|
Реферат: Некоторые характеристики и свойства микрообъектов (Физика)
1. Некоторые характеристики и свойства микрообъектов.
План
1. Некоторые характеристики и свойства микрообъектов.
а) Микрообъекты.
б) Спин микрообъекта.
в) Бозоны и фермионы.
г) Нестабильность микрообъектов.
д) Взаимопревращения микрообъектов.
е) Универсальные динамические переменные.
2. Две основополагающие идеи квантовой механики.
а) Идея квантования (дискретности) .
б) Идея квантования и модель атома водорода по Бору.
в) О квантовании момента импульса.
г) Противоречия квантовых переходов.
д) Идея корпускулярно-волнового дуализма.
е) Роль постоянной Планка.
Соотношения неопределенностей.
а) Идея дуализма и соотношения неопределенностей.
б) Смысл соотношений неопределенностей.
в) От явления дифракции микрообъектов к соотношениям неопределенностей.
г) Соотношения неопределенностей и состояния микрообъектов; понятие о
полном наборе физических величин.
д) Соотношения неопределенностей и квантовые переходы.
е) Соотношения неопределенностей “число фотонов – фаза” .
Некоторые результаты, вытекающие из соотношений неопределенностей.
а) Оценка энергии основного состояния атома водорода.
б) Оценка энергии нулевых колебаний осциллятора.
в) Оценка величины “размытия” края полосы оптического поглощения в эффекте
Франца-Келдыша.
г) Почему электрон не падает на ядро?
д) О “траектории” микрообъекта.
е) Возможность подбарьерного прохождения микрообъекта (туннельный эффект) .
Невозможность классической интерпретации микрообъекта.
а) Микрообъект не является классической корпускулой.
б) Микрообъект не является классической волной.
в) Попытки представить микрообъект как симбиоз корпускулы и волны.
г) Как следует понимать корпускулярно-волновой дуализм?
д) Электрон в атоме.
е) Микрообъект и окружающий его мир.
Микрообъекты. К микрообъектам относятся молекулы, атомные ядра,
элементарные частицы. Довольно богатый сегодня список элементарных частиц
включает в себя кванты электромагнитного поля (фотоны) и две группы частиц:
так называемые адроны и лептоны. Для адронов характерно сильное (ядерное)
взаимодействие, тогда как лептоны никогда не участвуют в сильных
взаимодействиях. К лептонам относятся электрон, мюон и два нейтрино –
электронное и мюонное. Группа адронов существенно многочисленнее. К ним
относятся нуклоны (протон и нейтрон) , мезоны (группа частиц, масса которых
меньше массы протона) и гипероны (группа частиц, масса которых больше массы
нейтрона) . Почти всем элементарным частицам соответствуют античастицы;
исключение составляет фотон и некоторые нейтральные мезоны.
Говоря о характеристиках микрообъектов, прежде всего говорят о массе покоя
и электрическом заряде. К примеру, масса электрона m=9,1. 10-28 г, протон
имеет массу, равную 1836m, нейтрон – 1839m, мюон – 207m. Относящиеся к
мезонам пионы (?-мезоны) имеют массу около 270m, а каоны (К-мезоны) – от
970m до 1750m. Массу покоя фотона и обоих нейтрино полагают равной нулю.
Масса молекулы, атома, ядра равна сумме масс составляющих данный
микрообъект частиц за вычетом некоторой величины, называемой дефектом
массы. Дефект массы равен деленной на квадрат скорости света энергии,
которую надо затратить для того, чтобы “развалить” микрообъект на
составляющие его частицы (эту энергию принято называть энергией связи) .
Чем сильнее связаны друг с другом частицы, тем больше дефект массы.
Наиболее сильно связаны нуклоны в атомных ядрах – приходящийся на один
нуклон дефект массы превышает 10m.
Величина электрического заряда любого микрообъекта кратна величине заряда
электрона; последняя равна 1,6. 10-19 Кл. Наряду с заряженными существуют
нейтральные микрообъекты (например, фотон, нейтрино, нейтрон) .
Электрический заряд сложного микрообъекта равен алгебраической сумме
зарядов составляющих его частиц.
Спин микрообъекта. Одной из важнейших специфических характеристик
микрообъекта является спин. Спин можно интерпретировать как своеобразный
момент импульса микрообъекта, не связанный с движением микрообъекта как
целого, неуничтожимый, не зависящий от внешних условий (его часто называют
внутренним моментом импульса микрообъекта) . Квадрат этого момента импульса
равен h2s(s+1) . Здесь s – определенное для данного микрообъекта целое или
полуцелое положительное число (именно это число и называют обычно спином) ,
h – универсальная физическая постоянная, играющая в квантовой механике
исключительно важную роль. Ее называют постоянной Планка; она равна 1,05.
10-34 Дж. с. Спин s фотона равен 1, спин электрона (как и спин любого
лептона) равен 1/2, спин нуклона тоже равен 1/2; у пионов и каонов спина
нет.
Спин микрообъекта – его специфическая характеристика. Он не имеет
классического аналога и, безусловно, указывает на “внутреннюю сложность”
микрообъекта. Правда, иногда с понятием спина пытаются сопоставить модель
объекта, вращающегося вокруг своей оси (само слово “спин” переводится как
“веретено” ) . Такая модель наглядна, но неверна. Во всяком случае ее
нельзя принимать буквально. Встречающийся в литературе термин “вращающийся
микрообъект” означает отнюдь не вращение микрообъекта, а лишь наличие у
него специфического внутреннего момента импульса. Для того, чтобы этот
момент “превратился” в классический момент импульса (и тем самым объект
действительно начал бы вращаться) , необходимо потребовать выполнение
условия s>>1 (много больше единицы) . Однако такое условие никогда не
выполняется.
Специфичность момента импульса микрообъекта проявляется, в частности в том,
что его проекция на любое фиксированное направление принимает дискретные
значения: hs, h(s-1) ,..., -hs – всего 2s+1 значений. Это означает, что
микрообъект может находится в 2s+1 спиновых состояниях. Следовательно,
наличие у микрообъекта спина приводит к появлению у него добавочной
(внутренней) степени свободы.
Бозоны и фермионы. Знание спина микрообъекта позволяет судить о характере
его поведения в коллективе себе подобных (иначе говоря, позволяет судить о
статистических свойствах микрообъекта) . Оказывается, что по своим
статистическим свойствам все микрообъекты в природе разделяются на две
группы: группа микрообъектов с целочисленным спином и группа микрообъектов
с полуцелым спином.
Микрообъекты первой группы способны “заселять” одно и тоже состояние в
неограниченном числе, причем тем выше, чем сильнее это состояние “заселено”
. О таких микрообъектах говорят, что они подчиняются статистике Бозе –
Эйнштейна; для краткости их называют просто бозонами. Микрообъекты второй
группы могут “заселять” состояния только поодиночке; если рассматриваемое
состояние занято, то никакой микрообъект данного типа не может попасть в
него. О таких микрообъектах говорят, что подчиняются статистике Ферми –
Дирака; для краткости их называют фермионами.
Из элементарных частиц к бозонам относятся фотоны и мезоны, а к фермионам –
лептоны (в частности электроны) , нуклоны, гипероны. Тот факт, что
электроны относятся к фермионам, отражен в хорошо известном принципе
запрета Паули.
Нестабильность микрообъектов. Все элементарные частицы, за исключением
фотона, электрона, протона и обоих нейтрино, нестабильны. Это означает, что
они самопроизвольно, без каких-либо внешних воздействий распадаются,
превращаясь в другие частицы. Например, нейтрон самопроизвольно распадается
на протон, электрон и электронное антинейтрино (n аp + e- + ?e) .
Невозможно предсказать, когда именно произойдет указанный распад того или
иного конкретного нейтрона; каждый конкретный акт распада случаен. Однако
если проследить за множеством актов, то обнаруживается закономерность
распада. Предположим, что в момент t=0 имеется No нейтронов (No >> 1) .
