|
Реферат: Познавательные задачи, познавательные задания как средства активизации познавательных процессов в деятельности учащихся на уроках истории (Педагогика)
Познавательные задачи, познавательные задания, как средство активизации
познавательных процессов в деятельности учащихся на уроках истории
(доклад)
|Выполнили: |Студенты историко-филологического |
| |факультета, IV курса группы "Г". |
| |Шиминг М., Романенко В., Колесникова|
| |О. |
|Проверил: |Федорова И.Е. |
Благовещенск, 2001
Понятие о познавательных задачах и заданиях.
Самый надежный и традиционно проверенный способ развития умений – это
система познавательных задач и заданий. Познавательное задание – это
определенные учебные условия, которые требуют от ученика активизации всех
познавательных процессов – мышления, воображения, памяти, внимания и т.д.
Традиционно их делят на образные, логические и оценочные:
Образное задание – это такое, которое помогает учащимся воссоздать
историческое прошлое в образах и оперировать ими.
Пример: Составить исторический портрет видного деятеля той или иной
эпохи.
Чингисхан:
. Был сыном одного из предводителей монгольских племен
. В молодости его звали Тимучин
. В 1206 году был провозглашен каганом или великим ханом
. Во время походов занял Северный Китай, Восточный Туркестан,
государства Средней Азии
. Был высокого роста, обладал отличным здоровьем, отличался большой
храбростью и выдержкой, в самых сложных обстоятельствах не терял
присутствия духа, имел талант красноречия, был хорошим наездником,
прекрасно стрелял из лука и отлично владел копьем
. Был неграмотным, но державой управлял на началах взаимного согласия
. Перед смертью свою империю разделил на три части и отдал своим
сыновьям
В каждом конкретном случае общие требования к образным заданиям
дополняются более точными, вытекающими из соеобразия темы и формы
задания.
Интеллектуальные или логические задания направлены на усвоение
теоретических знаний и требуют преимущественно активизации абстрактно –
логического мышления.
Пример:
«Никаких дел, касающихся до торговли и фабрик, не можно завести
принуждением, а дешевизна родится от великого числа продавцов и от вольного
умножения товара». Определите кому: Петру I или Екатерине II, принадлежат
эти слова. Свой ответ обоснуйте.
При выполении задания учащиеся должны:
1. Установить автора высказывания и сформулировать свой ответ.
2. При его обосновании:
А) оперировать экономическими понятиями: монополия, единый
рынок, конкуренция, предпринимательство и другими.
Б) привести конкретные факты, подтверждающие соответствие
высказывания экономической политике его автора
В) вероятно, сравнить экономическую политику Петра I и
Екатерины II
3. И, по желанию, определить последствия экономической
политики автора высказывания.
Оценочные задания побуждают учеников высказывать свои ценностные
суждения, личностное отношение к изучаемому. В современной системе заданий
оценочные задания играют значимую роль.
Пример:
Судьба американских безработных по их собственным рассказам.
Пат Догерти. Лос-Анжелес, Калифорния:
В 1931 г. я в общей сложности проработал 5 дней. Один раз я увидел,
наконец, объявление, касающееся женатых людей, которые должны были сообщить
свое имя, чтобы получить работу в нефтяных районах. Я прочел это объявление
в понедельник утром. В 8 час. 50 мин. Яуже был там. В 2 часа 30 мин. Дошла,
наконец, моя очередь. Они поставили мне самые разнообразные вопросы и,
наконец, сказали, что они известят меня в течение трех недель. Три недели
превратились ужев шесть долгих месяцев. Я только потому не умер с голоду,
что моя жена имеет еще работу. Когда она работает, она получает 21 доллар в
неделю. Эту неделю ее очередь сидеть дома. Следующую неделю она опять будет
работать.
Чарльз Дойль. Феникс, Аризона:
Я сталевар. За последние 30 лет я работал на сталелитейных заводах.
Три года назад они меня выгнали на улицу, и стех пор я уже не находил
работы. Деньги, которые я скопил, давно съедены. Вчера я спал на верфи под
навесом. Конечно, я тоже стою в очереди за супом в «Кафе Гувера», как его
называют ребята. Я не очень доволен этим. Если бы мы сами взяли это дело в
свои руки, то еда была бы лучше. Работы я уже не ищу. Я пришел к
заключению, что мир кончился и работа окончена. Это все, что я хотел
сказать. Хорошо, что жена и два сына – тоже безработные – умерли. Таким
образом я остался один.
Вопрос: Как вы оцениваете положение, в котором оказалось большинство
населения США во время мирового экономического кризиса 1929-1933 гг. Как вы
думаете почему в указанный период значительно возрос процент самоубийств
среди мужчин 25-40 лет ?
