|
Реферат: Определение скорости точки по заданным уравнениям ее движения (Физика)
Министерство общего и профессионального образования
Российской Федерации
Иркутский государственный технический университет
Кафедра теоретической механики
КУРСОВАЯ РАБОТА
K.1 Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее
движения
Вариант 28
Выполнил студент
группы
Принял доцент кафедры теоретической
механики
Хазанов Д.В.
Иркутск 2001г.
Исходные данные: x= -4t2+1(см.); y= -3t (см.) , t=1с.
Решение:
x= -4t2+1
y= -3t ? t=y/(-3)
x=-4/9(y2)+1 ? траектория движения – парабола с вершиной в
точке с координатами (1;0)
|Y |±1 |±3 |±6 |
|x |0.56 |-3 |-15 |
В момент времени t = 1 c. тело находится в точке М (-3; -3).
VX=dx/dt=-8t=-8
VY=dy/dt=-3
VП= (VX)2+(VY)2 = 73 ? 8.54 см/с
a x=dVX/dt=-8
а y= dVY/dt=0
aП= (a x)2+(a y)2 =8 см/с2
a?=( a x ·VX + а y· VY)/ VП = (-64t) 73 ? -7.5 см/с2
an=| VX ·а y - VY · a x| / VП= 24 / 73 ? 2.81 см/с2
?= (VП)2 / an ? 26 см.
Результаты вычислений приведены в таблице.
|Координаты, |Скорость, см/с|Ускорение см/с2 |Радиус |
|см | | |кривизны|
| | | |, см |
|x |y |vx |vy |v |ax|ay |a |a? |an |? |
|-3 |-3 |-8 |-3 |8.54|-8|0 |8 |-7.5 |2.81 |26 |
-----------------------
???–??/???????????
[pic]
Реферат на тему: Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения
В.Кинетические Свойства
§ 6. КИНЕТИчЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ
Носители заряда в металле или полупроводнике могут подвергаться действию
внешних полей и градиентов температуры. Они также испытывают рассеяние на
примесях, колебаниях решетки и т. д. Эти эффекты должны быть сбалансированы
— нас интересуют такие ситуации, в которых электрон ускоряется полем, но
при рассеянии теряет избыточные энергию и импульс. В этой главе мы
рассмотрим «обычные» кинетические свойства, наблюдаемые при наложении
постоянных полей.
Общий метод решения этой задачи основан на кинетическом уравнении, или
уравнении Болъцмана. Мы рассматриваем функцию fk(r) — локальную
концентрацию носителей заряда в состоянии k в окрестности точки r. Строго
говоря, эту величину можно определить только в терминах мелкозернистых
распределений, средних по ансамблю, матриц плотности и т. д. Имеется
обширная литература по этому вопросу, но она относится скорее к формальному
аппарату квантовой статистической механики, чем к теории твердого тела.
Посмотрим теперь, какими способами функция fk(r) может изменяться во
времени. Возможны процессы трех типов:
1. Носители заряда приходят в область пространства вблизи точки r и
уходят из нее. Пусть vk — скорость носителя в состоянии k. Тогда в течение
интервала времени t носители заряда в этом состоянии пройдут путь tvk.
Следовательно, на основании теоремы Лиувилля об инвариантности фазового
объема системы число носителей в окрестности точки r в момент времени t
равно числу их в окрестности точки r – tvk в момент времени 0:
fk(r, t) = fk(r – tvk, 0).
(35)
Это означает, что скорость изменения функции распределения из-за
диффузии есть
(fk/(t]diff = – vk((fk/(r = – vk((fk.
(36)
2. Внешние поля вызывают изменение волнового вектора k каждого носителя,
согласно равенству
[pic]
(37)
Величину [pic] можно рассматривать как «скорость» носителя заряда в k-
пространстве, так что по аналогии с равенством (35) имеем
[pic]
(38)
следовательно, под действием полей функция распределения меняется со
скоростью
[pic] (39)
(мы использовали здесь обозначение (fk/(k для градиента в k-пространстве
— оператора (k).
3. Влияние процессов рассеяния оказывается более сложным. Мы ограничимся
здесь в основном упругим рассеянием. При этом функция fk меняется со
скоростью
(fk/(t]scatt = ?{ fk' (1 – fk) – fk (l – fk')}Q(k, k') dk'.