Тогда к моменту t останется N(t) = No=exp (- t/?) ??йтронов, где ? ?сть
некоторая постоянная характеристика для нейтрона. Ее называют “временем
жизни” нейтрона; она равна 1000 с. Величина exp (- t/?) определяет
вероятность для отдельного нейтрона не распасться по истечении времени t.
Каждая нестабильная элементарная частица характеризуется своим временем
жизни. Чем меньше время жизни, тем больше вероятность распада частицы.
Например, время жизни мюона составляет 2,2. 10-6 с, положительно
заряженного ?-мезона – 2,6. 10-8 с, нейтрального ?-мезона – 10-16 с,
гиперонов – около 10-10 с. В 70-х годах были обнаружены около 100 частиц с
очень малым временем жизни – 10-22 – 10-23 с, получивших название
резонансов. Примечательно, что гипероны и мезоны могут распадаться
различными способами. Например, положительно заряженный ?-мезон может
распадаться на мюон и мюонное нейтрино (?+ а?+ +??) , на позитрон
(антиэлектрон) и электронное нейтрино (?+ аe+ +?e) , на нейтральный ?-
мезон, позитрон и электронное нейтрино (?+ а?0+ +e+ +?e) . Для конкретного
?-мезона нельзя предсказать не только время распада, но и тот способ
распада, который данный мезон “выберет” .
Нестабильность присуща не только элементарным частицам, но и другим
микрообъектам. Явление радиоактивности (самопроизвольное превращение
изотопов одного химического элемента в изотопы другого, сопровождающееся
испусканием частиц) показывает, что нестабильными могут быть атомные ядра.
Атомы и молекулы в возбужденных состояниях также оказываются нестабильными:
они самопроизвольно переходят в основное или менее возбужденное состояние.
Определяемая вероятностными законами нестабильность есть, наряду с наличием
спина, второе сугубо специфическое свойство, присущее микрообъектам. Его
также можно рассматривать как указание на некую “внутреннюю сложность”
микрообъекта.
Однако нестабильность — это специфическое, но отнюдь не обязательное
свойство микрообъекта. Наряду с нестабильными существует много стабильных
микрообъектов: фотон, электрон, протон, нейтрино, стабильные атомные ядра,
а также атомы и молекулы в основном состоянии.
Взаимопревращения микрообъектов. Глядя на схему распада нейтрона (n аp +
e- + ?e) , можно предположить, что нейтрон состоит из связанных друг с
другом протона, электрона и электронного антинейтрино. Такое представление
ошибочно. Распад элементарной частицы отнюдь не является распадом в прямом
смысле слова; это акт превращения исходной частицы в некую совокупность
новых частиц: исходная частица уничтожается, новые частицы рождаются.
Несостоятельность буквального толкования термина “распад частицы”
становится очевидной, если учесть, что многие частицы имеют несколько
способов распада.
Картина взаимопревращений элементарных частиц оказывается существенно
богаче и сложнее, если рассматривать частицы не только в свободном, но
также и в связанном состоянии. Свободный протон стабилен, а свободный
нейтрон распадается на по приведенной выше схеме. Если же протон и нейтрон
не являются свободными, а связаны в атомном ядре, то ситуация изменяется.
Теперь имеют место следующие схемы взаимопревращений: n + ?- , p аn + ?+
(здесь ?- — отрицательно заряженный ?-мезон, являющийся античастицей по
отношению к ?+-мезону) . Эти схемы хорошо иллюстрируют беспредметность
выяснения того, входит ли протон в “состав” нейтрона или же, напротив,
нейтрон в “состав” протона.
Повседневный опыт учит: разобрать предмет на части – значит выяснить, из
чего он структурно состоит. Идея анализа (идея дробления) отражает
характерную сторону классических представлений. При переходе к
микрообъектам эта идея в определенной мере еще “работает” : молекула
состоит из атомов, атом состоит из ядра и электронов, ядро состоит из
протонов и нейтронов. Однако на этом указанная идея себя исчерпывает:
“дробление” , например, нейтрона или протона не выявляет никакой структуры
этих частиц. В отношении элементарных частиц нельзя утверждать: “распад
объекта на какие-либо части означает, что объект состоит из этих частей” .
Именно это обстоятельство может служить определением самого термина
“элементарная частица” .
Распады элементарных частиц далеко не исчерпывают всех происходящих
взаимопревращений частиц. Не менее богата картина взаимопревращений,
происходящих при столкновениях частиц. В качестве примера приведем
некоторые схемы взаимопревращений при столкновении фотонов (?) с протонами
и нейтронами: ?+pаn+ ?+, ?+n?p+ ?-, ?+p?p+ ?0, ?+n?n+ ?0, ?+p?p+ ?++ ?-,
?+n?n+ ?0+ +?0, ?+p?p+ p+ p (p – ?нтипротон) .
Полезно обратить внимание на то, что во всех приведенных здесь схемах сумма
масс покоя конечных частиц больше массы покоя исходных. Иначе говоря,
энергия сталкивающихся частиц превращается здесь в массу (согласно
известной формуле E=mc2) . Эти схемы демонстрируют, в частности,
бесплодность попыток расщепить элементарные частицы (в данном случае
нуклоны) , “обстреливая” их другими частицами (в данном случае фотонами) :
в действительности происходит не расщепление обстреливаемых частиц, но
рождение новых, причем в определенной мере за счет энергии сталкивающихся
частиц.
Исследование взаимопревращений элементарных частиц позволяет выяснить
определенные закономерности. Эти закономерности выражают в виде законов
сохранения неких величин, играющих роль определенных характеристик частиц.
В качестве простого примера укажем электрический заряд частицы. При любом
взаимопревращении частиц алгебраические суммы электрических зарядов
исходных и конечных частиц равны. Закон сохранения электрического заряда
отражает определенную закономерность взаимопревращений частиц: он позволяет
заведомо исключить из рассмотрения те схемы, где суммарный электрический
заряд частиц не сохраняется.
В качестве более сложного примера укажем так называемый барионный заряд
частицы. Было подмечено, что число нуклонов при превращениях частиц
сохраняется. С открытием антинуклонов обнаружили, что рождение
дополнительных нуклонов возможно, но обязательно в паре с антинуклонами.
Тогда была введена характеристика частицы – барионный заряд, равный нулю
для фотонов, лептонов и мезонов, единице – для нуклонов, минус единице –
для антинуклонов. Это позволило рассматривать замеченные закономерности как
закон сохранения суммарного барионного заряда частиц. Закон подтвердился
также последующими наблюдениями; при этом обнаруженным впоследствии
гиперонам пришлось приписать барионный заряд, равный единице (как и
нуклонам) , а антигиперонам – минус единице (как и антинуклонам) .
Универсальные динамические переменные. При переходе от макрообъектов к
микрообъектам следует ожидать качественно новых ответов на вопросы: какими
динамическими переменными описывается состояние объекта? как описывается
его движение? Ответы на эти вопросы в существенной мере раскрывают
специфику физики микрообъектов.
В классической физике используются законы сохранения энергии, импульса,
момента импульса. Как известно, эти законы являются следствиями
определенных свойств симметрии пространства и времени. Так, закон
сохранения энергии – следствие однородности времени (следствие
независимости протекания физических процессов от выбора того или иного
момента в качестве начала отсчета времени) ; закон сохранения импульса –
следствие однородности пространства (следствие того, что все точки в
пространстве физически равноправны) ; закон сохранения момента импульса –
следствие изотропности пространства (следствие того, что все направления в
пространстве физически равноправны) . Для пояснения свойств симметрии
пространства и времени заметим, что благодаря этим свойствам, например,
законы Кеплера для движения планет вокруг Солнца не зависят от положения
Солнца в галактике, от ориентации в пространстве плоскости движения
планеты, а также от того, в каком именно столетии открыты эти законы. Связь
между свойствами симметрии пространства и времени и соответствующими
законами сохранения означает, что энергия, импульс или момент могут
рассматриваться как интегралы движения, сохранение которых есть следствие
соответственно однородности времени, однородности и изоторопности
пространства.
