|
Реферат: Вычисление определённых интегралов (Программирование)
Министерство Образования Российской Федерации
Рязанская государственная радиотехническая академия
Кафедра вычислительной и прикладной математики.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ.
Пояснительная записка к курсовой работе по дисциплине «Информатика»
Выполнил: студент гр.
Проверил:
Никитин В.И.
Рязань, 2001г
Задание.
Составить программу вычисления определенного интеграла [pic]
с погрешностью не превышающей заданную величину [pic]. В программе
предусмотреть защиту от зацикливания итерационного процесса, подсчет и
вывод на печать числа итераций, за которое удается найти значение интеграла
с заданной погрешностью. Для проверки программы интегрирования вычислить
[pic]
Метод вычислений – Формула Гаусса.
|№ |f(x) |a |b |c |d |[pic] |
|1 |edx/2cos2(cx) |0 |( |0.9; 1; 1.05; |2.4; 2.5; 2.6|10-4 |
| | | | |1.1 | | |
|2 |(x ln(cdx))2 |1 |e |3; 3.2; 3.4; |0.5; 0.4; |10-3 |
| | | | |3.5 |0.85 | |
Содержание.
Задание. 1
Содержание. 2
Описание метода решения. 3
Блок-схема программы. 4
Текст программы и результаты счета. 5
Заключение. 7
Библиографический список. 7
Описание метода решения.
В формуле Гаусса на каждом интервале интегрирования значение функции
f(x) вычисляется не в равномерно распределенных по интервалу узлах, а в
абсциссах, выбранных из условия обеспечения минимума погрешности
интерполяции:
[pic]
где n- число интервалов интегрирования, m – число вычисляемых на каждом
интервале значений функции. [pic], [pic]– границы интервалов
интегрирования; [pic] и [pic]- коэффициенты значения которых определяются
величиной m. Для m=3 A1=5/9, A2=8/9, A3=5/9, [pic], t2=0, t3=-t1
Блок-схема программы.
Блок-схема1: Функция вычисления интеграла.
Блок-схема 2: Основная программа.
Текст программы и результаты счета.
program Kursovoy;
const A1=5/9; A2=8/9; t=-0.77459;{константы для взятия интеграла методом
Гаусса}
type func=function(x,c,d:real):real;{прототип функции от которой берется
интеграл}
var a,b,eps:real;{пределы интегрирования и точность вычисления}
c:array[1..4] of real;{параметры функции, от которой берется интеграл}
d:array[1..5] of real;{взяты из таблицы 2}
function f_test(x,c,d:real):real;{тестовая функция sin(x)}
begin{интеграл от 0 до пи теоретически равен 2}
f_test:=sin(x);
end;
function f1(x,c,d:real):real;{первая функция из таблицы 2}
begin
f1:=exp(d*x/2)*sqr(cos(c*x));
end;
function f2(x,c,d:real):real;{вторая функция из таблицы 2}
begin
f2:=sqr(x*ln(c*d*x));
end;
{Функция взятия интеграла от функции f, прототип(вид) которой описан в типе
func
a,b- пределы интегрирования, cm,dm-параметры c и d функции f, eps
-точность вычислений
k-число итераций, за которые удалось найти интеграл }
function Integral(f:func;a,b,cm,dm,eps:real; var k:integer):real;
var S,z,h,c,d,l,x,x1,x2,x3:real;{S-текущее приближенное значение интеграла,
z-предыдуще приближенное значение интеграла,h-шаг интегрирования,
c,d,l,x,x1,x2,x3-вспомогательные переменные см. стр.25 методички}
i,n:integer;{i-счетчик цикла, n-число интервалов интегрирования}
begin
n:=1; S:=0; k:=0;
repeat
k:=k+1;{увеличиваем число итераций}
z:=S; {предыдущее значение интеграла равно текущему}
n:=n*2;{в два раза увеличиваем число интервалов интегрирования}
h:=(b-a)/n; x:=a; S:=0; c:=h/2; l:=c*t;{определение шага
интегрирования,
начального значения x, сам интеграл сначала равен 0,
вспомогательные переменные считаем }
for i:=0 to n-1 do{перебираем все интервалы интегрирования}
begin
d:=x+c; x1:=d-l;x2:=d; x3:=d+l;{вычисляем значения абцисс узлов,
выбранных из условия обеспечения минимума погрешности интерполяции}
S:=S+A1*(f(x1,cm,dm)+f(x3,cm,dm))+A2*f(x2,cm,dm);{добавляем к сумме}
x:=x+h;{переходим на новый интервал интегрирования}
end;
S:=S*c;{умножаем полученную сумму на h/2}
until (abs(z-S)=14);{выходим из цикла,
если относительная погрешность предыдущего и текущего интегралов меньше
заданной точности
или если число итераций превысило допустимое}
Integral:=S;{возвращаем значение полученного интергала}
end;
var i,j,n:integer;
begin
{вычисляем значение проверочного интеграла, передавая в функцию Integral
имя вычисляемой функции
в данном случае f_test, интервал интегрирования a=0 b=3.14159
cm=0 dm=0(последние два параметра в данном случае могут быть любыми,т.к.
