GeoSELECT.ru



Математика / Реферат: Тождественные преобразования показательных и логарифмических выражений (Математика)

Космонавтика
Уфология
Авиация
Административное право
Арбитражный процесс
Архитектура
Астрология
Астрономия
Аудит
Банковское дело
Безопасность жизнедеятельности
Биология
Биржевое дело
Ботаника
Бухгалтерский учет
Валютные отношения
Ветеринария
Военная кафедра
География
Геодезия
Геология
Геополитика
Государство и право
Гражданское право и процесс
Делопроизводство
Деньги и кредит
Естествознание
Журналистика
Зоология
Инвестиции
Иностранные языки
Информатика
Искусство и культура
Исторические личности
История
Кибернетика
Коммуникации и связь
Компьютеры
Косметология
Криминалистика
Криминология
Криптология
Кулинария
Культурология
Литература
Литература : зарубежная
Литература : русская
Логика
Логистика
Маркетинг
Масс-медиа и реклама
Математика
Международное публичное право
Международное частное право
Международные отношения
Менеджмент
Металлургия
Мифология
Москвоведение
Музыка
Муниципальное право
Налоги
Начертательная геометрия
Оккультизм
Педагогика
Полиграфия
Политология
Право
Предпринимательство
Программирование
Психология
Радиоэлектроника
Религия
Риторика
Сельское хозяйство
Социология
Спорт
Статистика
Страхование
Строительство
Схемотехника
Таможенная система
Теория государства и права
Теория организации
Теплотехника
Технология
Товароведение
Транспорт
Трудовое право
Туризм
Уголовное право и процесс
Управление
Физика
Физкультура
Философия
Финансы
Фотография
Химия
Хозяйственное право
Цифровые устройства
Экологическое право
   

Реферат: Тождественные преобразования показательных и логарифмических выражений (Математика)



Приднестровский государственный университет
им. Т.Г. Шевченко

Физико-математический факультет

Кафедра математического анализа
и методики преподавания математики



КУРСОВАЯ РАБОТА


на тему:

«Тождественные преобразования
показательных и логарифмических
выражений»



Работу выполнила:
студентка _______ группы
физико-математического ф-та
_________________________

Работу проверила:
_________________________



Тирасполь, 2003г.

Содержание:

Введение……………………………………………………………………2

Глава 1. Тождественные преобразования и методика преподавания в
школьном курсе алгебры и начала анализа……………………………………..4
§1. Формирование навыков применения конкретных видов
преобразований…………………………………………………………………………….4
§2. Особенности организации системы знаний при изучении
тождественных преобразований .…….………………………….………..………….5
§3. Программа по математике ……………………………………….11

Глава 2. Тождественные преобразования и вычисления показательных и
логарифмических выражений……………………………...…………………13
§1. Обобщение понятия степени……………………………………..13
§2. Показательная функция…………………………………………..15
§3. Логарифмическая функция……………………………………….16

Глава 3. Тождественные преобразования показательных и логарифмических
выражений на
практике....................................................................
......19

Заключение………………………………………………………………..24
Список использованной литературы…………………………………….25
Введение

В данной курсовой работе будет рассмотрено тождественные
преобразования показательной и логарифмической функции, рассмотрена
методика преподавания их в школьном курсе алгебры и начала анализа.
Первая глава данной работы описывает методику преподавания
тождественных преобразований в школьном курсе математики, так же включает
программу по математике в курсе «Алгебры и начала анализа» с изучением
показательной и логарифмической функции.
Вторая глава рассматривает непосредственно саму показательную и
логарифмическую функции, их основные свойства, используемые при
тождественных преобразованиях.
Третья глава – решение примеров и задач с использованием тождественных
преобразований показательной и логарифмической функции.

Изучение различных преобразований выражений и формул занимает
значительную часть учебного времени в курсе школьной математики. Простейшие
преобразования, опирающиеся на свойства арифметических операций,
производятся уже в начальной школе и в IV–V классах. Но основную нагрузку
по формированию умений и навыков выполнения преобразований несет на себе
курс школьной алгебры. Это связано как с резким увеличением числа и
разнообразия совершаемых преобразований, так и с усложнением деятельности
по их обоснованию и выяснению условий применимости, с выделением и
изучением обобщенных понятий тождества, тождественного преобразования,
равносильного преобразования, логического следования.
Культура выполнения тождественных преобразований развивается так же,
как и культура вычислений, на основе прочных знаний свойств операций над
объектами (числами, векторами, многочленами и т. д.) и алгоритмов их
выполнения. Она проявляется не только в умении правильно обосновать
преобразования, но и в умении найти кратчайший путь перехода от исходного
аналитического выражения к выражению, наиболее соответствующему цели
преобразования, в умении проследить за изменением области определения
аналитических выражений в цепочке тождественных преобразований, в быстроте
и безошибочности выполнения преобразований.
Обеспечение высокой культуры вычислений и тождественных преобразований
представляет важную проблему обучения математике. Однако эта проблема
решается еще далеко не удовлетворительно. Доказательство этому –
статистические данные органов народного образования, в которых ежегодно
констатируются ошибки и нерациональные приемы вычислений и преобразований,
допускаемые учащимися различных классов при выполнении контрольных работ.
Это подтверждается и отзывами высших учебных заведений о качестве
математических знаний и навыков абитуриентов. Нельзя не согласиться с
выводами органов народного образования и вузов о том, что недостаточно
высокий уровень культуры вычислений и тождественных преобразований в
средней школе является следствием формализма в знаниях учащихся, отрыва
теории от практики.

Глава 1.
Тождественные преобразования и методика преподавания
в школьном курсе алгебры и начала анализа.

§1. Формирование навыков применения
конкретных видов преобразований.
Система приемов и правил проведения преобразований, используемая на
этапе начал алгебры, имеет очень широкую область приложений: она
используется в изучении всего курса математики. Однако именно в силу своей
малой специфичности эта система нуждается в дополнительных преобразованиях,
учитывающих особенности структуры преобразуемых выражений и свойства вновь
вводимых операций и функций. Освоение соответствующих видов преобразований
начинается с введения формул сокращенного умножения. Затем рассматриваются
преобразования, связанные с операцией возведения в степень, с различными
классами элементарных функций – показательных, степенных, логарифмических,
тригонометрических. Каждый из этих типов преобразований проходит этап
изучения, на котором внимание сосредоточивается на усвоении их характерных
особенностей.
По мере накопления материала появляется возможность выделить и общие
черты всех рассматриваемых преобразований и на этой основе ввести понятия
тождественного и равносильного преобразований.
Следует обратить внимание на то, что понятие тождественного
преобразования дается в школьном курсе алгебры не в полной общности, а
только в применении к выражениям. Преобразования разделяются на два класса:
тождественные преобразования – это преобразования выражений, и равносильные
– преобразования формул. В случае, когда возникает потребность в упрощении
одной части формулы, в этой формуле выделяется выражение, которое и служит
аргументом применяемого тождественного преобразования. Соответствующий
предикат при этом считается неизменным.
Что касается организации целостной системы преобразований (синтез), то
основная её цель состоит в формировании гибкого и мощного; аппарата,
пригодного для использования в решении разнообразных учебных заданий.
В курсе алгебры и начал анализа целостная система преобразований, в
основных чертах уже сформированная, продолжает постепенно
совершенствоваться. К ней также добавляются некоторые новые виды
преобразований, однако они только обогащают ее, расширяют ее возможности,
но не меняют ее структуру. Методика изучения этих новых преобразований
практически не отличается от применяемой в курсе алгебры.