Познавательные задания логического плана очень близки познавательным
задачам. Познавательная задача – это такие условия в учебных ситуациях,
которые не только побуждают ученика к оперированию известными знаниями в
новых ситуациях, но и ведут к открытию новых способов действий с
историческим материалом. Методисты их подчас отождествляют с творческими,
поскольку задачи направлены на развитие самостоятельной интеллектуальной
деятельности учащихся. Задачи – прогнозы направлены на умение выстраивать
причинно – следственные связи и аргументировано обозначать конечный
результат. Задания – альтернативы требуют аргументированного выбора.
Задания – дискуссии требуют самостоятельной выработки решения на основе
нескольких точек зрения. В задании – противоречии сталкиваются новые знания
со старыми. В заданиях – размышлениях, фантазиях важен не конечный вывод, а
процесс творческой деятельности.
Упражнения – это задания на манипуляцию и оперирование историческими
датами, терминами, понятиями, названиями. В упражнениях нужно знать
материал, чтобы им оперировать. Они хороши для тренировки и выполнения
приемов по заданному образцу. Все три типа заданий способствуют
формированию умений по истории. В современной школе они входят в комплекты
рабочих тетрадей по всем курсам.
Способы обучения решению познавательных задач.
Функции познавательных задач многообразны, – они позволяют творчески
применить знания, формировать опыт творческого мышления, закреплять
материал и т.д. Соответственно они применяются в различных звеньях учебного
процесса – при постановке цели, изучения нового, его закрепления и для
домашних заданий.
Возникает вопрос о том, как учить решению задач. Проблема формируется
следующим образом: при всяком ли методе обучения способам решения
познавательных задач они выполняют функцию средства развития творческих
возможностей учащихся, их познавательной самостоятельности? И далее, при
всяком ли обучении способам решения познавательных задач процесс решения
будет творческим, т.е. с проявлением характеристик и процедур творческой
деятельности?
В теории и практике обучения способам решения задач существует
несколько принципиально различных методов:
1. Сообщение способа решения конкретных задач с последующим составлением
алгоритма, дающего общую ориентировку решения задач данного класса.
Приемы решения закрепляются тренажером.
2. Сообщение способа решения с последующим применением его в вариативных
ситуациях в пределах данного класса задач. Составление алгоритма, подчас
стихийное, представляется учащимся.
3. Самостоятельный поиск учащимися способа и пути решения конкретных задач
с последующим определением алгоритма некоторого класса задач.
В реальном процессе обучения указанные три варианта обучения могут
чередоваться в любом порядке, скрещиваться и сочетаться в разных
комбинациях. Эти варианты могут применяться и изолированно друг от друга,
так как каждый из них в различной системе обучения имеет различный удельный
вес. Первый вариант был доминирующим на протяжении наиболее длительного
периода истории обучения. Второй преобладает в настоящее время при редком,
впрочем, составлении алгоритмов самими учащимися.
В основе классификации трех вариантов лежит степень самостоятельности
учащихся при решении задач. Однако для целей развития познавательной
самостоятельности и его важнейшего компонента – творческой деятельности
первые два варианта не создают оптимальных условий. Первый потому, что
тренаж не требует проявления и не формирует процедур творческой
деятельности, исключая различие в преодолении сложности задач. Второй
вариант создает некоторые, весьма ограниченные условия для формирования
творческих потенций, поскольку основные показатели деятельности учащимся
подсказываются.
В этих условиях функция познавательных задач, направленная на развитие
творческих возможностей учащихся, не может быть осуществлена. Для развития
творческого мышления, главным вариантом обучения должен стать третий,
разумеется, в определенном сочетании с другими, подготовительными методами.
Основной принцип, положенный в основу обучения решению познавательных
задач и вытекающий из их природы и функций, состоит в том, что любой прием
обучения способам решения познавательных задач не должен приводить к потере
поискового характера деятельности учащихся. Это значит, что ни решение, ни
способ его поиска учителем не сообщаются.
Поэтому основной способ обучения решению познавательных задач состоит
в предъявлении в начале обучения задач разной степени сложности в
зависимости от уровня развития познавательной самостоятельности учащихся.
Практически приходиться исходить из того, что большая или меньшая часть
учащихся сначала, особенно в IV – V классах, не справляется с решением. Это
также можно отнести и к учащимся других классов, если они раньше не решали
таких задач по истории. В то же время часть учеников может с большей или
меньшей устойчивостью справляться с решением подобных задач. Неизбежная
разнородность состава классов требует с самого начала применения
дифференцированного подхода, но для большинства учащихся надо начинать с
простейших задач, которые вообще играют важную роль в обучении.
