|
Реферат: Евклид и его "Начала" (Математика)
Реферат
На тему:
Евклид и его “начала”
Выполнил: Гордиенко Павел.
СШ №31
2002.
План.
1. Евклид и его начало.
2. Евклида алгоритм.
1. Евклид и его “Начала”
В течение двух тысяч лет геометрию узнавали
либо из “Начал” Евклида, либо из учебников, написанных на основе этой
книги. Лишь профессиональные математики обращались к трудам других
великих греческих геометров: Архимеда, Аполлония и геометров более
позднего времени. Классическую геометрию стали называть евклидовой в
отличие от появившихся в XIX в “неевклидовой геометрий”.
Об этом поразительном человеке история сохранила настолько мало
сведений, что не редко высказываются сомнения в самом его
существовании. Что же дошло до нас? Каталог греческих геометров
Прокла Диадоха Византийского, жившего в V в н.э., -первый серьёзный
источник сведений о греческой геометрии. Из каталога следует, что
Евклид был современником царя Птолемея I,который царствовал с 306-
283г.до н.э.
Евклид должен быть старше Архимеда, который ссылался на “Начало”. До
наших времён дошли сведения, что он преподавал в Александрии, столица
Птолемея I, начинавший превращаться в один из центров научной жизни.
Евклид был последователем древнегреческого философа Платона, и
преподавал он, вероятно, четыре науки, которые, по мнению Платона,
должны предшествовать занятиям философией: арифметику, геометрию,
теорию гармонии, астрономию. Кроме “Начал” до нас дошли книги Евклида,
посвящённые гармонии и астрономии.
Что касается места Евклида в науке, то оно определяется не столько
собственными его научными исследованиями, сколько педагогическими
заслугами. Евклиду приписывается несколько теорем и новых
доказательств, но их значение не может быть сравнимо с достижениями
великих греческих геометров: Фалеса и Пифагора(VI век до н. э.),
Евдокса и Теэтета (IV век до н.э.). Величайшая заслуга Евклида в том,
что он подвёл итог построению геометрии и придал изложению столь
совершенную форму, что на 2000 лет “Начала” стали энциклопедией
геометрии.
Евклид с величайшим искусством расположил материал по 13 книгам так,
чтобы трудности не возникали преждевременно. Позже греческие
математики включили в “Начало” ещё две книги-XIV- и XV-ю, написанные
другими авторами.
Первая книга Евклида начинается с 23”определений”, среди них такие:
точка есть то, что не имеет частей; линяя есть длина без ширины; линия
ограничена точками; прямая есть линия, одинакова расположенная
относительно всех своих точек; наконец, две прямые, лежащие в одной
плоскости, называются параллельными, если они, сколь угодно
продолжены, не встречаются. Это скорее наглядные представления об
основных объектах и слово “определение” в современном понимании не
точно передаёт смысл греческого слова “хорой”, которым пользовался
Евклид.
В книге I рассматриваются основные свойства
треугольников, прямоугольников, параллелограммов, сравниваются их
площади. Здесь появляется теорема о сумме углов треугольника. Затем
следует пять геометрических постулатов: через две точки можно провести
одну прямую; каждая прямая может быть сколь угодно продолжена ; данным
радиусом из данной точки можно провести окружность; все прямые углы
равны; если две прямые проведены к третьей под углами, составляющими в
сумме меньше двух прямых, то они встречаются с той же стороны от этой
прямой. Все эти постулаты, кроме одного, вошли в современные курсы
основной геометрии. За постулатами приводятся общие предположения,
или аксиомы,- 8 общематематических утверждений о равенствах и
неравенствах. Книга заканчивается теоремой Пифагора.
В книге II излагается геометрическая алгебра, с помощью
геометрических чертежей даются решения задач, сводящихся к квадратным
уравнениям. Алгебраической символики тогда не существовало.
В книге III рассматриваются свойства круга, свойства
касательных и хорд, в книге IV-правильные многоугольники, появляются
основы учения о подобии. В книгах VII-IX изложены начала теорий чисел,
а основанной на алгоритме нахождения наибольшего общего делителя,
приводится алгоритм Евклида, сюда входит теория делимости и теорема о
бесконечности множества простых чисел.