§2. Особенности организации системы заданий
при изучении тождественных преобразований.
Основной принцип организации любой системы заданий – предъявление их
от простого к сложному с учетом необходимости преодоления учениками
посильных трудностей и создания проблемных ситуаций. Указанный основной
принцип требует конкретизации применительно к особенностям данного учебного
материала. Для описания различных систем заданий в методике математики
используется понятие цикла упражнений. Цикл упражнений характеризуется
соединением в последовательности упражнений нескольких аспектов изучения и
приемов расположения материала. По отношению к тождественным
преобразованиям представление о цикле может быть дано следующим образом.
Цикл упражнений связан с изучением одного тождества, вокруг которого
группируются другие тождества, находящиеся с ним в естественной связи. В
состав цикла наряду с исполнительными входят задания, требующие
распознавания применимости рассматриваемого тождества. Изучаемое тождество
применяется для проведения вычислений на различных числовых областях.
Учитывается специфика тождества; в частности, организуются связанные с ним
обороты речи.
Задания в каждом цикле разбиты на две группы. К первой относятся
задания, выполняемые при первоначальном знакомстве с тождеством. Они служат
учебным материалом для нескольких идущих подряд уроков, объединенных одной
темой. Вторая группа упражнений связывает изучаемое тождество с различными
приложениями. Эта группа не образует композиционного единства – упражнения
здесь разбросаны по различным темам.
Описанная структура цикла относится к этапу формирования навыков
применения конкретных видов преобразований. На заключительном этапе – этапе
синтеза циклы видоизменяются. Во-первых, объединяются обе группы заданий,
образующие «развернутый» цикл, причем из первой группы исключаются наиболее
простые по формулировкам или по сложности выполнения задания. Оставшиеся
типы заданий усложняются. Во-вторых, происходит слияние циклов, относящихся
к различным тождествам, в силу чего повышается роль действий по
распознаванию применимости того или иного тождества.
Отметим особенности циклов заданий, связанных с тождествами для
элементарных функций. Эти особенности обусловлены тем, что, во-первых,
соответствующие тождества изучаются в связи с изучением функционального
материала и, во-вторых, они появляются позже тождеств первой группы и
изучаются с использованием уже сформированных навыков проведения
тождественных преобразований.
Каждая вновь вводимая элементарная функция резко расширяет область
чисел, которые могут быть обозначены и названы индивидуально. Поэтому в
первую группу заданий циклов должны войти задания на установление связи
этих новых числовых областей с исходной областью рациональных чисел.
Приведем примеры таких заданий.
Пример 1. Вычислить:
[pic][pic] [pic]
Рядом с каждым выражением указано тождество, в циклах по которым могут
присутствовать предлагаемые задания. Цель таких заданий – в освоении
особенностей записей, включающих символы новых операций и функций, и в
развитии навыков математической речи.
Значительная часть использования тождественных преобразований,
связанных с элементарными функциями, приходится на решение иррациональных и
трансцендентных уравнений. В циклы, относящиеся к усвоению тождеств, входят
только наиболее простые уравнения, но уже здесь целесообразно проводить
работу по усвоению приема решения таких уравнений: сведение его путем
замены неизвестного к алгебраическому уравнению.
Последовательность шагов при этом способе решения такова:
а) найти функцию [pic], для которой данное уравнение [pic] представимо
в виде [pic];
б) произвести подстановку [pic] и решить уравнение [pic];
в) решить каждое из уравнений [pic], где [pic] – множество корней
уравнения [pic].
При использовании описанного способа зачастую шаг б) выполняется в
неявном виде, без введения обозначения для [pic]. Кроме того, ученики
зачастую предпочитают из различных путей, ведущих к нахождению ответа,
выбирать тот, который быстрее и проще приводит к алгебраическому уравнению.
Пример 2. Решить уравнение [pic].
Первый способ:
[pic]
[pic]
Второй способ:
а) [pic]
б) [pic]
[pic]
[pic]
в) [pic]
[pic]
Здесь видно, что при первом способе шаг а) сложнее, чем при втором.
Первым способом «труднее начать», хотя дальнейший ход решения значительно
проще. С другой стороны, у второго способа имеются достоинства, состоящие в
большей легкости, большей отработанности в обучении сведения к
алгебраическому уравнению.
Для школьного курса алгебры типичны задания, в которых переход к
алгебраическому уравнению осуществляется даже еще проще, чем в данном
примере. Основная нагрузка таких заданий относится к выделению шага в) как
самостоятельной части процесса решения, связанного с использованием свойств
изучаемой элементарной функции.
Пример 3. Решить уравнение:
а) [pic]; б) [pic].
Эти уравнения сводятся к уравнениям: а) [pic] или [pic]; б) [pic] или
[pic]. Для решения этих уравнений требуется знание лишь простейших фактов о
показательной функции: ее монотонность, область значений. Как и задание
предыдущего примера, уравнения а) и б) можно отнести к первой группе цикла
упражнений на решение квадратно-показательных уравнений.
Таким образом, приходим к классификации заданий в циклах, относящихся
к решению трансцендентных уравнений, включающих показательную функцию:
1) уравнения, сводящиеся к уравнениям вида [pic] и имеющие простой,
общий по форме ответ: [pic];
2) уравнения, сводящиеся к уравнениям [pic], где [pic] – целое число,
или [pic], где [pic];
3) уравнения, сводящиеся к уравнениям [pic] и требующие явного анализа
формы, в которой записано число [pic].
Аналогично можно классифицировать задания и для других элементарных
функций.

Значительная часть тождеств, изучаемых в курсах алгебры и алгебры и
начал анализа, доказывается в них или, по крайней мере, поясняется. Эта
сторона изучения тождеств имеет большое значение для обоих курсов,
поскольку доказательные рассуждения в них с наибольшей четкостью и
строгостью проводятся именно по отношению к тождествам. За пределами этого
материала доказательства обычно менее полны, они не всегда выделяются из
состава применяемых средств обоснования.
В качестве опоры, на которой строятся доказательства тождеств,
используются свойства арифметических операций.