Особенностью многих задач на начальном уровне обучения должен быть их
характер, отчетливо определяющий деятельность учащихся. Он состоит в выборе
однозначных решений, а начало и направление поиска должны четко
обеспечиваться содержанием условия задачи и поставленной в ней проблемой.
Так, первая же задача в V классе, требующая определить знания древнейших
людей по ручному рубилу, обусловливает поиск решения в области знаний,
опираясь на данные о свойствах рубила и цели его изготовления. При этом ни
в одной задаче такого рода нет подсказки ответа или способа решения. Они
лишь в разной степени определяют русло, в котором движется мысль ученика в
процессе решения задачи. Тем самым указанные задачи отличаются от других,
где русло движения мысли, ищущей решения, не жестко обусловлено характером
задачи и ее элементами.
Задача не подсказывает области, где находиться решение, и ясно не
указывает на данные, из которых нужно его извлечь. Этот тип задач труден
для ребят, и обучение должно начинаться не с них.
Задачи могут быть разной степени сложности и по-разному
обуславливающие характер и направление деятельности учащихся. Следует
учесть, что фактором, облегчающим или затрудняющим обучение решению задач,
является степень близости содержания задачи содержанию русла, в котором в
данный момент или незадолго до него шла работа мысли ученика. Если в задаче
косвенно идет речь о теме, пройденной незадолго до решения, то решение
окажется облегченным. И наоборот, темы, изученные давно, с трудом
актуализируются для решения задачи не потому, что они забыты, а из-за того
неумения учеников применять в новой ситуации далеко отстоящие (по времени
изучения или по области) знания. Методическим средством, влияющим на
процесс решения, является предъявление задач, перекликающихся прямо с
содержанием изучаемого (в начале работы с задачами) или косвенно с теми
областями знаний, которые должны быть применены (перенесены) в данной
ситуации. В первом случае решение задач облегчается, во втором –
затрудняется, но при этом интенсивнее формируются свойства, необходимые для
углубленной поисковой и творческой деятельности.
Основной способ обучения решению задач методом расположения их по
степени сложности, близости к изучаемой тематике и четкой обусловленности
действий решающего достаточно эффективен и обеспечивает достижение цели.
Вместе с тем реальная практика обучения не исключает многих случаев
серьезных затруднений учащихся при решении конкретных задач. Эти
затруднения могут быть разделены на два случая: 1. Ученики не знают, как
решить задачу. 2. Ученики в той или другой мере неправильно решили задачу.
В случае неподготовленности учащихся к решению той или иной конкретной
задачи можно оказать им помощь тремя путями:
1. Дать другую задачу того же типа, но более четко определяющую для данного
уровня учащихся направления поиска ответов. Затем предлагается нерешенная
перед этим задача.
2. Неподдающаяся решению задача, хотя принципиально и доступная,
преобразуется в вариант основной задачи. Этот вариант, последовательно
ослабляя меру сложности основной задачи и соответственно ее трудность,
все же требует поиска. Не всякая задача поддается такому преобразованию,
при котором новый вариант сохраняет характер поисковой задачи. И в этом
случае, как, впрочем, и в других, применяется третий путь.
3. Расчленение задачи на подзадачи, каждая из которых сохраняет значение
поисковой и вместе с тем является шагом на пути решения основной, трудно
решаемой задачи. Этому служит также и эвристическая беседа, в которой
строится ряд вопросов, в своей совокупности обнажающих путь решения
задачи, сумму его шагов, этапов рассуждения и операций. Среди этих
вопросов часть или все представляли собой небольшие, подчас элементарные
познавательные задачи.
Гораздо чаще бывают случаи, когда учащиеся, не чувствуя себя
беспомощными перед предъявленной им задачей, дают неправильное решение или
неправильно и недостаточно убедительно его аргументируют. При этом условии
подсказка учителя, лишающая ученика возможности самостоятельного мышления,
должна встречаться редко. Принятый исходный принцип обучения решению задач
требует новых путей, которые состоят в построении конфликтных логических
ситуаций или показе несостоятельности решения и доводов.
Такие конфликтные ситуации логического характера направляют мысль
ученика на новый поиск, не подсказывая ни решения, ни пути его поиска.
Непременное условие успешного развития творческого мышления –
постоянная требовательность к доказательности решений. Дети первоначально
не умеют доказывать, а если их не приучить к этому, то и не привыкают к
необходимости доказательств. Опыт показал, что приучение к доказательности
решений повышает уровень умственного развития почти в три раза по сравнению
с бездоказательным решением задач. По этой причине почти все тексты задач
первоначально должны напоминать о необходимости доказательства решения. В
ходе обучения надо постепенно объяснять смысл и правила доказательств,
неизменно требовать их.