(40)
Процесс рассеяния из состояния k в состояние k' приводит к уменьшению
fk. Вероятность этого процесса зависит от величины fk — числа носителей в
состоянии k, и от разности (1 – fk') — числа свободных мест в конечном
состоянии. Имеется также обратный процесс, переход из k' в k, который ведет
к увеличению функции fk; он пропорционален величине fk'(1 – fk). Очевидно,
надо просуммировать по всевозможным состояниям k'. Для каждой пары значений
k и k' существует, однако, «собственная» вероятность перехода Q (k, k'),
равная скорости перехода в случае, когда состояние k полностью заполнено, а
состояние k' вакантно. Согласно принципу микроскопической обратимости, та
же функция дает и скорость перехода из k' в k, поэтому под интегралом
появляется общий множитель.
Кинетическое уравнение выражает следующее: для любой точки r и для
любого значения k полная скорость изменения функции fk(r) равна нулю, т. е.
(fk/(t]scatt + (fk/(t]field + (fk/(t]diff = 0.
(41)
Отметим, что здесь рассматривается стационарное, но не обязательно
равновесное состояние. Для последнего функция распределения обозначается
через f0k, оно осуществляется только в отсутствие полей и градиентов
температуры.
Допустим, однако, что рассматриваемое стационарное распределение не
слишком сильно отличается от равновесного.
Положим
gk = fk – f0k.
(42)
где
f0k = 1/{exp[(E k – ()/kT] + 1}
(43)
Здесь нужно проявить некоторую осторожность. Именно, как определить
функцию f0k в случае, когда температура зависит от координат? Будем
считать, что в каждой точке можно корректно определить локальную
температуру T(r), и положим
gk(r)=fk(r) – f0k{3T(r)}.
(44)
Если введение локальной температуры вызывает затруднения, можно
потребовать, чтобы окончательное решение удовлетворяло какому-либо
дополнительному условию, например
(gk(r)dk = 0.
(45)
Подставляя выражение (42) в кинетическое уравнение (41) и используя
равенства (7.2) и (7.5), получаем
– vk((fk /(r – e /?(E + 1/c[vk ( H]) ((fk /(k = – (fk /(t]scatt ,
(46)
или
– vk((fk /(T (T – e /?(E + 1/c[vk ( H]) (( f0k /(k = – (fk /(t]scatt +
vk((gk /(r + e /?(E + 1/c[vk ( H]) ((gk /(k. (47)
С помощью формулы (43) это уравнение можно переписать в виде
((f0 /(E)vk({( E (k) – () / T((T + e (E – 1/e((()} = – (fk /(t]scatt +
vk((gk /(r + e /?c[vk ( H] ((gk /(k. (48)
Это — линеаризованное уравнение Больцмана. В нем опущен член (E((gk /(k)
порядка E2, соответствующий отклонениям от закона Ома. Отброшен также член
vk [vk ( H], тождественно равный нулю; в левую часть уравнения магнитное
поле явно не входит.
Подставляя выражение (40) в уравнение (48), можно убедиться, что мы
получили линейное интегро-дифференциальное уравнение относительно «добавки»
gk(r) к функции распределения. Функция gk(r) определяется интенсивностью
электрического поля и величиной градиента температуры, входящими
в неоднородный член в левой части. Далее в этой главе мы будем отыскивать
решения кинетического уравнения для различных случаев в порядке увеличения
сложности.
§ 7. Электропроводность
Пусть на систему наложено только электрическое поле E, и в «бесконечной»
среде поддерживается постоянная температура. С учетом выражения (40)
получаем
(– (f0 /(E)vk(eE = – ((f0 /(t)]scatt = ((fk– fk()Q(k,k()dk(= ((gk–
gk()Q(k,k()dk( (49)
Это есть простое интегральное уравнение для неизвестной функции gk.
Вместо того чтобы, непосредственно решать его, сделаем
феноменологическое предположение:
– (fk /(t]scatt = gk/(
(50)
Тем самым мы вводим время релаксации (. При выключении поля любое
отклонение gk от равновесного распределения будет затухать по закону
– (gk /(t = gk/(,
(51)
или
gk(t) = gk(0)e – t / ( .
(52)
Подставляя определение (50) в уравнение (49), находим
gk = (– (f0 /(E) (vk(eE
(53)
Чтобы найти электропроводность, вычислим соответствующую плотность тока
[pic] (54)
Здесь при переходе от первой строки ко второй принято во внимание, что
(f0kevk(r)dk ( 0,
использованы также формулы для преобразования объемного интеграла в k-
пространстве в интеграл по изоэнергетическим поверхностям и по энергии.