Воспитательное воздействие вычислений и тождественных преобразований
может быть, направлено на развитие логического мышления, если только от
учащихся будут систематически требоваться обоснования вычислений и
тождественных преобразований, на развитие функционального мышления, что
достигается различными путями. Совершенно очевидно значение вычислений и
тождественных преобразований в развитии воли, памяти, сообразительности,
самоконтроля, творческой инициативы.
Запросы бытовой, производственной вычислительной практики требуют
формирования у учащихся прочных, автоматизированных навыков рациональных
вычислений и тождественных преобразований. Эти навыки вырабатываются в
процессе любой вычислительной работы, тем не менее, необходимы специальные
тренировочные упражнения в быстрых вычислениях и преобразованиях.
Так, если на уроке предполагается решение логарифмических уравнений с
использованием основного логарифмического тождества [pic], то полезно в
план урока включить устные упражнения на упрощение или вычисление значений
выражений: [pic], [pic], [pic]. Цель упражнений всегда сообщается учащимся.
В ходе выполнения упражнения может возникнуть необходимость потребовать от
учащихся обоснований отдельных преобразований, действий или решения всей
задачи, даже если это не планировалось. Там, где возможны различные способы
решения задачи, желательно всегда ставить вопросы: «Каким способом решалась
задача?», «Кто решил задачу другим способом?»

Понятия тождества и тождественного преобразования, они явно вводятся в
курсе алгебры VI класса. Само определение тождественных выражений не может
быть практически использовано для доказательства тождественности двух
выражений, и понять, что сущность тождественных преобразований состоит в
применении к выражению определений и свойств тех действий, которые указаны
в выражении, или в прибавлении к нему выражения, тождественно равного 0,
или в умножении его на выражение, тождественно равное единице. Но, даже
усвоив эти положения, учащиеся часто не понимают, почему указанные
преобразования позволяют утверждать, что исходное и полученное выражение
тождественны, т.е. принимают одинаковые значения при любых системах
(наборах) значений переменных.
Важно так же добиться, что бы учащиеся хорошо понимали, что такие
выводы тождественных преобразований, являются следствиями определений и
свойств соответствующих действий.
Аппарат тождественных преобразований, накопленный в предшествующие
годы, в VI классе расширяется. Это расширение начинается введением
тождества, выражающего свойство произведения степеней с одинаковыми
основаниями: [pic], где [pic], [pic] – целые числа.



§3. Программа по математике.


В школьном курсе «Алгебра и начала анализа» учащиеся систематически
изучают показательную и логарифмическую функции и их свойства,
тождественные преобразования логарифмических и показательных выражений и их
применение к решению соответствующих уравнений и неравенств, знакомятся с
основными понятиями, утверждениями.


В XI классе на уроки алгебры уходит по 3 часа в неделю, всего
получается 102 часа в год. На изучение показательной, логарифмической и
степенной функции по программе уходит 36 часов.


В программу входит рассмотрение и изучение следующих вопросов:


Понятие о степени с рациональным показателем. Решение иррациональных
уравнений. Показательная функция, её свойства и график. тождественные
преобразования показательных выражений. Решение показательных уравнений и
неравенств. Логарифм числа. Основные свойства логарифмов. Логарифмическая
функция, её свойства и график. Решение логарифмических уравнений и
неравенств. Производная показательной функции. Число [pic] и натуральный
логарифм. Производная степенной функции.


Основной целью раздела изучения показательной и логарифмической
функции является ознакомление учащихся с показательной, логарифмической и
степенной функцией; научить учащихся решать показательные и логарифмические
уравнения и неравенства.


Понятия корня [pic]-ой степени и степени с рациональным показателем
являются обобщением понятий квадратного корня и степени с целым
показателем. Следует обратить внимание учащихся, что рассматриваемые здесь
свойства корней и степеней с рациональным показателем аналогичны тем
свойствам, которыми обладают изученные ранее квадратные корни и степени с
целыми показателями. Необходимо уделить достаточно времени отработке
свойств степеней и формированию навыков тождественных преобразований.
Понятие степени с иррациональным показателем вводится на наглядно-
интуитивной основе. Этот материал играет вспомогательную роль и
используется при введении показательной функции.


Изучение свойств показательной, логарифмической и степенной функции
построено в соответствии с принятой общей схемой исследования функций. При
этом обзор свойств дается в зависимости от значений параметров.
Показательные и логарифмические неравенства решаются с опорой на изученные
свойства функций.


Характерной особенностью курса являются систематизация и обобщение
знаний учащихся, закрепление и развитие умений и навыков, полученных в
курсе алгебры, что осуществляется как при изучении нового материала, так и
при проведении обобщающего повторения.

Глава 2.


Тождественные преобразования и вычисления


показательных и логарифмических выражений


§1. Обобщение понятия степени.
Определение: Корнем [pic]-ой степени из чиста [pic] называется такое
число, [pic]-я степень которого равна [pic].
Согласно данному определению корень [pic]-ой степени из числа [pic] –
это решение уравнения [pic]. Число корней этого уравнения зависит от [pic]
и [pic]. Рассмотрим функцию [pic]. Как известно, на промежутке [pic] эта
функция при любом [pic]возрастает и принимает все значения из промежутка
[pic]. По теореме о корне уравнение [pic] для любого [pic] имеет
неотрицательный корень и при том только один. Его называют арифметическим
корнем [pic]-ой степени из числа [pic] и обозначают [pic]; число [pic]
называют показателем корня, а само число [pic] – подкоренным выражением.
Знак [pic] называют так же радикалом.
Определение: Арифметическим корнем [pic]-ой степени из числа [pic]
называют неотрицательное число, [pic]-я степень которого равна [pic].
При четных [pic] функция [pic] четна. Отсюда следует, что если [pic],
то уравнение [pic], кроме корня [pic], имеет также корень [pic]. Если
[pic], то корень один: [pic]; если [pic], то это уравнение корней не имеет,
поскольку четная степень любого числа неотрицательна.
При нечетных значениях [pic] функция [pic] возрастает на всей числовой
прямой; её область значений – множество всех действительных чисел. Применяя
теорему о корне, находим, что уравнение [pic]имеет один корень при любом
[pic]и, в частности, при [pic]. Этот корень для любого значения
[pic]обозначают [pic].
Для корней нечетной степени справедливо равенство [pic]. В самом деле,
[pic], т.е. число –[pic] есть корень [pic]-й степени из [pic]. Но такой
корень при нечетном [pic] единственный. Следовательно, [pic].
Замечание 1: Для любого действительного [pic]
[pic]
Замечание 2: Удобно считать, что корень первой степени из числа [pic]
равен [pic]. Корень второй степени из числа [pic] называют квадратным
корнем, а корень третьей степени называют кубическим корнем.
Напомним известные свойства арифметических корней [pic]-ой степени.
Для любого натурального [pic], целого [pic] и любых неотрицательных
целых чисел [pic] и [pic] справедливы равенства:
1. [pic]
2. [pic]
3. [pic]
4. [pic]
5. [pic].

Степень с рациональным показателем.
Выражение [pic] определено для всех [pic] и [pic], кроме случая [pic]
при [pic]. Напомним свойства таких степеней.
Для любых чисел [pic], [pic] и любых целых чисел [pic] и [pic]
справедливы равенства: [pic]
[pic]
[pic]
Отметим так же, что если [pic], то [pic] при [pic] и [pic] при [pic].
Определение: Степенью числа [pic] с рациональным показателем [pic],
где [pic] – целое число, а [pic] – натуральное [pic], называется число
[pic].
Итак, по определению [pic].
При сформулированном определении степени с рациональным показателем
сохраняются основные свойства степеней, верные для любых показателей
(разница заключается в том, что свойства верны только для положительных
оснований).