Отсутствие каких-либо экспериментальных указаний на нарушения в
микроявлениях отмеченных свыше свойств симметрии пространства и времени
позволяет заключить, что такие динамические переменные, как энергия,
импульс, момент импульса, должны сохранять смысл и в применении к
микрообъектам. Иначе говоря, связь этих динамических переменных с
фундаментальными свойствами симметрии пространства и времени превращает их
в универсальные переменные, т.е. переменные, имеющие “хождение” при
рассмотрении самых различных явлений из самых разных областей физики.
Однако при переносе понятий энергии, импульса и момента импульса из
классической физики в квантовую механику необходимо учитывать специфику
микрообъектов. Вспомним в связи с этим известные выражения для энергии (Е)
, импульса (р) и момента импульса (М) классического объекта, имеющего массу
m, координату r, скорость v: Е = mv2/2 + U(r) , р = mv, M = m(r . v) .
Исключая скорость, получаем отсюда соотношения, связывающие энергию,
импульс и момент импульса классического объекта: E = p2/2m + U(r) , M = (r
. p) .
Если обратится к микрообъекту, то надо отметить, что вышеприведенные
соотношения здесь не годятся. Иначе говоря, привычные классические связи
между интегралами движения при переходе к микрообъектам становятся
непригодными. Это есть первое качественно новое обстоятельство.
Для рассмотрения других качественно новых обстоятельств необходимо
обратится к двум основополагающим идеям квантовой механики – идее
квантования физических величин и идее корпускулярно-волнового дуализма.
2. Две основополагающие идеи квантовой механики.
Идея квантования (дискретности) . Сущность идеи квантования состоит в
том, что некоторые физические величины, относящиеся к микрообъекту, могут в
соответствующих условиях принимать только какие-то вполне определенные,
дискретные значения. Об этих величинах говорят, что они квантуются.
Так, квантуется энергия любого микрообъекта, находящегося в связанном
состоянии, например энергия электрона в атоме. Энергия же свободно
движущегося микрообъекта не квантуется.
Предположим, что рассматривается энергия электрона в атоме. Дискретному
набору значений энергии электрона соответствует система так называемых
энергетических уровней. Рассмотрим два энергетических уровня: Е1 и Е2, как
показано на рисунке 1 (по вертикальной оси откладываются значения энергии
электрона) . Электрон может иметь энергию Е1 или энергию Е2 и не может Е2
иметь какую-либо “промежуточную” энергию –все значения энергии Е,
удовлетворяющие неравенствам Е1 < E < E2, для него запрещены.
Е1 рис. 1 Примечательно, что дискретность энергии отнюдь не означает, что
электрон “осужден” вечно находится в исходном энергетическом состоянии
(например, на уровне Е1) . Электрон может перейти на другой энергетический
уровень (уровень Е2 или какой-либо другой) , получив или испустив
соответствующее количество энергии. Такой переход называется квантовым
переходом.
Квантомеханическая идея дискретности имеет довольно длинную предысторию.
Еще в конце XIX в. Было установлено, что спектры излучения свободных атомов
являются линейчатыми (состоят из набора линий) , содержат определенные для
каждого элемента линии, которые образуют упорядоченные группы (серии) . В
1885 г. было обнаружено, что атомарный водород дает излучение с частотами
?n (речь идет о циклических частотах ?, связанные с обычными частотами ?
соотношением ? = 2??) , ??торые можно описать формулой ?n = 2?cR(1/4 -
1/n2) , где n – целые числа 3,4,5,... ; c – скорость света, R – постоянная
Ридберга (R=1,097 . 107 м-1) . Вышеприведенная формула установлена
Бальмером; поэтому принято называть совокупность частот, описываемую этой
формулой, серией Бальмера. Частоты серии Бальмера попадают в область
видимого спектра. Позднее (в начале XX в.) были открыты дополнительные
серии частот излучения атомарного водорода, попадающие в ультрафиолетовую и
инфракрасную части спектра. Закономерности в структуре этих серий оказались
тождественными с закономерностями в структуре серии Бальмера, что позволило
обобщить формулу, записав ее в виде ?n = 2?cR(1/k2 - 1/n2) .
Число k фиксирует серию, причем в каждой серии n>k; k=2 дает серию
Бальмера, k=1 – серию Лаймана (ультрафиолетовые частоты) ; k=3 – серию
Пашена (инфракрасные частоты) и т.д.
Закономерность в структуре серий была обнаружена не только в спектре
атомарного водорода, но также и в спектрах других атомов. Она определенно
указывала на возможность каких-то обобщений. В качестве такого обобщения
Ритц выдвинул в 1908 г. свой комбинационный принцип: “Если даны формулы
серий и известны входящие в них постоянные, то путем комбинации в виде сумм
и разностей можно новую открытую линию в спектре вывести из ранее
известных” . В применении к водороду этот принцип следует понимать так.
Составим для разных чисел n так называемые спектральные термы: T(n) =
2?cR/n2.
Тогда каждая наблюдаемая в спектре водорода частота может быть выражена в
виде комбинации каких-то двух спектральных термов. Комбинируя спектральные
термы, можно предсказывать различные частоты.
Примечательно, что в это же время идея дискретности прокладывала себе путь
еще в одном направлении (не имеющим отношения к спектроскопии атомов) .
Речь идет об облучении внутри замкнутого объема, или, иными словами, об
излучении абсолютно черного тела. Анализируя экспериментальные данные,
Планк в 1900 г. выдвинул знаменательную гипотезу. Он предположил, что
энергия электромагнитного излучения испускается стенками полости не
непрерывно, а порциями (квантами) , причем энергия одного кванта равна E =
h?, где ? – частота излучения, а h – некоторая универсальная постоянная
(так в физике появилась постоянная Планка) . Как известно, гипотеза Планка
обеспечила согласие теории с экспериментом и, в частности, устранила
неприятности, возникавшие в прежней теории при переходе к большим частотам
и известные под названием “ультрафиолетовой катастрофы” .
Идея квантования и модель атома водорода по Бору. В 1913 г. Бор предложил
теорию атома водорода. Эта теория возникла как результат “слияния”
планетарной модели атома Резерфорда, комбинационного принципа Ритца и идеи
квантования энергии Планка.
Согласно теории Бора, существуют состояния, находясь в которых атом не
излучает (стационарные состояния) ; энергия этих состояний образует
дискретный спектр: Е1, Е2,..., Еn,... Атом излучает (поглощает) , переходя
из одного стационарного состояния в другое; излучаемая (поглощаемая)
энергия есть разность энергий соответствующих стационарных состояний. Так,
при переходе из состояния с энергией Еn в состояние с меньшей энергией Еk
испускается квант излучения с энергией (Еn - Еk) , при этом в спектре атома
появляется линия с частотой ? = (Еn - Еk) / h.
Это формула отражает знаменитое правило частот Бора.
В теории Бора n-му стационарному состоянию атома водорода соответствует
круговая орбита радиуса rn, по которой электрон движется вокруг ядра. Для
вычисления rn Бор предложил воспользоваться, во-первых, вторым законом
Ньютона для заряда, движущегося по окружности под действием кулоновской
силы: mvn2 / rn = е2 / rn2
(здесь m и e – масса и заряд электрона, vn – скорость электрона на n-й
орбите) , и, во-вторых, условием квантования момента импульса электрона
mvnrn = nh.
Используя эти соотношения, легко найти rn и vn: rn = h2n2 / me2, vn = e2 /
hn.
Энергия Еn стационарного состояния состоит из кинетического (Тn) и
потенциального (Un) слагаемых: Еn = Тn + Un. Полагая, что Тn = mvn2 /2, Un
= = - е2 / rn и используя последние формулы, находим Еn = - me4 / 2h2n2.