Последние книги посвящены стереометрии. В книге XI излагаются начала
стереометрии, в XII с помощью метода исчерпания определяются отношения
площадей двух кругов и отношение объёмов пирамиды и призмы, конуса и
цилиндра. Вершина стереометрии у Евклида – теория правильных
многогранников. В “Начало” не попало одно из величайших достижений
греческих геометров – теория конических сечений. О них Евклид написал
отдельную книгу “Начала конических сечений”, не дошедшую до нас, но её
цитировал в своих сочинениях Архимед.
“Начало” Евклида не дошли до нас в подлиннике.
Двенадцать столетий отделяют от Евклида самые старые известные списки,
семь столетий – сколь- нибудь подробные сведения о “Началах”. В
средневековую эпоху интерес к математике был утрачен, некоторые книги
“Начал” пропали и потом с трудом восстанавливались по латинским и
арабским переводам. А к тому времени тексты обросли “улучшениями”
позднейших комментаторов.
В период возрождения европейской математике (XVIв.)
“Начала” изучали и воссоздавали заново. Логическое построение
“Начала”, аксиоматика Евклида воспринимались математиками как
безупречное вплоть до XIX в., когда начался период критического
отношения к достигнутому, который закончился новой аксиоматикой
евклидовой геометрии – аксиоматикой Д. Гильберта. Изложение геометрии
в “Началах” считалось образцом, которому стремились следовать учёные и
за пределами математики.
2. Евклида Алгоритм.
Алгоритм Евклида – это способ нахождения наибольшего
общего делителя двух целых чисел, а также наибольшей общей меры двух
соизмеримых отрезков.
Чтобы найти наибольший общий делитель двух целых положительных чисел,
нужно сначала большее число разделить на меньшее, затем второе число
разделить на остаток от первого деления, потом первый остаток - на
второй и т.д. Последний ненулёвой положительный остаток в этом
процессе и будет наибольшим общим делителем данных чисел.
Обозначив исходные числа через а и б, положительные остатки,
получающиеся в результате делений, через r1 ,r2[pic]…, rn , а неполные
частные через q1 , q2, можно записать алгоритм Евклида в виде цепочки
равенств:
a=bq1 +r1 ,
b=r1q2 +r2
. . . . . . . . . .
rn-2=rn-1qn+rn
rn-1=rnqn+1.
Приведём пример. Пусть а=777, b=629. Тогда 777=629*1+148,
629=148*4+37, 148=37*4.
Последний ненулевой остаток 37 есть наибольший общий делитель чисел
777 и 629.
Для нахождения наибольшей общей меры двух отрезков поступают
аналогично. Операцию деления с остатком заменяют его геометрическим
аналогом: меньше отрезок откладывают на большим столько раз, сколько
возможно: оставшуюся часть большего отрезка (принимаемую за остаток
отделения) откладывают на меньшем отрезке и т.д.если отрезки a и b
соизмеримы, то последний не нулевой остаток даст наибольшую общую меру
этих отрезков. В случае несоизмеримых отрезков получаемая
последовательность не нулевых остатков будет бесконечной.
Рассмотрим пример. Возьмём в качестве исходных отрезков сторону AB и
AC равнобедренного треугольника ABC, у которого A=C = 72°, B= 36°. В
качестве первого остатка мы получим отрезок AD (CD-биссектриса угла
C), и, как легко видеть, последовательность и нулевых остатков будет
бесконечной. Значит, отрезки AB и AC не соизмеримы .
Алгоритм Евклида известен издавна. Ему уже более 2000 лет. Этот
алгоритм сформулирован в “Началах” Евклида, где из него выводятся
свойства простых чисел, наименьшего общего кратного и т.д. Как способ
нахождения наибольшей общей меры двух отрезков алгоритм Евклида
(иногда называемый методом попеременного вычитания) был известен ещё
пифагорейцам. К середине XVI в. алгоритм Евклида был распространён на
многочлены, от одного переменного в дальнейшем удалось определить
алгоритм Евклида и для некоторых других алгебраических объектах.
Алгоритм Евклида имеет много применений. Равенства, определяющие его,
дают возможность представить наибольший делитель d чисел a и b в виде
d=ax+by (x;y- целые числа), а это позволяет находить решение
Диофантовых уравнений 1-й степени с двумя неизвестными. Алгоритм
Евклида является средством для представления рационального числа в
виде цепной дроби. Он часто используется в программах для электронных
вычислительных машин.
Использованная литература.
Энциклопедический словарь юного математика.