§2. Показательная функция.
Определение: Функция, заданная формулой [pic] (где [pic], [pic]),
называется показательной функцией с основанием [pic].
Сформулируем основные свойства показательной функции.
1. Область определения – множество [pic] действительных чисел.
2. Область значений – множество [pic] всех положительных
действительных чисел.
3. При [pic] функция возрастает на всей числовой прямой; при [pic]
функция убывает на множестве [pic].
График функции [pic] (рис. 1)



Рис. 1
4. При любых действительных значениях [pic] и [pic] справедливы
равенства [pic]
[pic]
[pic]
Эти формулы называют основными свойствами степеней.
Можно так же заметить, что функция [pic] непрерывна на множестве
действительных чисел.

§3. Логарифмическая функция.
Определение: Логарифмом числа [pic] по основанию [pic] называется
показатель степени, в которую нужно возвести основание [pic]. Что бы
получить число [pic].
Формулу [pic] (где [pic], [pic] и [pic]) называют основным
логарифмическим тождеством.
При работе с логарифмами применяются следующие их свойства, вытекающие
из свойств показательной функции:
При любом [pic] ([pic]) и любых положительных [pic] и [pic] выполнены
равенства:
1. [pic]
2. [pic]
3. [pic]
4. [pic]
5. [pic] для любого действительного [pic].
Основные свойства логарифмов широко применяются в ходе преобразования
выражений, содержащих логарифмы. Например, часто используется формула
перехода от одного основания логарифма к другому: [pic].
Пусть [pic] – положительное число, не равное 1.
Определение: Функцию, заданную формулой [pic] называют логарифмической
функцией с основанием [pic].
Перечислим основные свойства логарифмической функции.
1. Область определения логарифмической функции – множество всех
положительных чисел [pic], т.е. [pic].
2. Область значений логарифмической функции – множество всех
действительных чисел.
3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при
[pic]) или убывает (при [pic]).
График функции [pic] (рис. 2)



Рис. 2
Графики показательной и логарифмической функций, имеющих одинаковое
основание, симметричны относительно прямой [pic] (рис. 3).



Рис. 3

Глава 3.


Тождественные преобразования показательных и


логарифмических выражений на практике.


Задание 1.
Вычислите:
1.1) [pic];
1.2) [pic];
1.3) [pic];
1.4) [pic];
1.5) [pic].
Решение:
1.1) [pic][pic];
1.2) [pic];
1.3) [pic][pic];
1.4) [pic][pic]
[pic];
1.5) [pic][pic]
[pic][pic].
Ответ: [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic].

Задание 2.
Упростите выражения:
2.1) [pic];
2.2) [pic];
2.3) [pic].
Решение:
2.1) [pic][pic];
2.2) [pic][pic]
[pic];
2.3) [pic][pic]
[pic]
[pic]
Ответ: [pic]; [pic]; [pic].

Задание 3.
Найдите значение выражения:
3.1) [pic];
3.2) [pic];
3.3) [pic];
3.4)[pic].
Решение:
3.1) [pic][pic];
3.2) [pic][pic];
3.3) [pic][pic];
3.4) [pic]
[pic][pic].
Ответ: [pic]; [pic]; [pic]; [pic].

Задание 4.
Прологарифмируйте по основанию [pic] выражение:
4.1) [pic] при [pic];
4.2) [pic] при [pic], [pic], [pic].
Решение:
4.1) [pic]
[pic];
4.2) [pic]
[pic].
Ответ: [pic]; [pic].

Задание 5.
Найдите [pic], если:
5.1) [pic];
5.2) [pic].
Решение:
5.1) [pic]
[pic]
[pic]
[pic][pic][pic];
5.2) [pic]
[pic]
[pic]
[pic].
Ответ: [pic]; [pic].

Задание 6.
Известно, что [pic]. Найти [pic].
Решение:
[pic][pic]
[pic]
[pic].
Ответ: [pic].

Задание 7.
Решите уравнения:
7.1) [pic];
7.2) [pic];
7.3) [pic].
Решение:
7.1) [pic]
[pic]
[pic];
7.2) [pic][pic]
[pic][pic]
[pic]
[pic], так как [pic], то [pic], получаем, что [pic];
7.3) [pic]
[pic]
[pic].
Ответ: [pic], [pic]; [pic]; [pic], [pic].
Заключение

В данной курсовой работе по теме «Тождественные преобразования
показательных и логарифмических выражений» мною было рассмотрено введение
данного материала в обучение в школьном курсе алгебры и начала анализа.
Тема тождественных преобразований, в общем, является одной из часто
используемых в вычислениях и решении различных задач. Поэтому о
преобразованиях начинают говорить уже с начала средней школы при изучении
математики.
Рассмотрела методы формирования навыков у учеников при изучении
данного материала. Так же представила программу по математике изучения
курса показательной и логарифмической функции в курсе «Алгебры и начала
анализа».
В работе были приведены задания, разные по сложности и по содержанию,
с использованием тождественных преобразований. Данные задания могут быть
использованы для проведения контрольных или самостоятельных работ проверки
знаний учащихся.
Курсовая работа, по моему мнению, выполнена в рамках методики
преподавания математики в средне образовательных учреждениях и может быть
использована как наглядное пособие для учителей школ, а так же для
студентов дневного и заочного отделений.
Список использованной литературы:

1. Алгебра и начала анализа. Под ред. Колмогорова А.Н. М.:
Просвещение, 1991г.
2. Программа для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев.
Математика 5–11 кл. М.: Дрофа, 2002г.
3. И.Ф. Шарыгин, В.И. Голубев. Факультативный курс по математике
(решение задач). Уч. пособие для 11 кл. М.: Просвещение, 1991г.
4. В.А. Оганесян и др. Методика преподавания математики в средней
школе: Общая методика; Учебное пособие для студентов физико-
математического факультета педагогических институтов. -2-е
издание переработано и дополнено.М.: Просвещение ,1980г.
5. Черкасов Р.С., Столяр А.А. Методика преподавания математики в
средней школе. М.: Просвещение, 1985г.
6. Журнал "Математика в школе".