Отрицательность энергии означает, что электрон находится в связанном
состоянии (за нуль принимается энергия свободного электрона) .
Подставив полученный результат в правило частот и сопоставив полученное при
этом выражение с формулой ?n = 2?cR(1/k2 - 1/n2) , можно, следуя Бору,
найти выражение для постоянной Ридберга: R = me4 / 4?ch3.
Теория Бора (или, как теперь принято говорить, “старая квантовая теория” )
страдала внутренними противоречиями; так, для определения радиуса орбиты
приходилось пользоваться соотношениями совершенно разной природы –
“классической” и “квантовой” . Тем не менее эта теория имела большое
значение как первый шаг в создании последовательной квантовой теории. При
этом впервые удалось объяснить природу спектральных термов (а
следовательно, и комбинационного принципа Ритца) и получить расчетное
значение постоянной Ридберга, которая соответствовала своему эмпирическому
значению. Успехи теории говорили о плодотворности идеи квантования.
Познакомившись с расчетами Бора, Зоммерфельд написал ему письмо, где в
частности писал: “Благодарю Вас за Вашу чрезвычайно интересную работу. Меня
давно занимает проблема выражения постоянной Ридберга при помощи величины
Планка. Хотя в данный момент я еще скептически отношусь к моделям атомов в
целом, тем не менее вычисление этой постоянной, бесспорно, является
настоящим подвигом.”
О квантовании момента импульса. Заметим, что в отличие от энергии момент
импульса микрообъекта квантуется всегда. Так, наблюдаемые значения квадрата
момента импульса микрообъекта выражаются формулой M2 = h2l (l + 1) , где l
– целые числа 0,1,2,... Если речь о моменте импульса электрона в атоме в n-
м стационарном состоянии, то число l принимает значения от нуля до n-1.
В литературе принято называть момент импульса микрообъекта для краткости
просто моментом.
Проекция момента микрообъекта на некоторое направление (обозначим его как z-
направление) принимает значения Mz = hm, где m=-l, -l+1,..., l-1, l. При
данном значении числа l число m принимает 2l+1 дискретных значений.
Подчеркнем, что различные проекции момента микрообъекта на одно и тоже
направление всегда отличаются друг от друга на величины, кратные постоянной
Планка.
Выше уже отмечалось, что спин есть своеобразный, “внутренний” момент
микрообъекта, имеющий для данного микрообъекта определенную величину. В
отличие от спинового момента, обычный момент принято называть орбитальным.
Кинематически спиновой момент аналогичен орбитальному; естественно, что для
нахождения возможных проекций спинового момента надо пользоваться формулой
типа Mz = hm (как и в случае орбитального момента, проекции спинового
момента отличаются друг от друга на величины, кратные постоянной Планка) .
Если s – спин микрообъекта, то проекция спинового момента принимает
значение h?, где ? = -s, -s+1,..., s-1, s. Так, проекция спина электрона
принимает значения -h/2 и h/2.
Рассматриваемые здесь числа n, l, m, ?, фиксирующие различные дискретные
значения квантующихся динамических переменных (в данном случае энергии и
момента) , принято называть квантовыми числами. Конкретно: n – так
называемое главное квантовое число, l – орбитальное квантовое число, m –
магнитное квантовое число, ? – спиновое квантовое число. Существуют и
другие квантовые числа.
Противоречия квантовых переходов. Несмотря на большой успех теории Бора,
идея квантования порождала первоначально серьезные сомнения; было
подмечено, что эта идея внутренне противоречива. Так, в письме к Бору
Резерфорд писал (в 1913 г.) : “Ваши мысли относительно причин возникновения
спектра водорода очень остроумны и представляются хорошо продуманными.
Однако сочетание идей Планка со старой механикой создает значительные
трудности для понимания того, что же все-таки является основой такого
рассмотрения. Я обнаружил серьезное затруднение в связи с Вашей гипотезой,
в котором Вы, без сомнения, полностью отдаете себе отчет. Оно состоит в
следующем: как может электрон знать, с какой частотой он должен колебаться,
переходя из одного стационарного состояние в другое? Мне кажется, что Вы
вынуждены предположить, что электрон знает заблаговременно, где он
собирается остановится” .
Поясним отмеченную Резерфордом трудность. Пусть электрон находится на
уровне Е1 (рис. 1) ; чтобы перейти на уровень Е2, электрон должен поглотить
квант излучения (т.е. фотон) с определенной энергией, равной Е2-Е1.
Поглощение фотона с любой другой энергией не может приводить к указанному
переходу и по этой причине оказывается невозможным (для простоты
рассматриваем только два уровня) . Возникает вопрос: каким же образом
электрон производит “выбор” “нужного” фотона из падающего потока фотона
разной энергии? Ведь, чтобы “выбрать” “нужный” фотон, электрон должен уже
“знать” о втором уровне, т.е. должен как бы уже побывать на нем. Однако,
чтобы побывать на втором уровне, электрон должен сначала поглотить “нужный”
фотон. Возникает замкнутый круг.
Дополнительные противоречие обнаруживаются при рассмотрении скачка
электрона с одной орбиты в атоме на другую. Сколь бы ни был быстр переход
электрона с орбиты одного радиуса на орбиту другого радиуса, в любом случае
он должен происходить в течении конечного промежутка времени. Но тогда
непонятно, чему должна равняться энергия электрона в течении этого
промежутка времени – ведь электрон уже не находится на орбите, которая
отвечает энергии Е1, и в то же время еще не прибыл на орбиту, которая
отвечает энергии Е2.
Неудивительно, что в свое время предпринимались попытки получить объяснение
экспериментальных результатов без привлечения идеи квантования. В этом
смысле показательно известное замечание Шредингера, вырвавшееся у него, что
называется, под горячую руку: “Если мы собираемся сохранить эти проклятые
квантовые скачки, то я жалею, что вообще имел дело с квантовой теорией!”
Однако опыт свидетельствовал в пользу квантования; ни для какой
альтернативы не оставалось места.
В подобной ситуации есть один выход: надо ввести какие-то новые идеи,
которые вместе с идеей дискретности образовывали бы непротиворечивую схему.
Такой новой физической идеей и явилась идея корпускулярно-волнового
дуализма.
Идея корпускулярно-волнового дуализма. Классическая физика знакомит с двумя
видами движения – корпускулярным и волновым. Для первого характерны
локализация объекта в пространстве и существование определенной траектории
его движения. Для второго характерно, напротив, делокализация в
пространстве; с волновым движением не сопоставляет никакого локализованного
объекта – это есть движение некоей среды. На уровне макроявлений
корпускулярное и волновое движение четко разграничены; одно дело – движение
брошенного камня, другое – движение волны, набегающей на прибрежный песок.
Эти привычные представления не могут быть перенесены в квантовую механику.
На уровне микроявлений указанное выше четкое разграничение между двумя
видами движения в существенной мере стирается – движение микрообъекта
характеризуется одновременно и волновыми и корпускулярными свойствами. Если
схематически рассматривать классические корпускулы и классические волны как
два предельных случая описания движения материи, то микрообъекты должны
занять в этой схеме место где-то посередине. Они не являются ни “чистыми”
(в классическом понимании) корпускулами, ни “чистыми” волнами – они
являются чем-то качественно иным. Можно сказать, что микрообъект в какой-то
мере похож на корпускулу, в какой-то мере – на волну, причем эта мера
зависит, в частности, от условий, в которых рассматривается микрообъект.
Если в классической физике корпускула и волна – две взаимоисключающие друг
друга противоположности (либо частица, либо волна) , то теперь, на уровне
микроявлений, эти противоположности объединяются в рамках единого
микрообъекта. Это обстоятельство и принято называть корпускулярно-волновым
дуализмом (“дуализм” означает двойственность) .
Первоначально идея дуализма была применена к электромагнитному излучению.