f_test от них не зависит)
eps=1e-3(точность), в параметр n, по выходе из функции вычисления
интеграла будет записано число итераций}
writeln('Проверочный интеграл от 0 до пи sin(x)dx
=',Integral(f_test,0,3.14159,0,0,1e-3,n):7:5,
' ',n,' итераций');
c[1]:=0.9; c[2]:=1; c[3]:=1.05; c[4]:=1.1;{ввод параметров для первой
функции}
d[1]:=2.4; d[2]:=2.5; d[3]:=2.6; eps:=1e-4;
a:=0; b:=3.14159;
writeln('Интеграл от ',a:1:0,' до ',b:5:3,' функции f1 ','с
точностью',eps:5,' при:');
for i:=1 to 4 do{перебираем параметр с}
for j:=1 to 3 do{перебираем параметр d}
begin
{вычисляем значение первого интеграла, передавая в функцию Integral имя
вычисляемой функции
в данном случае f1, интервал интегрирования a=0 b=3.14159
cm=c[i] dm=d[i](последние два параметра перебираются в цикле и не равны
0, т.к. f1 от них зависит)
eps=1e-4(точность), в параметр n, по выходе из функции вычисления
интеграла будет записано число итераций}
writeln('с=',c[i]:4:2,' d=',d[j]:4:2,' равен
',Integral(f1,a,b,c[i],d[j],eps,n):8:5, ' ',n, ' итераций');
end;
readln;{ожидаем нажатия клавиши enter, иначе все выводимые данные не
поместятся на один экран}
c[1]:=3; c[2]:=3.2; c[3]:=3.4; c[4]:=3.5;{ввод параметров для первой
функции}
d[1]:=0.5; d[2]:=0.4; d[3]:=0.85; eps:=1e-3;
a:=1; b:=exp(1);{b=e}
writeln('Интеграл от ',a:1:0,' до ',b:5:3,' функции f2 ','с
точностью',eps:5,' при:');
for i:=1 to 4 do{перебираем параметр с}
for j:=1 to 3 do{перебираем параметр d}
begin
{вычисляем значение второго интеграла, передавая в функцию Integral имя
вычисляемой функции
в данном случае f2, интервал интегрирования a=1 b=e
cm=c[i] dm=d[i](последние два параметра перебираются в цикле и не равны
0, т.к. f2 от них зависит)
eps=1e-3(точность), в параметр n, по выходе из функции вычисления
интеграла будет записано число итераций}
writeln('с=',c[i]:4:2,' d=',d[j]:4:2,' равен
',Integral(f2,a,b,c[i],d[j],eps,n):8:5, ' ',n, ' итераций');
end;
end.
Результаты счета.