Необходимо заметить, что отсутствие навыков поисковой работы исключает
стихийное решение сложных задач. Оно допускает чаще всего бездоказательное
решение задач, явно обнаруживающих направление поиска, которое по
преимуществу имеет характер необоснованной догадки.
Устранение этих недочетов лучше всего осуществлять на относительно
простых задачах, точно обозначающих поле поиска. Опыт показал, что навыкам
поисковой работы нужно обучать не до, а в ходе решения задач. Давая первые
задачи, прежде всего, необходимо объяснить важность доказательств, а затем
указать остальные правила. Некоторые учителя до решения задач дают учащимся
памятку о правилах их решения.
В ходе обучения решению познавательных задач учащиеся, естественно, не
сразу овладевают наиболее высоким уровнем такого решения. Обучение многих
учеников разных классов и школ в течение нескольких лет показало, что если
они начинают с нуля, то происходит четыре постепенно возрастающих уровня
решения творческих задач. Эти уровни одновременно характеризуют
познавательную самостоятельность учащихся и движение их умственного
развития:
I. Умение самостоятельно и доказательно сделать один или несколько
непосредственных выводов из одного какого – либо данного в условии
задачи.
II. Умение доказательно прийти к нескольким параллельным и не соотнесенным
друг с другом непосредственным выводам на основе нескольких данных
условия.
III. Умение доказательно делать один или несколько опосредованных выводов
из одного или нескольких данных условия. При этом выводы или данные не
соотнесены друг с другом.
IV. Умение делать опосредованные выводы на основе выявления связи между
всеми данными в условии задачи.
Уровни отличаются друг от друга характером умозаключения (прямым или
косвенным) и степенью соотнесенности данных в условии. Надо заметить, что
вообще познавательные задачи отличаются тем, что одни из них требуют того
или иного определенного уровня для своего успешного решения, другие –
допускают разные уровни, и в этом случае решения окажутся более или менее
глубокими. Это свойство задач позволяет учителю управлять переходом
учащихся с одного уровня на другой в зависимости от того, на каком уровне
ученик находится в данный момент. Если обучение только начинается, учитель
дает задачи, требующие первого уровня; по мере появления у учащихся
соответствующих навыков учитель переходит к задачам, требующим следующего
уровня, и т.д. Если учащиеся одного класса находятся на разных уровнях,
учитель может дать задачи, допускающие разные уровни, чтобы над ними могли
работать все ученики. Индивидуализации обучения содействует создание задач
для разных уровней и их решение разными учениками в зависимости от степени
их подготовки. Из этого следует, что по одной и той же теме целесообразно
конструировать задачи разных уровней для разных учеников. Задачи разных
уровней следует строить и в последующих классах, не удовлетворяясь
достижением IV уровня в одном классе.
IV уровень оптимальный. Его, с одной стороны, можно достичь в любом
классе на учебном материале, соответствующем программе. С другой – пределы
его развития очень широки. Чем больше данных способен соотнести решающий,
чем длиннее цепь рассуждений, тем, следовательно, сложнее задача и
эффективнее развитие IV уровня познавательной самостоятельности учащихся.
При переводе учащихся с одного уровня на другой следует иметь в виду,
что перевод от II к III сложнее, чем перевод от I ко II, так как III
уровень требует опосредованных выводов. Задачи, относящиеся к III и IV
уровням, требуют более выразительного проявления творческих процедур, так
как не всегда в цепи суждений каждое звено поддается логическому выводу.
Здесь действуют признаки творчества. Для облегчения перевода с уровня на
уровень целесообразно практиковать задачи, поддающиеся решению на разном
уровне глубины, т.е. смежно-уровневые.
В последние годы учебно-методический комплекс по истории существенно
пополнился различными сборниками познавательных заданий, задачниками и
тематическими подборками в журнале "Преподавание истории в школе".