Еще в 1917г. Эйнштейн предложил рассматривать введенные Планком кванты
излучения как своеобразные частицы, обладающие не только определенной
энергией, но и определенным импульсом: E = h?, p = h? / c.
Позднее (с 1923 г.) эти частицы стали называть фотонами.
Весьма ярко корпускулярные свойства излучения проявились в эффекте Комптона
(1923 г.) . Пусть пучок рентгеновских лучей рассеивается на атомах
вещества. По классическим представлениям рассеянные лучи должны иметь ту же
длину волны, что и падающие. Однако опыт показал, что длина волны
рассеянных лучей больше начальной длины волны, причем разница в длинах волн
зависит от угла рассеяния. Эффект Комптона получил объяснение в
предположении, что пучок рентгеновских лучей ведет себя как поток фотонов,
которые испытывают упругие столкновения с электронами атомов, с выполнением
закона сохранения энергии и импульса для сталкивающихся частиц. При этом
достигалось не только качественное, но и количественное согласие с
экспериментом.
В 1924 г. де Бройль предложил распространить идею не только на излучение,
но и вообще на все микрообъекты. Конкретно, он предложил с каждым
микрообъектом связывать, с одной стороны, корпускулярные характеристики
(энергию Е и импульс р.) , а с другой стороны, волновые характеристики
(частоту ? и длину волны ?) . Взаимосвязь между характеристиками разного
типа осуществляются, по де Бройлю, через постоянную Планка h следующим
образом: E = h?, p = 2?h / ? (??орое из этих соотношений известно как
формула де Бройля) . Для фотонов эти соотношения выполняются автоматически,
если в формуле p = h? / c подставить ? = =2?c / ?. ??елость гипотезы де
Бройля состояла в том, что приведенные соотношения предполагались
выполняющимися для всех микрообъектов, в частности для таких, у которых
есть масса покоя и которые до этого ассоциировались с корпускулами.
Гипотеза де Бройля получила в 1927 г. подтверждение: была обнаружена
дифракция электронов. Исследуя прохождение электронов сквозь тонкие
пластинки, Дэвисон и Джермер (а также Тартаковский) обнаружили на экране
-детекторе характерные дифракционные кольца. Для “электронных” волн
кристаллическая решетка мишени сыграла роль дифракционной решетки.
Измерение расстояний между дифракционными кольцами для электронов заданной
энергии подтвердили формулу де Бройля.
В 1949 г. Фабрикант с сотрудниками поставили интересный опыт. Они
пропускали через дифракционное устройство крайне слабый электрический пучок
– промежуток времени между последовательными актами пропускания (между
двумя электронами) более чем в 10000 раз превышал время, необходимое для
прохождения электрона через устройство. Это давало уверенность, что на
поведение электрона не влияют другие электроны пучка. Опыт показал, что при
длительной экспозиции, позволяющей зарегистрировать на экране-детекторе
достаточно большое число электронов, возникала такая же дифракционная
картина, как и в случае обычных электронных пучков. Отсюда следовало, что
волновые свойства электронов нельзя объяснить как некий эффект коллектива
электронов; волновыми свойствами обладает каждый отдельно взятый электрон.
Роль постоянной Планка. Идея квантования вводит дискретность, а
дискретность требует определения меры. Роль такой меры играет постоянная
Планка. Можно сказать, что эта постоянная как бы определяет “границу” между
микроявлениями и макроявлениями. Используя постоянную Планка, а также массу
и заряд электрона, можно образовать следующую простейшую композицию,
обладающую размерностью длины: r1 = h2 / me2 = 0,53 . 10-8 см (заметим, что
r1 есть радиус первой орбиты в теории Бора) . В соответствии с этим
величина порядка 10-8 см может рассматриваться как пространственная
“граница” микроявлений. Именно таковы линейные размеры атомов.
Если бы при прочих равных условиях постоянная h была бы, например, в 100
раз больше, то “граница” микроявлений оказалась бы порядка 10-4 см. Это
означало бы, что микроявления были бы гораздо ближе к нам, к нашим
масштабам, атомы стали заметно крупнее. Иными словами, материя оказалась бы
более “крупнозернистой” и следовало бы при более крупных масштабах
пересматривать классические представления.
Как указывалось ранее, проекции момента микрообъекта отличаются друг от
друга на величины, кратные h. Следовательно, здесь постоянная Планка
является попросту шагом квантования. Если орбитальный момент много больше
h, то квантованием можно пренебречь; в этом случае переходим к
классическому моменту импульса. В отличие от орбитального спиновой момент
не может быть достаточно большим. Ясно, что здесь квантованием пренебречь
принципиально невозможно; именно поэтому спиновой момент и не имеет
классического аналога.
Постоянная Планка органически связана не только с идеей квантования, но
также и с идеей дуализма. Из формул E = h?, p = 2?h / ? ??дно, что эта
постоянная играет весьма важную роль – именно она осуществляет связь между
корпускулярными и волновыми характеристиками микрообъекта. Указанное
обстоятельство особенно хорошо видно, если переписать эти формулы в виде,
позволяющем учесть векторную природу импульса: E = h?, p = hk.
Здесь k – волновой вектор; его направление совпадает с направлением
распространения волны, а величина выражается через длину волны следующим
образом: k = 2? / ?. ? ?евые части равенств входят корпускулярные, а в
правые – волновые характеристики микрообъекта.
Итак, постоянная Планка играет в квантовой механике две основные роли –
служит мерой дискретности и связывает воедино корпускулярный и волновой
аспекты движения материи. Тот факт, что обе роли играет одна и та же
постоянная, косвенно указывает на внутреннее единство двух основополагающих
идей квантовой механики. Наличие в том или ином выражении постоянной Планка
является характерным признаком “квантомеханической природы” этого
выражения.
3. Соотношения неопределенностей.
Идея дуализма и соотношения неопределенностей. Рассмотрим совокупность
большого числа плоских волн (природа волн не существенна) ,
распространяющихся, например, вдоль оси x. Пусть частоты волн “разбросаны”
в некотором интервале ??, ? ?начения волнового вектора – в интервале ?kx.
Если наложить друг на друга все эти плоские волны, то в результате
получится волновое образование, ограниченное в пространстве, – так
называемый волновой пакет (рис. 2) . Размытие волнового пакета в
пространстве D x (?x) ? ?о времени (?t) определяется соотношениями: рис. 2
?? ?t > 1, ?kx ?x >1.
Эти соотношения хорошо известны в классической физике. Тот, кто знаком с
радиотехникой, знает, что для создания более локализованного сигнала надо
взять побольше плоских волн с разными частотами. Иначе говоря, чтобы
уменьшить ?x и ?t, надо увеличивать ?kx и ??.
Далее отвлечемся от волнового пакета и будем формально полагать, что
соотношения справедливы не только для классических волн, но также и для
волновых характеристик микрообъекта. Это предположение отнюдь не означает,
что в действительности мы моделируем микрообъект в виде некоего волнового
пакета. Если рассматривать величины kx и ? как волновые характеристики
микрообъекта, то нетрудно перейти к аналогичным выражениям для
корпускулярных характеристик микрообъекта (для его энергии и импульса) :
?E?t > h, ?px?x > h.
Эти соотношения были впервые введены Гейзенбергом в 1927 г. их принято
называть соотношениями неопределенностей.
Эти соотношения можно дополнить следующим соотношением неопределенностей:
?Mx??x > h, где ??x – неопределенность угловой координаты микрообъекта
(рассматривается поворот около оси х) , а ?Mx – неопределенность проекции
момента на ось х.
По аналогии могут быть записаны соотношения для других проекций импульса и
момента: ?py?y > h, ?pz?z > h, ?My??y > h, ?Mz??z > h.
Смысл соотношений неопределенностей. Обсудим соотношение ?px?x > h. Здесь
?x – неопределенность х-координаты микрообъекта, ?px – неопределенность х-
проекции его импульса. Чем меньше ?x, тем больше ?px, и наоборот. Если
микрообъект локализован в некоторой определенной точке х, то х-проекция его
импульса должна иметь сколь угодно большую неопределенность. Если,
напротив, микрообъект находится в состоянии с определенным значением px ,
то он должен быть делокализован по всей оси х.