Реферат на тему: Топологические пространства

Современная гуманитарная академия



Реферат
по предмету «Алгебра и геометрия»
на тему:
«Топологические пространства»



Выполнил:
Макриденков С.А.
гр. ОИН-309-02



Смоленск 2004

Содержание


Введение 3

Основные этапы развития топологии 5

Определение топологического пространства 7

Задачи топологии 10

Виды топологии 12

Введение

Любой человек, изучавший начала математического анализа, понимает
важность понятия непрерывности функции. Немного упрощая ситуацию, можно
сказать, что непрерывность числовой функции - это математическая
формализация следующего свойства: график этой функции можно нарисовать на
листе бумаги, не отрывая карандаша, то есть график нигде не разрывается.
Числовая функция есть частный случай более общего понятия отображения,
которое определяется уже не для чисел, а для элементов произвольных
множеств. Возникает вопрос, можно ли определить понятие непрерывности
отображений на множествах. Оказывается, для того чтобы корректно ввести это
понятие, необходимо задать на множествах дополнительную структуру, так
называемую топологию; множество с указанной структурой называется
топологическим пространством. Математическая дисциплина, изучающая
указанные выше понятия (и не только их), тоже называется топологией.
Топологическое пространство — основной объект изучения топологии.
Понятие топологического пространства можно рассматривать как обобщение
понятия геометрической фигуры, в котором мы отвлекаемся от свойств
наподобие размера или точного положения частей фигуры в пространстве, и
сосредотачиваемся только на взаимном расположении частей. Топологические
пространства возникают естественно почти во всех разделах математики.
Определение. Пусть дано множество X. Множество T его подмножеств
называется топологией на X, если выполнены следующие свойства:
- Все X и пустое множество принадлежат T,
- Объединение произвольного семейства множеств, принадлежащих T,
принадлежит T,
- Пересечение двух множеств, принадлежащих T, принадлежит T.
Множество X вместе с заданной на нем топологией T называется
топологическим пространством. Подмножества X, принадлежащие T, называются
открытыми множествами
Способы задания топологии. Не всегда удобно перечислять все открытые
множества. Часто удобнее указать некоторый меньший набор открытых множеств,
который порождает их все. Формализацией этого является понятие базы
топологии: множество B открытых подмножеств топологического пространства
(X, T) называется базой топологии T, если всякое открытое множество
представляется как объединение множеств из B.
Еще более экономный способ задания топологии состоит в задании ее
предбазы — множества, которое становится базой, если к нему прибавить
произвольные конечные пересечения его элементов.
Топологию можно также задать описав множество Q всех замкнутых
множеств (т.е. всех дополнений к открытым множествам).
Примеры. Вещественная прямая R является топологическим пространством,
если назвать открытыми множествами произвольные (пустые, конечные или
бесконечные) объединения конечных или бесконечных интервалов. Множество
всех конечных интервалов {(a, b) | a, b из R } является базой этой
топологии.
Вообще, евклидовы пространства Rn являются топологическими
пространствами. Базой топологии можно выбрать открытые шары или открытые
кубы.
Обобщая далее, всякое метрическое пространство является топологическим
пространством, базу топологии которого составляют открытые шары. В эту
категорию попадают изучаемые в функциональном анализе бесконечномерные
пространства функций.
Рассмотрим множество С(X, Y) непрерывных отображений топологического
пространства X в топологическое пространство Y. Оно является топологическим
пространством относительно следующей топологии, которая называется
компактно-открытой. Ее предбазу составляют множества C(U, K), состоящие из
отображений, при которых обаз компакта K в X лежит в открытом множестве U в
Y.
Произвольное множество X можно сделать топологическим пространством,
если называть открытыми все его подмножества. Такая топология называется
дискретной.
Непрерывные отображения. Понятие топологии является минимально
необходимым для того, чтобы говорить о непрерывных отображениях. Интуитивно
непрерывность есть отсутствие разрывов, то есть близкие точки при
непрерывном отображении должны переходить в близкие. Оказывается, для
определения понятия близости точек можно обойтись без понятия расстояния.
Именно это и есть топологическое определение непрерывного отображения.
Отображение топологических пространств f: (X,TX) > (Y,TY) называется
непрерывным, если прообраз всякого открытого множества открыт.
Категория Top всех топологических пространств, морфизмы которой —
непрерывные отображения, является одной из важнейших категорий в
математике. Попыткам классифицировать объекты этой категории при помощи
инвариантов посвящен раздел математической науки, который называется
алгебраической топологией. Изучению понятий непрерывности, а также других
понятий, таких как компактность или отделимость, как таковых, без обращения
к другим инструментам, посвящена общая топология.

Основные этапы развития топологии

Отдельные результаты топологического характера были получены ещё в
18—19 вв. (теорема Эйлера о выпуклых многогранниках, классификация
поверхностей и теорема Жордана о том, что лежащая в плоскости простая
замкнутая линия разбивает плоскость на две части). В начале 20 в. создаётся
общее понятие пространства в Т. (метрическое — М. Фреше, топологическое —
Ф. Хаусдорф), возникают первоначальные идеи теории размерности и
доказываются простейшие теоремы о непрерывных отображениях (А. Лебег, Л.
Брауэр), вводятся полиэдры (А. Пуанкаре) и определяются их так называемые
числа Бетти. Первая четверть 20 в. завершается расцветом общей Т. и
созданием московской топологической школы; закладываются основы общей
теории размерности (П. С. Урысон); аксиоматике топологических пространств
придаётся её современный вид (П. С. Александров); строится теория
компактных пространств (Александров, Урысон) и доказывается теорема об их
произведении (А. Н. Тихонов); впервые даются необходимые и достаточные
условия метризуемости пространства (Александров, Урысон); вводится
(Александров) понятие локально конечного покрытия [на основе которого в
1944 Ж. Дьёдонне (Франция) определил паракомпактные пространства]; вводятся
вполне регулярные пространства (Тихонов); определяется понятие нерва и тем
самым основывается общая теория гомологий (Александров). Под влиянием Э.
Нётер числа Бетти осознаются как ранги групп гомологий, которые поэтому
называются также группами Бетти. Л. С. Понтрягин, основываясь на своей
теории характеров, доказывает законы двойственности для замкнутых множеств.
Во 2-й четверти 20 в. продолжается развитие общей Т. и теории
гомологий: в развитие идей Тихонова А. Стоун (США) и Э. Чех вводят так
называемое стоун — чеховское, или максимальное, (би)компактное расширение
вполне регулярного пространства; определяются группы гомологий произвольных
пространств (Чех), в группы когомологий (Дж. Александер, А. Н. Колмогоров)
вводится умножение и строится кольцо когомологий. В это время в
алгебраической Т. царят комбинаторные методы, основывающиеся на
рассмотрении симплициальных схем; поэтому алгебраическая Т. иногда и до сих
пор называется комбинаторной Т. Вводятся пространства близости и
равномерные пространства. Начинает интенсивно развиваться теория гомотопий
(Х. Хопф, Понтрягин); определяются гомотопические группы (В. Гуревич, США)
и для их вычисления применяются соображения гладкой Т. (Понтрягин).
Формулируются аксиомы групп гомологий и когомологий (Н. Стинрод и С.
Эйленберг, США). Возникает теория расслоений (Х. Уитни, США; Понтрягин);
вводятся клеточные пространства (Дж. Уайтхед, Великобритания).
Во 2-й половине 20 в. в СССР складывается советская школа общей Т. и
теории гомологий: ведутся работы по теории размерности, проблеме
метризации, теории (би)компактных расширений, общей теории непрерывных
отображений (факторных, открытых, замкнутых), в частности теории абсолютов;
теории так называемых кардинальнозначных инвариантов (А.В. Архангельский,
Б. А. Пасынков, В. И. Пономарев, Е. Г. Скляренко, Ю. М. Смирнов и др.).
Усилиями ряда учёных (Ж. П. Серр и А. Картан во Франции, М. М.
Постников в СССР, Уайтхед и др.) окончательно складывается теория
гомотопий. В это время создаются крупные центры алгебраической Т. в США,
Великобритании и др. странах; возобновляется интерес к геометрической Т.
Создаётся теория векторных расслоений и К-функтора (М. Атья,
Великобритания; Ф. Хирцебрух, ФРГ), алгебраическая Т. получает широкие
применения в гладкой Т. (Р. Том, Франция) и алгебраической геометрии
(Хирцебрух); развивается теория (ко)бордизмов (В. А. Рохлин, СССР; Том, С.
П. Новиков) и теория сглаживания и триангулируемости (Дж. Милнор, США).
Развитие Т. продолжается во всех направлениях, а сфера её приложений
непрерывно расширяется.