|Автор (ы) |Название |Издание |
|1.Смирнов С.Г. |Задачник по истории древнего мира |М.: Мирос, 1994 |
|2.Смирнов С.Г. |Задачник по истории средних веков |М.: Мирос, 1995 |
|3.Смирнов С.Г. |Задачник по истории России |М.: Мирос, 1993 |
|4.Горяйнов С.Г. |Задачник по истории России |Ростов–на–Дону, 1996 |
|5.Кишенкова О.В.,|История для любознательных: |М.: Дрофа, 1996 |
| |Задачник (5-11 кл.) | |
|Короткова М.В. | | |
|6.Плоткин Г.М. |Материалы и познавательные задания|М.: Просвещение, 1995 |
| |по отечественной истории. 10-11 | |
| |кл. | |
|7.Колосков А.Г. |Задания для самостоятельной работы|М.: Просвещение, 1996 |
|Гевуркова Е.А. |по истории Отечества. 10-11 кл. | |
|8.Под общей ред. |1000 вопросов и ответов по истории|М.: АСТ, 1996 |
|Алексашкиной Л.Н.|школьникам и абитуриентам: Учеб. | |
| |пособие | |
|9.Жуков Л.В. |Контрольные и проверочные работы |М.: Дрофа, 1997 |
| |по истории в 5-9, 10-11 кл.: | |
| |Метод. пособие в 2х частях | |
Естественно, что при многообразии познавательных заданий (которые не
поддаются однозначной классификации) критерии их оценки в каждом случае
должны быть более определенными и конкретными. Они зависят от содержания
вопроса (задания), характера деятельности, заложенной в его решение, формы
предполагаемого ответа, круга задействованных источников и, наконец, от
возраста учащихся и уровня их подготовки. Проводить анализ ученических
работ, выделяя элементы ответов, свидетельствующие о наличии знаний и
сформированности умений, учителю будет проще, если в государственном
стандарте исторического образования будет предложена разветвленная система
критериев учебных достижений школьников, подобная той, что разработана в
нормативных документах большинства стран Европы и США. (Лещинер В., Нормы и
стандарты исторического образования в англоязычных странах.//Преподавание
истории в школе, 1993, № 6)
Логические задания – мыслительные задания, активизирующие преимущественно
абстрактно – логическое мышление учащихся. Содействуют формированию умений
осмысливать сущьность фактического материала, усваивать теоретические
сведения в форме понятий разной широты обобщения. (Гора П.В. Повышение
эффективности обучения истории в средней школе. М., 1988)
Проблемные задания – особый вид логических заданий, построенных на
несоответствии наличного уровня знаний и умений ученика к требующемуся для
решения поставленной задачи. В процессе ее решения ученики овладевают
опытом творческой деятельности, т.е. способностью при решении каждой новой
задачи находить свой оригинальный способ ее решения, опираться как на
имеющиеся знания и умения, так и на догадку и интуицию. (Вяземский Е.Е.,
Стрелова О.Ю. и др. Историческое образование в современной России:
Справочно–методическое пособие для учителей. – М.: Русское слово, 1997)
Образные задания – задания, обучающие видеть, адекватно усваивать и
воспроизводить в образной форме внешние признаки исторических событий и их
деталей, деятельность людей – участников исторического процесса. (Гора П.В.
Повышение эффективности обучения истории в средней школе. М., 1988)
Памятка
Для учащихся, решающих познавательные задачи
1. Внимательно прочтите условие задачи и запомните вопросы к ней.
2. Начните обдумывать данные условия (слово за словом, строку за строкой) и
определите, что они дают для ответа на вопрос.
3. Подумайте, не противоречат ли друг другу данные в условии задачи, не
помогают ли одни данные понять значение других данных того же условия.
4. Если в условии не хватает каких-либо данных, вспомните, что вы знаете по
теме задачи, и подумайте, что из этих знаний может помочь решению.
5. Обязательно докажите свое решение. Если из условия задачи следует
несколько выводов, каждый из них надо доказать. Проверьте, готовы ли вы
ясно и убедительно изложить доказательство.
6. Проверьте, является ли ваше решение ответом по существу вопроса задачи.
Полон ли ваш ответ? Нет ли лишнего, не относящегося к вопросу задачи?
7. Еще раз проверьте, нет ли в условии задачи данных, противоречащих вашему
решению. Все ли данные вы учли?
8. Проверьте, все ли возможные выводы по существу вопроса задачи вы сделали
и доказали.
Список рекомендуемой литературы
1.Смирнов С.Г. Задачник по истории древнего мира М.: Мирос, 1994
2.Смирнов С.Г. Задачник по истории средних веков М.: Мирос, 1995
3.Смирнов С.Г. Задачник по истории России М.: Мирос, 1993
4.Горяйнов С.Г. Задачник по истории России Ростов–на–Дону, 1996
5.Кишенкова О.В., Короткова М.В. История для любознательных:
6.Плоткин Г.М. Материалы и познавательные задания по отечественной истории.