Иногда соотношение неопределенностей трактуют так: нельзя измерить
координату и импульс микрообъекта с произвольно высокой точностью
одновременно; чем точнее измерена координата, тем менее точно должен быть
измерен импульс. Такая трактовка не очень удачна, так как из нее можно
вывести ложное заключение, что смысл соотношения сводится к ограничениям,
которые оно накладывает на процесс измерения. В этом случае можно
предположить, что микрообъект сам по себе имеет и какой-то импульс и какую-
то координату, но соотношение неопределенностей не позволяет нам измерить
их одновременно.
В действительности же здесь ситуация иная – просто сам микрообъект не может
иметь одновременно и определенную координату, и определенную
соответствующую проекцию импульса; если, например, он находится в состоянии
с определенным значением координаты, то в этом состоянии соответствующая
проекция его импульса оказывается менее определенной. Естественно, что
отсюда вытекает естественная невозможность совместного измерения координат
и импульсов микрообъектов. Это есть следствие специфики микрообъектов, а
отнюдь не какой-либо каприз природы, в силу которого будто бы не все
существующее познаваемо. Следовательно, смысл соотношений не в том, что оно
создает какие-то препятствия на пути познания микроявлений, а в том, что
оно отражает некоторые особенности объективных свойств микрообъектов.
Далее отдельно остановимся на соотношении ?E?t > h. ??ссмотрим несколько
отличающихся друг от друга, хотя и взаимно согласующихся толкования этого
соотношения. Предположим, что микрообъект нестабилен, пусть ?t – время его
жизни в рассматриваемом состоянии. Энергия микрообъекта в данном состоянии
должна иметь неопределенность ??, ??торая связана с временем жизни ?t
рассматриваемым соотношением. В частности, если состояние является
стационарным (?t сколь угодно велико) , то энергия микрообъекта будет точно
определенной (?Е = 0) .
Другое толкование соотношения связано с измерением, преследующем цель
выяснить, находится микрообъект на уровне Е1 или же на уровне Е2. Такое
измерение требует конечного времени Т, зависящего от расстояния между
уровнями (Е2-Е1) : (Е2-Е1) Т > h.
Нетрудно усмотреть связь между этими двумя трактовками. Чтобы разрешить
уровни Е1 и Е2, необходимо, очевидно, чтобы неопределенность энергии
микрообъекта ?Е не превышала расстояния между уровнями: ?Е < (Е2-Е1) . В то
же время длительность измерения Т не должна, очевидно, превышать время
жизни ?t микрообъекта на данном уровне: Т < ?t. Крайние условия, в которых
измерения еще возможны, следовательно, имеют вид ?E Е2-Е1, T ?t.
Соотношения неопределенностей показывают, каким образом следует
пользоваться понятиями энергии, импульса и момента импульса при переходе к
микрообъектам. Здесь обнаруживается весьма важная особенность физики
микрообъектов: энергия, импульс и момент микрообъекта имеют смысл, но с
ограничениями, налагаемыми соотношениями неопределенностей. Как писал
Гейзенберг, “мы не можем интерпретировать процессы в атомарной области так
же, как процессы большого масштаба. Если же мы пользуемся обычными
понятиями, то их применимость ограничивается так называемыми соотношениями
неопределенностей” .
Следует, однако, подчеркнуть, что соотношения неопределенностей отнюдь не
сводятся к указанному ограничению применимости классических понятий
координаты, импульса, энергии и т.д. было бы неправильно не замечать за
“негативным” содержанием соотношений неопределенностей значительного
“позитивного” содержания этих соотношений. Они являются рабочим
инструментом квантовой теории. Отражая специфику физики микрообъектов,
соотношения неопределенностей позволяют весьма простым путем получать
важные оценки.
От явления дифракции микрообъектов к соотношениям неопределенностей.
Рассмотренный путь получения соотношений неопределенностей может показаться
слишком формальным и малоубедительным. Существует разные способы вывода
соотношений неопределенностей. Один из таких способов основан на
рассмотрении явления дифракции микрообъектов.
Предположим (рис. 3) , что на пути строго параллельного пучка микрообъектов
с импульсом р поставлен экран с узкой щелью, ширина которой в направлении
оси х равна d (ось х перпендикулярна исходному направлению пучка) . При
прохождении микрообъектов через щель
Х происходит дифракция. Пусть ? – угол между исходным направлением на
первый ? (основной) дифракционный максимум.
d Классическая волновая теория дает, как известно, следующее соотношение
для этого угла: sin ? = ? / d. ??лагая угол ? достаточно малым, перепишем
указанное соотношение в виде ? ? / d.
Если под величиной ? понимать теперь не ??x длину классической волны, а
волны де Бройля (т.е. волновую характеристику микрообъекта) Р то можно
переписать это соотношение на “корпускулярном” языке: рис. 3 ? h / pd.
Однако как понимать на “корпускулярном” языке сам факт существования угла
?? Очевидно, этот факт означает, что при прохождении через щель микрообъект
приобретает некий импульс ?px в направлении оси х. Легко сообразить, что
?px p?. ??дставляя сюда последнее соотношение, получаем ?px h / d.
Рассматривая затем величину d как неопределенность ?х х-координаты
микрообъекта, проходящего через щель, находим отсюда ?px?v h, ?.е.
фактически приходим к соотношению неопределенностей ?px?x > h. Таким
образом, попытка в какой-то мере фиксировать координату микрообъекта в
направлении, перпендикулярном направлении его движения, приводит к
возникновению неопределенности импульса микрообъекта в указанном
направлении, чем и объясняется наблюдаемое на опыте явления дифракции.
Соотношения неопределенностей и состояния микрообъектов; понятие о полном
наборе физических величин. Для задания состояния классического объекта
надо, как известно, задать определенную совокупность чисел – координаты и
составляющие скорости. При этом, в частности, будут определены и другие
величины: энергия, импульс, момент импульса объекта. соотношения
неопределенностей показывают, что для микрообъектов такой способ задания
состояния неприемлем. Так, например, наличие у микрообъекта определенной
проекции импульса на данное направление означает, что положение
микрообъекта на указанном направлении не может быть предсказано однозначно:
согласно формуле ?px?x > h, соответствующая пространственная координата
характеризуется бесконечно большой неопределенностью. Электрон в атоме
имеет определенную энергию; при этом его координаты характеризуются
неопределенностью порядка линейных размеров атома, что, согласно той же
формуле, приводит к неопределенности проекций импульса электрона, равной
отношению постоянной Планка к линейному размеру атома.
Можно указать следующие принципиальные для квантовой механики положения,
вытекающие из соотношений неопределенностей: а) различные динамические
переменные микрообъекта объединяются в наборы одновременно определенных
(одновременно измеримых) величин, так называемые полные наборы величин; б)
различные состояния микрообъекта объединяются в группы состояний,
отвечающим разным полным наборам величин; каждая такая группа определяет
состояния микрообъекта, в которых объединены величины соответствующего
полного набора (принято говорить, что каждому полному набору соответствует
свой способ задания состояний) .
Укажем примеры полных наборов, используемых для задания состояний,
например, электрона и фотона. Каждый из наборов включает четыре величины (в
связи с этим говорят, что микрообъект имеет четыре степени свободы) . Для
описания состояний электрона используют следующие наборы: x, y, z, ?, ?px,
?py, ?pz, ?, E, l, m, ? (??помним, что l, m, ? – ?оответственно
орбитальное, магнитное и спиновое квантовые числа) . Подчеркнем, что
координаты и составляющие импульса микрообъекта (в данном случае электрона)
попадают в разные полные наборы величин; указанные физические величины
одновременно неизмеримы. Именно поэтому классические соотношения E = p2/2m
+ U(r) , M = (r . p) не работают при переходе к микрообъектам; ведь в
каждое из этих соотношений входит и координата, и импульс.