Определение топологического пространства

Напомним классическое определение непрерывности числовой функции f в
точке x, восходящее к Коши.
Определение 1. Функция f называется непрерывной в точке x, если для
любого e > 0 существует d = d(e) > 0, такое, что если для точки x'
выполнено неравенство | x - x' | < d, то | f (x) - f (x') | < e.
Введенное выше определение допускает модификацию, удобную для
дальнейшего изложения.
Определение 1'. Функция f называется непрерывной в точке x, если для
любой окрестности U точки f (x) существует окрестность V точки x, такая,
что из того, что точка x' принадлежит V, следует, что f (x') принадлежит U.
Нетрудно видеть, что для числовых функций определения 1 и 1'
эквивалентны, поскольку, с одной стороны, множество точек x', таких, что |
x - x' | < d, является окрестностью точки x, называемой d-окрестностью x
(соответственно множество точек y, таких, что | f (x) - y | < < e, является
окрестностью точки f (x), называемой e-окрестностью f (x)), а с другой
стороны, внутри любой окрестности U точки f (x) содержится e-окрестность
для достаточно малого e (соответственно в любой окрестности V точки x
содержится d-окрестность для достаточно малого d).
Рассмотрим два множества: X и Y. Говорят, что задано отображение F : X
Y, если задано правило (закон), по которому каждому элементу x из X
поставлен в соответствие элемент y = F (x) из Y. Числовая функция является
наиболее известным примером отображения. В этом случае обычно X = Y = R -
множество вещественных чисел (числовая прямая), а закон F задается
формулой: например, вещественному числу x ставится в соответствие
вещественное число sin x (в этом случае F есть функция "синус").
Понятие отображения определено для любой пары произвольных множеств.
Однако можно ли в произвольном случае дать определение непрерывности F по
аналогии с определением 1 или определением 1'? Нетрудно видеть, что этого
сделать нельзя, поскольку на произвольных множествах нет ни понятия
окрестности, используемого в определении 1', ни понятия d-окрестности (e-
окрестности), используемого в определении 1. Так что для введения
корректного определения понятия непрерывности F мы должны либо ввести
предварительно понятие окрестности вообще, либо понятие e-окрестности. На
примере числовых функций видно, что e-окрестности являются частным случаем
окрестностей вообще, и если мы хотим дать наиболее общее определение
непрерывности, мы должны сосредоточить свое внимание на корректном введении
понятия просто окрестности точки в произвольном множестве.
Множество, на котором "правильно" введено понятие окрестности,
называется топологическим пространством. Подчеркнем: требование, чтобы
множество было топологическим пространством, является минимальным для того,
чтобы было корректно определено понятие непрерывного отображения. Отметим
для полноты, что множество, на котором корректно введено понятие e-
окрестности, называется метрическим пространством и метрическое
пространство является частным случаем топологического. В настоящей статье
мы не будем рассматривать метрические пространства. Это понятие освещается
в других статьях настоящего журнала.
В математическом анализе широко используется понятие открытого
множества (например) на числовой прямой: множество называется открытым,
если для любой его точки достаточно малый интервал с центром в этой точке
(то есть e-окрестность для достаточно малого e) целиком входит в это
множество. Для открытых множеств выполняются два важных свойства:
объединение любого (даже бесконечного) набора открытых множеств есть
открытое множество и пересечение конечного числа открытых множеств есть
открытое множество. Оказывается, если некоторый набор множеств обладает
этими свойствами, то с множествами из указанного набора можно работать во
многом так же, как с обычными открытыми множествами
Рассмотрим произвольное множество X.
Определение 2. Набор t подмножеств множества X называется топологией,
если он обладает следующими свойствами:
i. X и пустое множество входят в t;
ii. объединение любого семейства множеств из t принадлежит t;
iii. пересечение любого конечного числа множеств из t принадлежит t.
Если набор t задан, X называется топологическим пространством, а
входящие в t множества называются открытыми.

Примером топологического пространства является числовая прямая с
множествами, открытыми в обычном смысле. Действительно, вся числовая прямая
очевидным образом открыта, пустое множество включают в число открытых по
определению (это непротиворечиво, поскольку в пустом множестве нет точек,
тогда можно считать, что каждая из них (!) входит в пустое множество с
некоторой e-окрестностью). Как уже сказано выше, свойства (ii) и (iii)
выполнены. Топологию, состоящую из обычных открытых множеств на числовой
прямой, будем называть обычной топологией.
Приведем еще два примера. На любом X рассмотрим топологию, в которой
всего два множества: все X и пустое. Такая топология называется
тривиальной. Противоположная ситуация - на любом X включим в топологию
вообще все подмножества X (в частности, все его точки, то есть одноточечные
подмножества), само X и пустое подмножество. Эта топология называется
дискретной.
Обратите внимание, что тривиальную и дискретную топологию мы задали
описав все входящие в них множества. С обычной топологией мы не смогли это
сделать, и нам пришлось описывать ее с помощью свойства, которому
удовлетворяют ее множества. Чтобы избежать этого неудобства, было введено
понятие базы топологии.