Проверочный интеграл от 0 до пи sin(x)dx =2.00000 2 итераций
Интеграл от 0 до 3.142 функции f1 с точностью 1.0E-0004 при:
с=0.90 d=2.40 равен 17.12437 3 итераций
с=0.90 d=2.50 равен 19.52435 3 итераций
с=0.90 d=2.60 равен 22.28654 3 итераций
с=1.00 d=2.40 равен 22.33040 2 итераций
с=1.00 d=2.50 равен 25.49172 2 итераций
с=1.00 d=2.60 равен 29.12609 3 итераций
с=1.05 d=2.40 равен 24.19102 3 итераций
с=1.05 d=2.50 равен 27.60541 3 итераций
с=1.05 d=2.60 равен 31.52694 3 итераций
с=1.10 d=2.40 равен 25.37969 3 итераций
с=1.10 d=2.50 равен 28.93760 3 итераций
с=1.10 d=2.60 равен 33.01928 3 итераций
Интеграл от 1 до 2.718 функции f2 с точностью 1.0E-0003 при:
с=3.00 d=0.50 равен 8.40102 2 итераций
с=3.00 d=0.40 равен 5.52503 2 итераций
с=3.00 d=0.85 равен 17.78460 2 итераций
с=3.20 d=0.50 равен 9.35094 2 итераций
с=3.20 d=0.40 равен 6.29171 2 итераций
с=3.20 d=0.85 равен 19.17026 2 итераций
с=3.40 d=0.50 равен 10.29153 2 итераций
с=3.40 d=0.40 равен 7.06018 2 итераций
с=3.40 d=0.85 равен 20.52016 2 итераций
с=3.50 d=0.50 равен 10.75780 2 итераций
с=3.50 d=0.40 равен 7.44414 2 итераций
с=3.50 d=0.85 равен 21.18214 2 итераций
Заключение.
В данной курсовой работе вычислялись определенные интегралы методом
Гаусса. Как видно из полученных результатов, программа работает верно, т.к.
теоретически [pic]=2, что совпадает с расчетным, обеспечивает заданную
точность вычислений, при малом числе итераций. К достоинствам данного
метода вычисления функций стоит отнести, то что метод Гаусса обеспечивает
точное вычисление интеграла от полинома степени 2m-1. К недостаткам следует
отнести относительно большое время расчета интеграла, при больших m.
Библиографический список.
1. Решение уравнений и численное интегрирование на ЭВМ: Методические
указания к курсовой работе по дисциплине «Информатика». Рязань,2000г. 32
c.
2. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и
учащихся втузов. М.:1986 544с.
3. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.:1975.
-----------------------
Выход
j
Вывод S, n
Приближенное вычисление второго интеграла S
j=1,3
i=1,4
c[1]:=0.9; c[2]:=1; c[3]:=1.05; c[4]:=1.1; d[1]:=2.4; d[2]:=2.5;
d[3]:=2.6; eps:=1e-4;
a:=0; b:=3.14159;
c[1]:=0.9; c[2]:=1; c[3]:=1.05; c[4]:=1.1; d[1]:=2.4; d[2]:=2.5;
d[3]:=2.6; eps:=1e-4;
a:=0; b:=3.14159;
i
Приближенное вычисление первого интеграла S
Вывод S, n
i
j
j=1,3
i=1,4
Вывод S
S=[pic]
Вход
S=S*c
d=x+c; x1=d-l; x2=d; x3=d+l;
S=S+A1*(f(x1,cm,dm)+f(x3,cm,cd))+A2*(f(x2,cm,dm))
x=x+h
i=0,n-1
i
Выход(S,k)
НЕТ
ДА
|z-S|< (|S| or
k>=14
k=k+1;z=S; n=n*2; h=(b-a)/n; x=a; S=0; c=h/2; l=c*t
n=1; S=0; k=0;
Вход(f,a,b,cm,dm, ()
Реферат на тему: Вычисления площади произвольного многоугольника
АННОТАЦИЯ
В курсовом проекте решается задача вычисления площади произвольного
многоугольника итерационным алгоритмом.
ЗАДАНИЕ.
Многоугольник (не обязательно выпуклый) задан на плоскости
пересечением координат вершин в порядке обхода его границ. Определить
площадь многоугольника.
СОДЕРЖАНИЕ
Аннотация
Задание на выполнение курсового проекта
Содержание
Введение
1 Разработка программной реализации
2 Проверка на контрольных примерах
3 Заключение
Приложение 1. Блок-схема.