Второй из перечисленных наборов используют, в частности, для описания
состояний, свободно движущегося электрона; при этом оказывается
определенной также и энергия электрона: E = (px2 + py2 + pz2) / 2m. Третий
набор используют обычно для описания состояний электрона в атоме.
Для описания состояний фотона используют чаще всего следующие наборы: kx,
ky, kz, ?, E, M2, Mz, P.
Здесь kx, ky, kz – проекции волнового вектора излучения; ? – поляризация
фотона; M2 и Mz – соотвественно квадрат момента и проекция момента фотона;
P – квантовое число, называемое пространственной четностью. Заметим, что
коль скоро определены проекции волнового вектора излучения, то определены и
проекции импульса фотона. Поляризация фотона принимает два значения – в
полном значении с двумя независимыми поляризациями классической волны (так,
например, можно говорить о фотонах, имеющих правую эллиптическую
поляризацию) . Пространственная четность – специфическая характеристика
микрообъекта; она может рассматриваться как интеграл движения, сохранение
которого есть следствие симметрии по отношению к операции отражения в
зеркале. Четность может принимать два значения: Р = 1, -1.
Набор kx, ky, kz, ? ??пользуют для описания состояний фотонов, отвечающим
плоским классическим волнам; при этом оказывается определенной также
энергия фотона (Е = h?) . О состояниях, описываемых этим набором, говорят,
как о k?-состояниях. Набор E, M2, Mz, P ? ??пользуют для описания состояний
фотонов, отвечающим сферическим классическим волнам. Заметим, что подобно
тому, как сферическая волна может быть представлена в виде суперпозиции
плоских волн, состояние фотона, определяемое этим набором, может быть
представлено в виде “суперпозиции” состояний, определяемых набором kx, ky,
kz, ?. ??рно также и противоположное заключение – о представлении плоской
волны в виде суперпозиции сферических волн. Здесь мы коснулись одного из
наиболее важных и тонких аспектов квантомеханического описания материи –
специфики “взаимоотношений” состояний микрообъекта, описываемых разными
полными наборами. Эта специфика отражается в наиболее конструктивном
принципе квантовой механики – принципе суперпозиции состояний.
Соотношения неопределенностей и квантовые переходы. Указанное ранее
основное противоречие квантовых переходов фактически снимается, если
воспользоваться идеей дуализма, а, точнее, соотношениями неопределенностей.
Предположим, что рассматривается переход электрона в атоме с уровня Е1 на
уровень Е2 при поглощении фотона с энергией h? = Е2-Е1. Напомним, что
противоречие перехода было связано с выяснением вопроса о том, что именно
происходит сначала: поглощение фотона или переход электрона. легко видеть,
что теперь этот вопрос попросту теряет смысл. Действительно, если до и
после взаимодействия с излучением мы имеем связанный электрон с энергией
соответственно Е1 и Е2, то во время взаимодействия с излучением получаем
единую квантомеханическую систему, включающее в себя и электрон, и
излучение. Эта система существует конечное время (пока происходит
взаимодействие с излучением) и, согласно соотношению ?E?t > h, ?? может
иметь какой-либо определенной энергии. Поэтому нет смысла выяснять, что
именно в подробностях происходит в такой системе. Во время взаимодействия
электронов с фотонами нет, строго говоря, ни электронов, ни фотонов, а есть
нечто единое целое, которое и следует рассматривать как единое целое – без
уточнения деталей. Этот пример показывает, что в квантовой механике нельзя
бесконечно детализировать во времени физический процесс. Вопрос: что
происходит после чего? – не всегда можно ставить в отношении микроявлений.
Соотношение неопределенностей “число фотонов – фаза” . Используемые в
квантовой теории соотношение неопределенностей отнюдь не исчерпываются
вышеприведенными соотношениями. В качестве еще одного такого соотношения
укажем соотношения неопределенностей для числа фотонов и фазы волны.
Пусть имеется монохроматическое излучение частотой ?. С одной стороны, оно
может рассматриваться как коллектив фотонов, каждый из которых имеет
энергию h?; с другой стороны – как классическая электромагнитная волна.
Пусть N – число фотонов в рассматриваемом объеме, Ф = ?t – фаза
классической волны. Корпускулярная характеристика излучения (число фотонов
N) и волновая характеристика (фаза Ф) не могут иметь одновременно
определенные значения; существует соотношения неопределенностей ?N?? > 1.
Чтобы прийти к этому соотношению, будем исходить из соотношения
неопределенности для энергии и времени. Напомним, что для измерения энергии
квантового объема ?? ??до затратить время ?t > h / ?E. ??ли в качестве
квантового объекта рассматривается коллектив фотонов, то в этом случае ?E =
h?N?, ??е ?N – неопределенность числа фотонов. В течение времени ?t,
необходимого для измерения энергии объекта с точностью до h?N?, ??за Ф
объекта изменится на величину ?Ф = ??t. ??дставляя сюда соотношение ?t > h
/ h??N, ??ходим ?Ф > 1 / ?N, что и требовалось показать.
В соотношении ?N?? > 1 ?тразилось противоречивое единство корпускулярных и
волновых свойств излучения. Неопределенность ?Ф мала, когда ярко выражены
волновые свойства излучения; в этом случае велика плотность фотонов (велико
N) , а следовательно, и неопределенность ?N. С другой стороны,
неопределенность ?N мала, когда в коллективе мало фотонов; в этом случае
ярко выражены корпускулярные свойства излучения, поэтому велика
неопределенность ?Ф.
4. Некоторые результаты, вытекающие из соотношений неопределенностей.
Оценка энергии основного состояния атома водорода. Позволяя довольно
простым путем получать важные оценки, соотношения неопределенностей
оказываются полезным рабочим инструментом квантовой теории.
В качестве первого примера рассмотрим атом водорода в основном состоянии.
Воспользуемся известным классическим выражением для энергии заряженной
частицы, движущейся в кулоновском поле Е = p2 / 2m - e2 / r, где m и е –
соответственно масса и заряд электрона. чтобы использовать это классическое
выражение в квантовой теории, будем рассматривать величины р и r, входящего
в него, как неопределенности соответственно импульса и координаты
электрона. Согласно соотношению ?px?x > h, эти величины связаны друг с
другом. Положим pr h, или проще pr = h. Используя это равенство, исключим r
из формулы. Получим E(p) = p2 / 2m - e2p / h.
Легко убедится, что функция E(p) имеет минимум при некотором значении р=р1;
обозначим его через Е1. Величину Е1 можно рассматривать как оценку энергии
основного состояния атома водорода, а величину r1 = h / p1 – как оценку
линейных размеров атома. (в теории Бора это есть радиус первой орбиты) .
Приравнивая к нулю производную, находим р1 = me2 / h. Отсюда немедленно
получаем искомые оценки: r1 = h2 / me2, E1 = -me4 / 2h2.
Эти оценки полностью совпадают с результатами строгой теории. Конечно, к
такому полному совпадению надо относится в известной мере как к случайному
успеху. Всерьез здесь следует рассматривать лишь порядок величин.
Подчеркнем, что этот порядок, как мы видим, оценивается весьма просто:
достаточно заменить в классическом выражении точными значениями
динамических переменных величинами, характеризующими степень “размытия”
этих переменных, т.е. их неопределенностями, а затем воспользоваться
квантомеханическими соотношениями, связывающими указанные неопределенности.
Оценка энергии нулевых колебаний осциллятора. Будем действовать точно так
же, как и в предыдущем примере. Энергия классического одномерного
гармонического осциллятора описывается выражением E = px2 / 2m + m?2x2 / 2.
Рассматривая px и х как неопределенности импульса и координаты
осциллирующего микрообъекта и пользуясь в качестве соотношения
неопределенностей равенством pxх = h, получаем Е(px) = px2 / 2m + m?2h2 /
2px2 .