Определение 3. Набор открытых множеств S называется базой топологии t,
если любое множество из t есть (возможно, бесконечное) объединение множеств
из S.
Базой обычной топологии на прямой являются e-окрестности.
Действительно, обычное открытое множество характеризуется тем, что каждая
его точка имеет некоторую e-окрестность, входящую в это множество. Так что
очевидно, что само множество есть объединение указанных e-окрестностей всех
его точек.
Приведем еще два примера. Первый из них - топология Зарисского на
числовой прямой - интересен (кроме всего прочего) тем, что возник в
реальной математической задаче, а не как экзотический пример для учебника.
В эту топологию включены вся прямая и пустое множество, а также все
множества на прямой, дополнения до которых состоят из конечного числа
точек.
Следующая топология на числовой прямой состоит из всей прямой и
пустого множества, а также всех открытых интервалов вида (a, + ?), где a -
точка прямой. Эта топология называется правой. Отметим, что в точности
аналогично можно задать и левую топологию.
Топология может наследоваться. Например, в плоскости имеется
топология, состоящая из обычных открытых множеств (аналогично случаю
числовой прямой). Тогда на лежащей в плоскости прямой возникает топология,
в которой открытыми множествами являются пересечения с этой прямой
множеств, открытых в плоскости. Эта топология называется индуцированной. В
рассматриваемом примере индуцированная топология - это обычная топология на
прямой.
В некоторых случаях различные топологии на одном и том же множестве
можно сравнивать между собой. Говорят, что топология t на X сильнее
топологии s на том же множестве, если все множества, входящие в s, входят
также и в t. Очевидно, что любая топология сильнее, чем тривиальная, а
дискретная сильнее любой топологии. Также понятно, что обычная топология
сильнее, чем топология Зарисского и чем правая топология, и в то же время
топологию Зарисского и правую топологию сравнить между собой нельзя - ни
одна из них не является более сильной, чем другая (более того, докажите,
что если некоторое множество числовой прямой входит сразу в обе эти
топологии, то это либо вся числовая прямая, либо пустое множество).
Определение 4. Окрестностью точки в топологическом пространстве
называется любое открытое множество, содержащее указанную точку.
Очевидно, что в обычной топологии понятие окрестности удовлетворяет
данному определению.
Используя введенное определение окрестности, нетрудно доказать
следующее свойство открытых множеств любого топологического пространства:
множество A открыто тогда и только тогда, когда каждая точка x из A имеет
окрестность, целиком входящую в A. Докажите это утверждение самостоятельно.
Обратите внимание, что характеристическое свойство обычных открытых
множеств на числовой прямой является частным случаем этого утверждения.

Задачи топологии

Пусть задано отображение F: X Y, где X и Y - топологические
пространства с топологиями соответственно t и s. Поскольку мы ввели
определение окрестности точки в топологическом пространстве, можем дать
определение непрерывности F в точке аналогично определению 1'.
Определение 5. Отображение F называется непрерывным в точке x k X,
если для любой окрестности U k k s точки f (x) в Y существует окрестность V
k t точки x в X, такая, что из того, что точка x' принадлежит V, следует,
что f (x') принадлежит U.
Определение 6. Отображение, непрерывное в каждой точке x множества X,
называется непрерывным на X.
В случае, когда множество X зафиксировано, будем называть отображения
просто непрерывными, не указывая X.
Непрерывные отображения характеризуются следующим свойством.
Теорема. Отображение F : X Y непрерывно тогда и только тогда, когда
для любого открытого множества U k s пространства Y его прообраз V = F
-1(U) принадлежит t, то есть является открытым множеством топологического
пространства X.
Доказательство. Пусть F непрерывно, то есть удовлетворяет определению
6. Выберем открытое множество U в Y. Поскольку U - окрестность каждой своей
точки y = F (x), x k V = F -1(U ), то, по определению 5, каждое x имеет
окрестность Vx , такую, что F (Vx) K U. Из последнего включения, в
частности, следует, что Vx K V, так как, по определению, V есть множество
всех точек x из X, таких, что F (x) k U. Тогда Действительно, так как
каждое x принадлежит своему Vx , содержит все x, то есть включает в себя V.
Кроме того, так как все Vx содержатся в V, то и их объединение содержится в
V. Из двух включений и следует равенство Таким образом, V есть объединение
открытых множеств Vx , то есть оно само открыто по свойству (ii) топологии.
Теперь пусть для любого открытого множества U топологического
пространства Y (то есть U k s) множество V = F -1(U ) открыто в X (то есть
принадлежит t). Покажем, что выполнено определение 5 в каждой точке x k X.
Выберем произвольную окрестность UF (x) точки F(x) в Y. Это открытое
множество, и поэтому Vx = = F -1(UF (x)) открыто в X и при этом по
построению F (Vx) = UF (x) . Итак, для любой окрестности UF (x) точки F (x)
существует окрестность Vx точки x, такая, что F (Vx) содержится в UF (x) ,
то есть выполнено определение 5. Теорема доказана.
Эта теорема дает очень простой критерий непрерывности отображений
топологических пространств. Он очень полезен даже для случая числовых
функций, хотя и не входит в традиционный стандартный курс математического
анализа.
Полученная нами теорема также позволяет строить новые топологии
следующим образом. Пусть задан некоторый класс отображений F (обозначим
этот класс через {F }) из множества X в числовую прямую R с обычной
топологией (или в любое другое топологическое пространство - в этом случае
конструкция аналогична). Зададим набор t подмножеств в X, включив туда
множества вида F -1(U ) для всех открытых множеств U в R и для всех
отображений F из {F }, все их объединения и конечные пересечения, а также
все X и пустое множество. Полученный набор t будет топологией. При этом по
теореме из построения следует, что все отображения из {F } будут
непрерывными! Подобные топологии часто используются и оказываются весьма
полезными.
Определение 7. Отображение F из топологического пространства X в
топологическое пространство Y называется гомеоморфизмом, если выполнены
следующие три условия: (i) F непрерывно; (ii) F взаимно однозначно (то есть
для любого y k Y существует x k X, такое, что F (x) = y, и указанное x
единственно; в частности, существует обратное отображение F -1: Y X );
(iii) отображение F -1 непрерывно.
Если существует гомеоморфизм F : X Y, то говорят, что X и Y
гомеоморфны друг другу. В этом случае мы можем наложить X на Y без
самопересечений и разрывов, приклеивая x k X к F (x) k Y. Так что
получается, что X и Y устроены одинаково.
Понятия гомеоморфизма и гомеоморфности являются центральными для
многих разделов топологии, в которых изучаются характеристики, описывающие
гомеоморфные пространства. Поскольку гомеоморфные пространства устроены
одинаково (см. выше), то их можно не различать, то есть считать разными
экземплярами одного и того же объекта. Существует крылатая фраза, что
тополог (математик, занимающийся топологией) - это человек, не отличающий
бублик от чайной чашки (задача: постройте гомеоморфизм между бубликом и
чашкой с одной ручкой!). Это означает, что наиболее общие (топологические)
свойства бублика и чашки одинаковы (они телесны и имеют одну дырку).
Другие разделы топологии изучают характеристики непрерывных
отображений и некоторые другие вопросы. При этом часто получаются
результаты, важные для приложений. Например, удается вычислить некоторые
характеристики непрерывных отображений, входящих в определенные уравнения,
которые показывают, имеет ли это уравнение решение. Это очень важно в
случаях, когда явно решить уравнение невозможно (не удается найти формулу
для решения).