10-11 кл. М.: Просвещение, 1995
7.Колосков А.Г. Гевуркова Е.А. Задания для самостоятельной работы по
истории Отечества. 10-11 кл. М.: Просвещение, 1996
8.Под общей ред. Алексашкиной Л.Н. 1000 вопросов и ответов по истории
школьникам и абитуриентам: Учеб. Пособие М.: АСТ, 1996
9.Жуков Л.В. Контрольные и проверочные работы по истории в 5-9, 10-11 кл.:
Метод. пособие в 2х частях М.: Дрофа, 1997
Список литературы
1. И.Я. Лернер. Развитие мышления учащихся в процессе обучения истории.
М., 1982
2. Е.Е.Вяземский, О.Ю.Стрелова. Историческое образование в современной
России. М., 1997
3. М.В.Короткова, М.Т.Студеникин. Методика обучения истории в схемах,
таблицах и описаниях. М., 1999
4. Хрестоматия по новейшей истории, 1917-1945: пособие для учителя/ Сост.
М.Е.Сучков; Под ред. Н.Н. Яковлева. М, 1987
5. Г.М.Плоткин. Гражданская война в России (урок решения познавательных
задач)// Преподавание истории в школе, 1999 №1
6. Г.И. Старобинская. Познавательные задания и контрольные вопросы по курсу
истории Древнего мира // Преподавание истории в школе, 1999 №7
7. И.А. Клепикова. Познавательные задания по истории Рязанского края, 1999
№8
Реферат на тему: Показникові та логарифмічні рівняння, нерівності та їх системи в шкільному курсі математики
3. Аналіз діючих підручників та тестів.
Порівняльна характеристика тем.
Останній час тема «Показникова і логарифмічна функція»
вивчається в середній школі за підручником під редакцією А.Н.Колмогорова.
На сьогоднішній день з’явився новий підручник авторами якого є М.І. Шкіль,
З.І. Слєпкань, О.С. Дубінчук, в якому данна тема вивчається дещо по іншому.
Проведемо порівняльну характеристику вивчення данної теми в згаданих
підручниках.
Тема: «Показникова функція».
|Підручник під редакцією |Підручник під редакцією М.І.Шкіль, |
|А.Н.Колмогорова «Алгебра і початки |З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук |
|аналізу у 10-11 кл.» |«Алгебра і початки аналізу у 10-11 |
| |кл.» |
|(1 Показникова функція |(1 Поняття показникової функції. |
|n.1.Степінь з ірраціональним |n.1. Означення і графік |
|показником |показникової функції. |
|Фіксують додатнє число а і ставлять|Дається означення: Функція [pic], |
|кожному числу [pic] число [pic]. |де а>0, [pic] називається |
|Цим самим отримують числову функцію|показниковою (з основою а). |
|[pic], визначену на множені Q |Вивчення показникової функції |
|раціональних чисел. Зазначається, |починається з функції [pic], |
|що при а=1 функція [pic] стала, |потім розглядається [pic], |
|так як [pic] для будь-якого |будуються їхні графіки і |
|раціонального числа. |порівнюються. Далі розглядається |
|Будуються графіки функцій [pic] і |функція [pic]. Порівнюються графіки|
|[pic] і порівнюються. Далі |функції [pic] і [pic]. З графікив |
|описується як визначається число |зчитуються спільні властивості. |
|[pic] для ірраціональних [pic] при |Далі порівнюються графіки функцій |
|а>1, в загальних рисах. Аналогічно |[pic]([pic]) і [pic]([pic]). З |
|описується визначення числа [pic], |графіків зчитуються властивості |
|для [pic]. Крім цього вважають, що |функцій. |
|[pic] для будь-якого [pic] і | |
|[pic][pic]для [pic][pic][pic] | |
|n.2. Властивості показникової |n.2. Загальні властивості |
|функції. |показникової функції. |
|Означення: Функція, задана формулою|D(y)=R |
|[pic] (де a>0, [pic]), називається |[pic] |
|показниковою з основою а. |якщо x=0, показникова функція [pic]|
|Формулюються основні властивості: | |
|Область визначення множина R |Зазначені вище властивості |
|дійсних чисел. |доводяться, розглядаються всі |
|Область значень множина R+ всіх |можливі випадки. Далі наводяться |
|додатніх дійсних чисел. |властивості без доведення. |
|При [pic] функція зростає на всій |якщо [pic] [pic] і [pic] то [pic]. |
|числовій прямій; при [pic] функція |якщо [pic] і [pic], то якеб не було|