В металле функция (– (f0 /(E) ведет себя как (-функция от (E – (),
поэтому остается только проинтегрировать по поверхности Ферми. Таким
образом,
[pic] (55)
Сравним это выражение с обычной макроскопической формулой
J = ((E,
(56)
где ( – тензор. Получим
[pic] (57)
Обычно имеют дело с кристаллами кубической симметрии,при этом тензор
электропроводности сводится к скаляру, помноженному на единичный тензор. В
случае, когда оба вектора E и J направлены по оси х, подынтегральное
выражение в (55) есть
(vk vk ( E) = v2xE,
(58)
что дает 1/3 вклада от квадрата скорости, v2E. Поэтому
[pic] (59)
где мы ввели длину свободного пробега
( = (v.
(60)
Это есть основная формула для электропроводности.
Интересно посмотреть (фиг. 97), как выглядит функция распределения fk,
заданная выражением (7.8). Как видно из равенства (53), функция gk велика
только вблизи поверхности Ферми.
[pic]
Фиг.97. а – смещенная поверхность Ферми; б – смещенное распределение
Ферми.
Небольшая добавка появляется с той стороны, где vk(eE>0, т. е. там, где
электроны ускоряются полем. Та же величина вычитается с противоположной
стороны.
Фактически по теореме Тейлора можно написать
[pic] (61)
Это выглядит так, как будто вся сфера Ферми сдвинулась в k-пpoстранстве
на величину (e(/?)E. Это несколько неверная интерпретация. В
действительности поле не действует на состояния вблизи дна зоны, в глубине
сферы Ферми. Из-за принципа Паули поле не может придать ускорения
электронам в таких состояниях; по этой же причине они не рассеиваются
примесью.
Отметим, однако, что электропроводность не зависит от температуры (если
не считать возможной температурной зависимости (). Эта же формула
справедлива при T = 0, когда распределение Ферми имеет совершенно четкую
границу. Можно сказать, что электропроводность выражается через смещение
жесткой поверхности Ферми.
Заметим также, что выражение (61) можно представить в виде
fk = f0(Ek + e(vkE),
(62)
как будто к энергии электрона в состоянии k добавилась величина
(Ek = e(vkE.
(63)
Это в точности соответствует классической ситуации, которая имела бы
место, если бы электрон со скоростью vk двигался в поле E в течение
интервала времени (. Это замечание лежит в основе кинетического метода
решения подобных задач. Добавочная энергия, приобретаемая в промежутках
между столкновениями с примесями, соответствует наличию дрейфовой скорости
(v в направлении поля; именно
(v((E/(v) = evE(,
(64)
или для классической частицы массы m
(v((E/(v) = evE( / mv.
(65)
Пусть концентрация частиц есть n, тогда полная плотность тока равна
J = ne(v,
(66)
и, сравнивая формулы (65), (66) и (56), находим
( = ne2(/m.
(7.33)
Легко показать, что в случае свободного электронного газа формулы (67) и
(59) эквивалентны; в металле последняя формула принципиально значительно
лучше. Она показывает, что электропроводность зависит только от свойств
электронов на уровне Ферми, а не от полной концентрации их. Большую
электропроводность металлов следует объяснять скорее наличием небольшой
группы очень быстрых электронов на вершине распределения Ферми, а не
высоким значением полной концентрации свободных электронов, которым можно
придать небольшую дрейфовую скорость.
Основная формула (59) показывает также, что происходит, когда площадь
свободной поверхности Ферми уменьшается в результате взаимодействия с
границами зоны, и учитывает влияние решетки, ограничивающее эффективную
скорость электронов на поверхности Ферми. Такие эффекты действительно можно
наблюдать в металлах типа Bi.
С другой стороны, формула кинетической теории (67) удобна для
полупроводников. При этом под п следует понимать концентрацию свободных
носителей заряда. Обычно пишут
( = n|е|( (68)
где
( = |e|(/m
(69)
есть подвижность носителей. В более общем случае считают, что электроны
и дырки вносят независимые вклады в полный ток и определяют их подвижности
равенством
( = nh |е| (h + ne |е| (e .
(70)
Нетрудно вывести формулу (68), скажем, из (54), принимая в качестве f°
классическую функцию распределения. При этом мы допускаем, что время
релаксации ( может зависеть от энергии; в формулу (69) надо подставить его
среднее значение
[pic] (71)
где N(E) есть плотность состояний в рассматриваемой зоне. Таким образом,
(e= |e|(e /me
(7.38)
где те — эффективная масса электронов. Аналогичная формула справедлива и
для дырок. Из этих формул видно, что подвижность может зависеть от
температуры. С ростом T распределение размазывается и среднее время
релаксации изменяется. В случае металла то обстоятельство, что т зависит от
энергии, не играет большой роли, ибо существенно только значение ( (EF).
| |
