|
Реферат: Нестандартный анализ (Математика)
Нестандартный анализ возник в 1960 году, когда Абрахам Робинсон,
специалист по теории моделей, понял, каким образом методы математической
логики позволяют оправдать классиков математического анализа XVII и XVIII
вв., поставив на строгую основу их рассуждения, использующие “бесконечно
большие” и бесконечно малые величины. Таким образом, речь шла не о каких-то
новых “нестандартных” методах, не имеющих ничего общего с традиционной
математикой, а о развитии новых средств внутри стандартной (теоретико-
множественной) математики.
Нестандартный анализ остался бы любопытным курьезом, если бы
единственным его приложением было обоснование рассуждений классиков
математического анализа. Он оказался полезным и при развитии новых
математических теорий. Нестандартный анализ можно сравнить с мостом,
переброшенным через реку. Постройка моста не расширяет доступной нам
территории, но сокращает путь с одного берега на другой. Подобным образом
нестандартный анализ делает доказательства многих теорем короче.
Однако, быть может, главное значение нестандартного анализа состоит в
другом. Язык нестандартного анализа оказался удобным средством построения
математических моделей физических явлений. Идеи и методы нестандартного
анализа могут стать важной частью будущей физической картины мира. Во
всяком случае уже сейчас многие специалисты по математической физике
активно используют нестандартный анализ в своей работе.
Несколько примеров нестандартного анализа:
Пример 1. Вычислим производную функции [pic]. Дадим аргументу x
приращение dx, перейдя от точки x к точке x+dx. Выясним, насколько при
этом изменилось значение функции[pic]. В точке х оно равнялось [pic] . В
точке [pic] оно равняется [pic][pic][pic]. Таким образом, оно изменилось
на [pic] . Отношение приращения[pic] [pic] функции [pic] к приращению
[pic]аргумента[pic] равно
[pic][pic]
Если [pic][pic]бесконечно мало, то членом [pic] в сумме [pic] можно
пренебречь, и искомая производная равна [pic].
Пример 2. Вычислим аналогичным способом производную функции
[pic][pic]. Приращение [pic]равно [pic][pic]; частное [pic][pic]равно[pic]
[pic].
[pic]Взяв [pic]бесконечно малым, получаем, что производная равна
[pic].
Пример 5. Построение неизмеримого множества. Каждое действительное
число [pic], удовлетворяющее неравенству [pic],разлагаем в бесконечную
двоичную дробь; для обеспечения однозначности запрещаем разложения с
бесконечным числом идущих подряд единиц. Фиксируем произвольное бесконечно
большое натуральное число[pic] и отбираем те действительные числа , у
которых [pic]-й член разложения равен единице; множество всех отобранных
таким образом действительных чисел неизмеримо по Лебегу.
Если примеры 1 и 2 хотя и могут шокировать нас наивной нестрогостью,
но всё же в известной мере соответствуют интуиции, то пример 5
представляется просто-напросто абракадаброй.
Нестандартный анализ, однако, почти сплошь состоит из подобной
абракадабры, имеющей в нём точный математический смысл. Он позволяет, в
частности, с новой точки зрения посмотреть на многие рассуждения классиков
математического анализа, кажущиеся нестрогими, но приводящие к успеху, и
путём относительно небольших уточнений сделать их удовлетворяющими
современным критериям строгости.
ЧТО ТАКОЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ?
Один из наиболее принципиальных моментов нестандартного анализа
состоит в том, что бесконечно малые рассматриваются не как переменные
величины, а как величины постоянные. Достаточно раскрыть любой учебник
физики, чтобы натолкнуться на бесконечно малые приращения, бесконечно малые
объёмы и т. п. Все эти величины мыслятся, разумеется, не как переменные, а
просто как очень маленькие, почти равные нулю.
Итак, речь будет идти о бесконечно малых числах. Какое число следует
называть бесконечно малым? Предположим, что это положительное число[pic],
если оно меньше всех положительных чисел. Легко понять , что такого не
бывает: если [pic] больше нуля , то оно является одним из положительных
чисел , поэтому наше определение требует , чтобы число [pic] было меньше
самого себя. Поэтому потребуем, чтобы [pic] было наименьшим в множестве
положительных чисел. На числовой оси такое [pic] должно изобразиться самой
левой точкой множества [pic]. К сожалению числа [pic] с указанными
свойствами тоже нет и быть не может: число [pic] будет положительным
числом, меньшим [pic] .
Более точное определение бесконечной малости числа [pic]>0 [pic],
которое мы будем использовать в[pic]дальнейшем таково. Будем складывать
число [pic] с самим собой, получая числа [pic]+[pic] и т. д. Если все
полученные числа окажутся меньше 1, то число [pic]и будет называться
бесконечно малым. Другими словами, если [pic] бесконечно мало, то сколько
раз не откладывай отрезок длины [pic] вдоль отрезка длины 1, до конца не
дойдёшь. Наше требование к бесконечно малому [pic] можно переписать в такой
форме[pic]
1 | |