|спадає на множині R. |додатнє число N, існує, і до того ж|
|При будь-яких дійсних значеннях х і|єдине, таке значення х, що [pic] |
|у справедливі рівності | |
| | |
|[pic] | |
|[pic]; | |
|[pic] | |
|[pic] | |
|[pic]. | |
| |n.3. Властивості графіка |
| |показникової функції. |
| |Графік розміщений у верхній |
| |півплощині, тобто там де ординати |
| |додатні. |
| |Будь-яка пряма, паралельна осі 0Y, |
| |перетинає графік і до того ж тільки|
| |в одній точці. |
| |Крива проходить через точку (0;1), |
| |тобто коли х=0, функція чисельно |
| |дорівнює 1. |
| |З двох точок графіка вище розміщена|
| |та , яка лежить правіше, тобто в |
| |міру просування зліва на право він |
| |піднімається вгору. |
| |На графіку є точки, які лежать вище|
| |будь-якої прямої, паралельної осі |
| |0х. На графіку є точки, що лежать |
| |нижче будь-якої прямої, проведеної |
| |у верхнії півплощині паралельно осі|
| |Х. |
| |Будь-яка пряма, що паралельна осі Х|
| |і лежить у верхній півплощині, |
| |перетинає графік, і при чому в |
| |одній точці. |
| |n.4.Приклади застосування |
| |властивостей показникової функції. |
| |В цьому пункті наводяться приклади |
| |вправ на показникову функцію і |
| |варіанти їх розв’язування. |
| |n.5. Використання показникової |
| |функції під час вивчення явищ |
| |навколишнього середовища |
| |Задача про радіоактивний розпад. |
| |Задача про зміну атмосферного |
| |тиску. |
| |Задача про розмноження бактерій. |
| |Задача про вакуумування. |
| |Задача про приріст деревини. |
| |Всі запропоновані задачі наводяться|
| |з розв’язанням. |
| |n.6. Основні показникові |
| |тотожності. |
| |Для будь-яких дійсних значень х і у|
| |справедливі рівності: |
| |[pic] |
| |[pic]; |
| |[pic] |
| |[pic] |
| |[pic] |
|(2 Розв’язування показникових |(2 Розв’язування показникових |
|рівнянь і нерівностей. |рівнянь і нерівностей. |
|n.1. Рівняння. |n.1. Показникові рівняння. |
|Розглядається найпростіше |Показниковим називають рівняння, в |
|показникове рівняння [pic], [pic] і|яких невідоме входить лише до |
|[pic]. Кажуть, що у випадку [pic] |показників степенів при сталих |
|або [pic] рівняння не має |основах. Найпростішим рівнянням є |
|розв’язків. |[pic] [pic] і [pic][pic]. Говорять,|
|Нехай [pic]. Функція [pic] на |що загального методу розв’язування |
|проміжку [pic] зростає при [pic] |показникових рівнянь немає. |
|(спадає при [pic]) і набуває |Виділяють кілька типів показникових|
|додатних значень. Застосувавши |рівнянь і наводять схеми (приклади)|
|теорему про корінь, дістаємо, що |їх розв’язання. |
|рівняння при будь-якому [pic], |Найпоширеніший спосіб: зведення |
|[pic], має єдиний корінь. |обох частих показникового рівняння |
|Щоб його знайти треба [pic]подати |до спільної основи. Приклади. |
|у вигляді [pic]. Очевидно, що [pic]|Спеціальні способи розв’язання: |
|є розв’язком рівняння [pic] , |зведення до спільного показника. |
|демонструється на графіку функції. |А також показникове рівняння |
|Розглядається 4 приклади. |перетворюють відомими методами: |
| |заміни, зведення до квадратного |
| |рівняння, а потім вже |
| |використовують певну схему. |
|n.2. Нерівності і системи рівнянь. |n.2. Розв’язування нерівностей, які|
|Розв’язання найпростійших |містять показникову функцію. |
|показникових показникових |Найпростішими є нерівності виду |
|нерівностей грунтується на відомій |[pic]. Під час розв’язування |
|властивості функції [pic]; ця |використовують властивість |
|функція зростає, якщо [pic], і |монотонності показникової функції. |
|спадає, якщо [pic]. Розглядаються |І кажуть, що для [pic] |
|приклади. |розв’язування даної нерівності |
| |зведеться до розв’язування |
| |нерівності [pic], а для [pic] |
| |зводиться до розв’язування |
| |нерівності [pic]. Приклади |
| |розв’язання нерівностей. |
Тема: «Логарифмічна функція».
