности часто
встречается понятие “непрерывно начисляемый процент”. Чтобы перейти к
непрерывно начисляемому проценту, нужно в формулах (2) и (3) неограниченно
увеличивать соответственно, числа k и n (то есть устремить k и n к
бесконечности) и вычислить, к какому пределу будут стремиться функции ST и
S1. Применим эту процедуру к формуле (3):
[pic].
Заметим, что предел в фигурных скобках совпадает со вторым замечательным
пределом. Отсюда следует, что при годовой ставке r при непрерывно
начисляемом проценте сумма S0 за 1 год наращивается до величины S1*,
которая определяется из формулы
S1* = S0er. (4)
Пусть теперь сумма S0 предоставляется в долг с начислением процента n
раз в год через равные промежутки времени. Обозначим re годовую ставку, при
которой в конце года сумма S0 наращивается до величины S1* из формулы (4).
В этом случае будем говорить, что re — это годовая ставка при начислении
процента n раз в год, эквивалентная годовому проценту r при непрерывном
начислении. Из формулы (3) получаем
[pic].
Приравнивая правые части последней формулы и формулы (4), полагая в
последней T = 1, можно вывести соотношения между величинами r и re:
[pic], [pic].
Эти формулы широко используются в финансовых расчётах.
Реферат на тему: Свойства усредненной функции с сильной осцилляцией
Министерство образования Российской Федерации
Башкирский государственный педагогический университет
Кафедра математического анализа
Дипломная квалификационная работа
Автор: Гарипов Ильгиз.
Тема: Свойства усредненной функции с сильной осцилляцией.
К защите допущен ____________
Заведующий кафедрой к.ф. м. н. доцент Сафаров Т.Г.
Руководитель д.физ-мат. наук. профессор Султанаев Я.Т.
Уфа 2001
Содержание
Стр.
Введение 3
§ 1 Свойства функции [pic]. 4
§ 2 Свойства функции [pic] и ее производных. 5
2.1 [pic] 5
2.2 [pic] 6
2.3 [pic] где (>0 7
2.4 [pic] 9
§ 3 Поведение [pic] 11
3.1 [pic] 11
3.2 [pic] 11
3.3 [pic] 12
3.4 [pic] 13
§ 4 Поведение [pic] 14
4.1 [pic] 14
4.2 [pic] 15
4.3 [pic] 15
4.4 [pic] 16
Заключение 17
Литература 18
Введение
Пусть [pic] произвольная функция, определенная на [pic], и [pic]
при [pic]
Введем в рассмотрение функцию [pic] с помощью следующего равенства:
[pic] (1)
Назовем эту функцию усреднением функции [pic]
Это название оправдано так как из (1) и теоремы о среднем для интегралов
можем заключить
[pic][pic][pic]
[pic]
§ 2 Свойства функции [pic].
1. Если [pic], при [pic], то [pic] при [pic]
Доказательство:
[pic], [pic], [pic] [pic] ( N >0, [pic]: [pic] [pic]
2. [pic] (2)
3. [pic] (3)
Дифференцируя формулу (1) по dx получаем
[pic] (4)
[pic](5)
§ 2 Свойства функции [pic] и ее производных.
I) Рассмотрим вид функции [pic] для случаев когда [pic]:
2.1 [pic]
[pic]
[pic]
2.2 [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
2.3 [pic] где (>0;
[pic]
[pic]
Разделим интеграл на два интеграла и вычислим их отдельно.
[pic]
Второй интеграл не оказывает влияния на первый, так как при [pic]функция
стремится к 0.
Доказательство:
[pic]
Рассматривая второй интеграл, мы получаем:
[pic]
Рассматривая первый интеграл, получаем:
[pic]
[pic]
Последние два слагаемых полученных при интегрировании содержат в
произведении [pic], то есть при возрастании x эти слагаемые будут очень
быстро уменьшатся и весь интеграл при [pic] становится очень малым по
сравнению с первой частью. Поэтому можно считать что при [pic] [pic]
Следовательно:
[pic][pic]
[pic]
2.4. [pic]
[pic]
Наложить на[pic] ограничение, такое чтобы [pic]присутствие [pic] не влияло
на поведение функции.
[pic]
[pic]
Рассматривая полученное выражение можно заметить что
[pic]
становится пренебрежительно малым по отношению к остальной части
как только [pic]. Ограничение №1
В тоже время
[pic]
Становится бесконечно малым как только [pic]. Ограничение №2
Раскрывая в оставшейся части скобки, по Биному Ньютона получаем, что
[pic]
должен быть очень малым при [pic]то есть
[pic]
так как [pic] ограниченная функция, к 0 должен стремится [pic].
[pic] [pic]
[pic]
[pic] Ограничение №3
Учитывая ограничения 1, 2, 3 получаем:
[pic]
Следовательно, [pic] ограничение на [pic] удовлетворяющее поставленной
задаче, при котором присутствие [pic]не влияет на поведение функции [pic].
§ 3 Рассмотрим поведение функции [pic]для случаев:
3.1) [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
3.2) [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
3.3) [pic]
[pic]
Вычислим отдельно интегральное выражение, стоящее в числителе:
[pic]=
[pic]=
[pic] [pic]
[pic][pic]
[pic][pic]
[pic]
рассматривая пределы при [pic] видим что на поведение функции оказывает
влияние только главный член [pic]
[pic]
Поведение данной функции при [pic] эквивалентно поведению функции
[pic] (*)
Вычислим интеграл в знаменателе:
[pic]=
[pic]
[pic]
[pic] (**)
Учитывая (*)и (**) получаем
[pic]
[pic]
Следовательно, по формуле (2) получаем [pic]
3.4 [pic]
[pic]
Отдельно вычислим числитель и знаменатель:
[pic]
[pic]
По ранее доказанному в пункте 2.4 мы можем сказать что второй интеграл не
оказывает влияния на поведение функции. Поэтому мы можем утверждать, что
числитель эквивалентен выражению:
[pic]
[pic]
Вычислим знаменатель:
[pic]
Разделив интеграл на 2 интеграла, мы получаем:
[pic]
По пункту 2.4 можем вывести что второй интеграл не влияет на поведение
функции при [pic]
Следовательно, знаменатель:
[pic]
[pic]
[pic]
§4. Рассмотрим поведение второй производной [pic]
Для облегчения вычислений введем обозначения:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
При этом формула для [pic]примет вид [pic] (6)
4.1 [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Виду того, что d(x) очень мал то [pic] будет несравним с d(x) т.е.
[pic]
4.2 [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
используя равенства, полученные в пункте 2.2 и 3.2, преобразуя данное
равенство, приходим к выражению:
[pic]
(Все выкладки приводить не буду в виду их громоздкости и сложности для
восприятия. Добавлю только что все выкладки, примененные в данном пункте
полностью повторяют ограничения и эквивалентные выражения, использованные
в пунктах 2.2 и 3.2).
Отсюда следует что [pic]
4.3 [pic]
[pic]
[pic]
Используя данные, полученные в п.3.3 получаем что
[pic]
[pic]
Возвращаясь к п. 3.3 находим:
[pic]
[pic]
[pic]
Вычисляя [pic]по формуле 6, получаем:
[pic]
и [pic]
4.4 [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
и [pic]
Заключение
В результате проведенного исследования поведения усредненной функции в
случае осциллирующих коэфициентов, получены данные приведенные в следующей
таблице:
|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |
| |