Виды топологии

Итак, в произвольном топологическом пространстве мы можем (в
определенных пределах) работать так же успешно, как на числовой прямой, и
этим топологические пространства похожи друг на друга. Однако каждое
топологическое пространство обладает специфическими свойствами, которые
иногда резко отличаются от свойств числовой прямой.
Известны пять так называемых (основных) аксиом отделимости, из которых
мы приведем три простейшие. Отметим, что числовая прямая с обычной
топологией удовлетворяет всем пяти аксиомам. Пространства, удовлетворяющие
только некоторым из них, естественно, отличаются от нее своими свойствами.
Итак,
Аксиома Т0 (аксиома Колмогорова). Для любых двух не совпадающих точек
хотя бы одна из них имеет окрестность, не содержащую другую точку.
Очевидно, что для тривиальной топологии аксиома Т0 не выполняется: в
этой топологии есть ровно одно непустое открытое множество - всё X, поэтому
всё X будет единственной возможной окрестностью для любой точки и для
произвольной пары точек их "любые" окрестности просто совпадают. Все
остальные пространства, описанные выше, этим свойством обладают
(докажите!).
Аксиома Т1 . Для любых двух не совпадающих точек каждая из них имеет
окрестность, не содержащую другую точку.
Нетрудно видеть, что пространство, удовлетворяющее аксиоме Т1 ,
удовлетворяет и аксиоме Т0 , а не удовлетворяющее аксиоме Т0 , не
удовлетворяет и аксиоме Т1 . Так что пространство с тривиальной топологией
не удовлетворяет аксиоме Т1 . Числовая прямая с правой топологией тоже не
удовлетворяет Т1 . Действительно, пусть x < y. Тогда, взяв x < a < y, мы
получим, что (a, ?) содержит y (то есть является его окрестностью) и не
содержит x (отсюда следует выполнение аксиомы Т0). Однако для любого b < x
интервал (b, ?) содержит и x, и y, то есть любая окрестность точки x
содержит и y.
Отметим, что числовая прямая с топологией Зарисского удовлетворяет
аксиоме Т1 . Действительно, для x ? y окрестностью точки x, не содержащей
y, является дополнение R y, а окрестностью точки y, не содержащей x,
является R x. Легко видеть, что прямая с обычной и дискретной топологиями
удовлетворяют аксиоме Т1 .
Аксиома Т2 (аксиома Хаусдорфа). Для любых двух не совпадающих точек у
каждой из них можно выбрать по окрестности так, чтобы эти окрестности не
пересекались.
Понятно, что из выполнения аксиомы Т2 следует выполнение аксиомы Т1 ,
и, значит, если не выполняется аксиома Т1 , то не выполняется и аксиома Т2
.
Числовая прямая с топологией Зарисского не удовлетворяет аксиоме Т2 .
Действительно, поскольку в этой топологии открытое множество определяется
как множество, дополнение до которого состоит из конечного числа точек, а в
прямой число точек бесконечно, то любые два открытых множества (в том числе
любые две окрестности) пересекаются по бесконечному числу точек.
Очевидно, что прямая с обычной и прямая с дискретной топологиями
удовлетворяют аксиоме Т2 .
Влияние аксиом отделимости на свойства топологических пространств
проиллюстрируем на примере понятия предела последовательности, изучаемого в
старших классах школы. В топологическом пространстве определение предела
выглядит следующим образом (сравните с обычным определением).
Определение 8. Точка x k X называется пределом последовательности
точек x1 , x2 , _, xn , _ из X, если для любой окрестности U точки x
существует номер N = = N(U ), такой, что для всех n > N точки xn лежат в U.
Например, в обычной топологии на прямой пределом последовательности 1,
является точка 0, для "постоянной" последовательности a, a, _, a, _ (a -
фиксированное число) предел равен a и последовательность 1, 2, 3, _, n, _
(натуральный ряд) не имеет предела. В обычной топологии предел
последовательности может быть только один, если он вообще существует, и он
находится как бы рядом с точками последовательности (это верно для любого
пространства, удовлетворяющего аксиоме T2).
Для пространств, не удовлетворяющих каким-нибудь аксиомам отделимости,
свойства пределов могут быть весьма необычными.
Утверждение 1. В правой топологии на прямой любая точка b < a является
пределом "постоянной" последовательности a, a, _, a, _
Действительно, окрестность точки b в правой топологии есть множество
вида (c, ?), где c < b. Поскольку b < a, (c, ?) содержит a, то есть все
члены последовательности a, a, _, a, _ Таким образом, b - предел.
Теперь рассмотрим прямую с топологией Зарисского. Здесь имеется еще
более впечатляющий пример предела последовательности.
Утверждение 2. В топологии Зарисского любая точка x k R является
пределом натурального ряда.
Действительно, зафиксируем произвольную окрестность U точки x. По
определению топологии Зарисского, дополнение U до R состоит из конечного
числа точек. Поскольку в натуральном ряду бесконечное число точек, отсюда
следует, что в U содержится бесконечное число его точек, то есть начиная с
некоторого N все точки n > N лежат в U.
Обычная и дискретная топологии удовлетворяют аксиомам Т0-Т2 , и в них
не существует столь экзотических примеров пределов. Однако не следует
думать, что дискретная топология очень похожа на обычную. Напомним, что в
дискретной топологии открытым является любое множество, то есть, в
частности, любая точка x является сама своей окрестностью (чтобы не
запутаться, обозначим эту окрестность через {x}). Понятно, что в этом
случае в окрестности {x} точки x нет точек, отличных от x, то есть любая
фиксированная точка x может быть пределом только таких последовательностей,
у которых начиная с некоторого N все члены xn > N равны x.
Имеется еще одна важная система аксиом, относительно которых, кстати,
различаются две последние топологии.
Определение 9. Говорят, что топологическое пространство удовлетворяет
второй аксиоме счетности, если топология этого пространства имеет базу,
состоящую из счетного набора множеств (то есть множества, входящие в эту
базу, можно занумеровать натуральными числами).
Обычная топология на прямой имеет счетную базу - это e-окрестности с
рациональным e, центрами которых являются рациональные точки (как известно,
множество рациональных чисел счетно). Дискретная топология на прямой не
имеет счетной базы: в любую базу этой топологии должны входить все точки
прямой, а, как известно, это множество более чем счетно (его нельзя
перенумеровать)




Новинки рефератов ::

Реферат: страхование в Украине (Страхование)


Реферат: Греческая мифология (Религия)


Реферат: Основні положення законодавства України про працю та охорону праці, основні принципи державної політики в галузі охорони праці (Трудовое право)


Реферат: Организационно-правовые основы деятельности правоохранительных органов в области природопользования и охраны окружающей среды. Экологическая ответственность (Контрольная) (Экологическое право)


Реферат: Инвестиции (Инвестиции)


Реферат: 1905 год. Революция (История)


Реферат: Методика оценки радиационной обстановки (Военная кафедра)


Реферат: Аппарат произведения печати. Элементы книги (Культурология)


Реферат: Григорий Распутин (Исторические личности)


Реферат: Безопасность в сфере гостиничного хозяйства (Безопасность жизнедеятельности)


Реферат: Гербы в средние века (Культурология)


Реферат: Государственное и муниципальное управление (Менеджмент)


Реферат: Имитатор телефонной линии (Коммуникации и связь)


Реферат: Семья (Социология)


Реферат: Объекты правоотношений по социальному обеспечению (Право)


Реферат: Биография Н. В. Гоголя (Литература : русская)


Реферат: Индивидуальный подход в воспитании детей (Педагогика)


Реферат: Зарождение и развитие психологии (Психология)


Реферат: Диагностический участкок (Транспорт)


Реферат: Бром (Химия)



Copyright © GeoRUS, Геологические сайты альтруист