Приравнивая к нулю производную, находим величину р0 = m?h, ??и которой
функция Е(px) принимает минимальное значение. Легко убедится, что это
значение равно Е = Е(p0) = h?.
Этот результат весьма интересен. Он показывает, что в квантовой механике
энергия осциллятора не может обратиться в нуль; ее минимальное значение
оказывается порядка h?. Это есть так называемая энергия нулевых колебаний.
Учитывая существование нулевых колебаний, можно прийти, в частности, к
следующему интересному заключению: энергия колебательного движения атомов
кристалла не обращается в не обращается в нуль даже при температуре
абсолютного нуля.
Нулевые колебания иллюстрируют принципиальное общее обстоятельство: нельзя
реализовать микрообъект на “дне потенциальной ямы” , или, иначе говоря,
“микрообъект не может упасть на дно потенциальной ямы” . Этот вывод не
зависит от вида потенциальной ямы, так как является прямым следствием
соотношений неопределенности импульса; в этом случае неопределенность
координаты должна стать сколь угодно большой, что противоречит самому факту
пребывания микрообъекта в потенциальной яме.
Оценка величины “размытия” края полосы оптического поглощения в эффекте
Франца-Келдыша. Суть эффекта, исследованного в 1958 г. Келдышем и
независимо от него Францем, состоит в следующем 6 во внешнем однородном
электрическом поле минимум энергии электронов в зоне проводимости в
полупроводнике смещается вниз по энергетической шкале, что приводит к
“размытию” края основной полосы оптического поглощения (в результате
становится возможным поглощение фотонов, энергия которых меньше ширины
поглощенной зоны) . Характеризующая указанное “размытие” величина
энергетических смещения электронных состояний может быть оценена таким же
методом, каким были получены предыдущие оценки. Воспользуемся классическим
выражением для энергии заряженной частицы в электрическом поле
напряженностью ?: E = px2 / 2m - ?ex.
Здесь m – эффективная масса электрона в зоне проводимости. Рассматривая px
и x как неопределенности импульса и координаты электрона и пользуясь в
качестве соотношений неопределенностей равенством pxx = h, получаем E(px) =
px2 / 2m - ?eh / px.
Далее, как обычно, приравниваем к нулю производную и находим значение р0 =
- ?ehm, ??и котором функция Е(px) достигает минимума: Е0 = 3/2 (?eh) 2 / m
(?eh) 2 / m.
Это выражение как раз и дает оценку величины “размытия” края основной
полосы оптического поглощения в эффекте Франца-Келдыша.
Почему электрон не падает на ядро? Постулируя стационарные состояния,
теория Бора не объяснила, почему все-таки электрон, двигаясь ускоренно, не
излучает и не падает в результате на ядро. Соотношение ?px?x > h объясняет
это обстоятельство. Падение электрона на ядро означало бы, очевидно,
существенное уменьшение неопределенности его координаты: если до падения на
ядро электрон был локализован в пределах атома, т.е. в области
пространства, размеры которого порядка 10-8 см, то после падения на ядро
электрон должен будет локализоваться в области с линейными размерами меньше
10-12 см. Более сильная локализация, как мы знаем, микрообъекта в
пространстве связана с “размытием” его импульса, поэтому при падении на
ядро среднее значение импульса электрона должно возрасти, для чего
требуется затрата энергии. Получается, что нужно усилие отнюдь не для того,
чтобы “удержать” электрон от падения на ядро, а совсем наоборот – нужно
усилие, чтобы заставить электрон локализоваться в пределах ядра.
На примере нулевых колебаний осциллятора отмечалось, что микрообъект в
потенциальной яме всегда имеет отличную от нуля минимальную энергию Е0.
Величина Е0 зависит, в частности, от пространственных размеров ямы (от ее
ширины а, определяющей степень пространственной локализации микрообъекта) .
Учитывая соотношения неопределенностей, легко сообразить, что Е0 h2 / ma2.
Если а уменьшается, то Е0 растет. При достаточно малом а энергия Е0 может
стать больше глубины потенциальной ямы. Ясно, что в такой яме микрообъект
вообще не реализуется.
Падение электрона на ядро соответствует уменьшению ширины потенциальной ямы
от 10-8 до 10-12 см. При этом минимальная энергия должна возрастать – от 10
до 109 эВ (и больше) . В результате минимальная энергия электрона
оказывается на несколько порядков больше энергии связи нуклона в атомном
ядре. Это значит, что в ядерной потенциальной яме электрон вообще не
реализуется, так что никаким образом даже “насильно” нельзя его заставить
локализоваться в пределах ядра.
Тем самым не только снимается “проблема падения электрона на ядро” , но и
решается другой принципиальный вопрос: в состав атомного ядра электроны не
входят.
О “траектории” микрообъекта. Чтобы начертить траекторию некоей частицы,
надо, строго говоря, для каждого момента времени знать координату и импульс
частицы. Поскольку, согласно соотношению неопределенностей ?px?x > h,
микрообъект не может иметь и определенную координату, и определенную
соответствующую проекцию импульса, то отсюда следует вывод: понятие
траектории к микрообъекту, строго говоря, неприменимо.
Отказ от траектории связан с наличием у микрообъектов волновых свойств,
которые не позволяют рассматривать микрообъекты как классические
корпускулы. С перемещением микрообъекта вдоль оси х нельзя сопоставлять
дифференцируемую функцию х(t) , столь широко используемую в механике
классических объектов; по известному значению х в некоторый момент t нельзя
предсказать значение координаты микрообъекта в момент t+dt.
В применении к теории Бора означенное обстоятельство означает отказ от
самого понятия “орбита электрона в атоме” . Можно говорить о локализации
электрона в пределах атома в целом; орбита же требует существенно большей
пространственной локализации. К чему может привести такая локализация,
можно почувствовать, обратившись к рассмотренной выше проблеме “падения
электрона на ядро” . Планетарная модель атома оказалась таким образом, лишь
некоторым промежуточным этапом в процессе развития наших представлений об
атоме. Много позднее, в 50-е годы, сам Бор, смеясь, вспоминал, как после
одной из лекций вышел студент и спросил: “Неужели действительно были такие
идиоты, которые думали, что электрон вращается по орбите?”
Существуют, однако, ситуации, в которых понятием “траектория микрообъекта”
пользоваться все же допустимо. В качестве примера рассмотрим движение
электронов в кинескопе телевизоров. Импульс электрона вдоль оси трубки есть
р = 2meU, где U – ускоряющее напряжение. Формирование пучка электронов
означает определенную локализацию координаты в поперечном направлении;
степень этой локализации характеризуется диаметром пучка d. Согласно
соотношению ?px?x > h, должна существовать неопределенность импульса
электрона в направлении, перпендикулярном оси пучка: ?p h / d. В силу этой
неопределенности электрон может отклонится от оси пучка в пределах угла ??
?p / p h / pd. ??сть L – длина пути электрона в кинескопе; тогда
неопределенность положения точки попадания электрона на экран будет
характеризоваться величиной ?x L?? Lh / pd. ??лагая U=20 кВ, d=10-3 см,
L=100 см находим отсюда ?x 10-5 см. Таким образом, обусловленное
соотношением неопределенностей “размытие” точки попадания оказывается
значительно меньше диаметра пучка. Ясно, что в таких условиях движение
электрона можно рассматривать классически.
Возможность подбарьерного прохождения микрообъекта (туннельный эффект) .
Предположим, что имеется потенциальный барьер, высота которого U больше,
чем энергия частицы (рис. 4) . Поставим вопрос: может ли частица, находясь
где-то слева от барьера, оказаться через некоторое время справа от него при
условии, что она не получает энергии извне? Классическая механика дает
отрицательный ответ – классическая корпускула не A U может “пройти” под
барьером; если бы это случилось, E то, например в точке А полная энергия
частицы оказалась бы меньшей ее потенциальной энергии, что физически
абсур | |