|Підручник під редакцією |Підручник під редакцією М.І.Шкіль, |
|А.Н.Колмогорова «Алгебра і початки |З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук |
|аналізу у 10-11 кл.» |«Алгебра і початки аналізу у 10-11 |
| |кл.» |
|(1 Логарифми і їх властивості. |(1 Логарифми. |
|n.1.Логарифм. |n.1. Поняття логарифма. |
|Даэться означення: Логарифмом числа|Дається означення: Корінь рівняння |
|b за основою а називається |[pic], де a>0, a[pic]1, називають |
|показник степеня, до якого слід |логарифмом числа N за основою а. |
|піднести основу а, щоб отримати |Логарифмом числа N за основою а |
|число b. |(a>0, a[pic]1) називається показник|
|Тут же зазначається, що формулу |степеня х, до якого треба піднести |
|[pic] ( де b>0, a[pic]1) називають |а, щоб дістати число N. |
|основною логарифмічною тотожністю. |Далі наводиться логарифмічна |
| |рівність [pic] і показникова |
| |рівність [pic] і зазначається, що |
| |ці рівності визначають одне і теж |
| |співвідношення. Наводяться три |
| |основні задачі: |
| |Знайти число N за даним його |
| |логарифмом b і за основою а. |
| |Знайти основу а за даним числом N і|
| |його логарифмом b. |
| |Знайти логарифм від даного числа N |
| |за данною основою а. |
| |Далі наводять приклади. |
| |n.2. Основна логарифмічна |
| |тотожність. |
| |Розглядається показникова рівність|
| |[pic](1). За означенням логарифма |
| |[pic](2), [pic](3). Рівність (3) |
| |називається основною логарифмічною |
| |тотожністю. |
|n.2. Основні властивості логарифма.|n.3. Основні властивості логарифма.|
| | |
|Для будь-яких a>0 (a(1) і будь-яких|Т.1. Логарифм добутку двох додатних|
|додатніх х і у виконуються рівності|множників дорівнює сумі їх |
| |логарифмів, тобто [pic] де [pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |Т.2. Логарифм частки двох додатних |
|[pic] |чисел (дробу) дорівнює різниці |
|[pic] |логарифмів діленого і дільника |
|[pic] |(чисельника і знаменника), тобто |
|Далі наводиться формула переходу |[pic], де [pic] [pic] |
|від однієї основи логарифма до |Наслідок: Логарифм дробу, чисельник|
|іншої [pic] |якого дорівнює одиниці, дорівнює |
|Далі дається означення десяткового |логарифму знаменника взятого з |
|логарифма на описовому рівні: |протилежним знаком. |
|Десятковим називається логарифм за |Т.3. Логарифм степеня додатного |
|основою10 і позначається [pic]. Але|числа дорівнює показнику степеня, |
|більш конкретно на десяткових |помноженому на логарифм основи |
|логарифмах не зупиняються. |цього степеня, тобто [pic], де m - |
| |будь-яке число, [pic] |
| |Т.4. Логарифм кореня з додатного |
| |числа дорівнює логарифму |
| |підкореневого виразу, поділеного на|
| |показник кореня, тобто [pic] |
| |5. [pic] |
| |[pic] |
| |Всі властивості доводяться. |
| |n.4. Деякі важливі тотожності, що |
| |містять логарифми. |
| |[pic] |
| |[pic] |
| |[pic] |
| |Всі тотожності доводяться. |
| |n.5. Потенціювання |
| |Перетворення за допомогою якого за |
| |даним логарифмом числа (виразу) |
| |визначають саме число (вираз), |
| |називають потенціюванням. |
| |n.6. Перехід від однієї основи |
| |логарифма до іншої. |
| |Вводиться формула [pic] |
| |n.7. Натуральні логарифми з основою|
| |е називають натуральним, або |
| |неперовим. [pic] |
|(2 Логарифмічна функція |(2 Логарифмічна функція |
|Функція задана формулою [pic], |n.1. Поняття логарифмічної функції:|
|називається логарифмічною з основою| |
|а. |Функцію [pic], називають |
|Перечисляють основні властивості |логарифмічною функцією за основою а|
|цієї функції. Властивості |(a>0 ,a(1). Зазначається, що графік|
|аналогічні до перших трьох |функції [pic] можна дістати з |
|властивостей логарифмічної функції |графіка функції [pic], симетрично |
|наведені у підручнику Шкіля М.І. |відобразивши останній відносно |
|Далі зазначається, що графіки |прямої у=х. |
|показникової і логарифмічної, що | |
|мають однакову основу, симетричні |n.2. Властивості логарифмічної |
|відносно прямої у=х. Потім |функції. |
|розглядаються приклади застосування|Область визначення логарифмічної |
|властивостей логарифмічної функції.|функції множина всіх додатніх |
|На цьому вивчення теми логарифмічна|чисел. |
|функція в підручнику під редакцією |Область значень- множина всіх |
|Колмогорова закінчується. |дійсних чисел. |
| |Логарифмічна функція на всій |
| |області визначення R+ зростає, якщо|
| |a>1 і спадає, якщо 0 | |