Приложение 2. Программа.
ВВЕДЕНИЕ
Системы, подобные представленной, часто можно встретить в повседневной
жизни.
Данная задача не имеет аналитического решения. В геометрии существуют
формулы, позволяющие вычислять площади правильных многоугольников, но для
произвольных многоугольников таких формул нет. Решение задачи можно
получить численными методами. Рассмотрим два из них.
1. Площадь произвольной фигуры можно вычислить методом Монте-Карло.
Фигура вписывается в другую фигуру с известной площадью. Случайным
образом на последнюю ставятся произвольное количество точек. Площадь
определяется по формуле [pic], где Nф – количество точек попавших в
заданную фигуру, N – общее количество точек. Достоинство данного
метода заключается в простоте реализации, сложность состоит только в
определении попадания точки внутрь заданной фигуры. Очевидно, что
точность вычисленной площади зависит от количества точек. Приемлемая
точность может быть достигнута только при большом их количестве. В
этом заключается один из недостатков метода. Точность также сильно
зависит от качества генератора случайных чисел.
2. Из курса геометрии известно, что любой многоугольник можно разбить
на несколько треугольников, соединяя отрезками несмежные вершины.
Площадь многоугольника при этом будет равна сумме площадей
полученных треугольников. В этом заключается второй метод
определения площади. Площадь треугольника по заданным вершинам легко
определяется по аналитическим формулам, поэтому этот метод позволяет
получить большую точность при меньших затратах вычислительных
ресурсов.
РАЗРАБОТКА ПРОГРАММНОЙ МОДЕЛИ.
Решение задачи будем производить, разбивая одну большую и трудную
задачу на несколько небольших и несложных.
В черновом виде данный алгоритм можно представить в следующем виде:
1. Ввод вершин
2. Предварительная обработка
3. Пока количество вершин больше трех повторяем:
. Найти выпуклую вершин, т.е. вершину, внутренний угол которой меньше
1800. Например на рисунке вершины 1,3,4,5 являются выпуклыми.
. Отрезаем треугольник образованный этой вершиной и двумя смежными.
4. Площадь многоугольника будет равна сумме площадей отрезанных
треугольников и площади оставшегося (при выходе из цикла) треугольника.
Рассмотрим все пункты алгоритма.
1) Ввод данных. Данные будем хранить в текстовом файле ,каждая первая
строка которого содержит количество вершин, а последующие – пары
координат (X,Y), разделенных пробелом. Координаты вершин и внутренние
углы будем хранить в структуре типа:
sd: array[1..100] of
record
x,y: real;
angle: real;
end;
А количество вершин в глобальной переменной n.
Следующая процедура осуществляет ввод данных:
procedure input;
var f: text;
i: integer;
begin
Assign(f,'points.dat');
reset(f);
readln(f, n);
for i:=1 to n do readln(f, sd[i].x, sd[i].y);
end;
2) Предварительная обработка.
В данном пункте алгоритма осуществляется вычисление внутренних углов
многоугольника.
Рассмотрим часть произвольного многоугольника:
Пусть вектор A образует с ось OX угол (1, а вектор B – угол (2. Тогда
угол между ними (внутренний угол многоугольника) будет равен
180–(1–(2. Здесь нельзя использовать формулу угла между векторами
через скалярное произведение, т.к таким образом вычисляется
минимальный угол. Но при этом возможен такой случай:
Угол будет внешним.
Так вычислим либо все внутренние, либо все внешние углы
многоугольника. Чтобы выяснить какие углы мы нашли, рассмотрим
следующую теорему:
Сумма внешних углов произвольного многоугольника больше суммы
внутренних.
Доказательство проведем по индукции:
1) Очевидно, что теорема справедлива для треугольника
2) Предположим, что теорема справедлива для k-угольника
3) Докажем теперь, что теорема справедлива для (k+1)-угольника.
Пусть сумма внутренних углов k-угольника равна (1, а внешних (2.
Из п.2 следует, что (1 | |