Реферат на тему: Евклид: жизнь и сочинения
Евклид: жизнь и сочинения
Спросите своего коллегу, или знакомого, или ученика: «Какая древняя
книга оказала наибольшее влияние на развитие европейской цивилизации?». Не
думаю, что ответы будут отличаться большим разнообразием, но вряд ли кто-
нибудь вспомнит о «Началах» Евклида. А ведь именно по этой книге ( или по
её обработкам ) учились все творцы современной математики: Декарт и Ферма,
Ньютон и Лейбниц, Колмогоров и Понтрягин… Всех не перечислишь.
Нельзя сказать, что в течение многих веков не появлялись другие своды
математических знаний, но все они забывались и вновь вытеснялись «Началами»
Евклида. С 1482 г. она издавалась более 500 раз на самых различных языках.
Можно с уверенностью утверждать, что все современные так называемые
точные науки выросли из древнегреческой науки, т.е. из «Началах» Евклида –
самого древнего свода математических знаний, дошедшего до нашего времени.
Так кто же был Евклид? Исследователь, энциклопедист, методист? Увы, о
жизни этого знаменитого учёного сохранилось крайне мало сведений. Годы его
жизни относят к промежутку времени приблизительно между 365 и 300 гг. до
н.э.
Известно, что Евклид был приглашён в Александрию царём Птолемеем I
Сотером для организации математической школы и преподавал там математику.
Известно, что он учился в платоновской Академии в Афинах.
Итак, какие же труды Евклида нам известны?
Кроме «Начал» до нас дошли, хотя и в сильно искажённом виде, трактаты
«Оптика» и «Катоптрика». В «Оптике» Евклид формулирует и доказывает правило
«угол падения равен углу отражения», а в «Катоптрике» он выводит, опираясь
на это правило, законы отражения от выпуклых и вогнутых зеркал. В этих
трактатах содержится первое в истории изложение геометрической оптики.
Кроме того, Евклиду принадлежит сочинение по математической астрономии
«Явления», ему также приписывается сочинение «Сечение канона» по теории
музыки.
Во всех этих произведениях Евклид сначала постулирует некоторые
свойства исследуемых объектов ( например, то, что свет распространяется по
прямой ) и необходимые математические сведения, а затем на этой основе
дедуктивно строит излагаемую теорию.
Евклиду принадлежат сочинения о конических сечениях ( т.е. эллипсе,
гиперболе, параболе ) и «О поверхностных местах», которые до нас дошли.
В арабском переводе нам известно сочинение Евклида «О делении фигур»
Но главным трудом Евклида, несомненно, являются «Начала» ( в 13 книгах
). Он собрал и систематизировал современную ему математику, строго
дедуктивно изложив её в этом объёмном труде.
Ниже описаны наиболее интересные, с точки зрения современной
математики, достижения Евклида и его предшественников, изложенные в
«Началах».
Теорема Евклида.
Предложение, о котором идёт речь, изложено в IX книге «Начал». Оно
формулируется так:
множество простых чисел бесконечно.
Доказательство очень просто: если бы множество всех простых чисел было
конечным, то, перемножив их все и добавив единицу, мы получили бы новое
число, которое не делится ни на одно из известных простых чисел и,
следовательно, простое.
Алгоритм Евклида.
Всем известен алгоритм Евклида нахождения общей меры отрезков. Он
состоит в следующем.
Пусть есть два отрезка неравной длины A и В, причём, например, А
больше В. Отложим отрезок В на отрезке А столько раз, сколько
получится( рис. 1 ).
Тогда А=n0B + C1, где C1 < В.
Теперь берём отрезки В и C1 и повторяем с ними ту же операцию:
В=n1C1 + C2, где C2 < C1 ( рис. 2 ).
А
С1
В В В
n0 раз
( рис. 1 )
В
С1 С1 С2
n1 раз.
( рис. 2 )
Повторяя эту операцию много раз, мы либо когда-нибудь получим нулевой
отрезок-остаток Cm= nm+1Cm+1 + 0 отрезок Cm+1 окажется общей мерой отрезков
А и В, либо процесс откладывания отрезков никогда не закончится.
В последнем случае говорят, что отрезки А и В несоизмеримы ( т.е. не
имеют общей меры ). Числа n0, n1, … называются «неполными частными».
Если обнаружена общая мера величин А и В и она равна некоторой
величине D, то А= ?D, B=?D и отношение А и В есть отношение ? к ?.
Интересно, что Евклид построил алгоритм отдельно для чисел ( т.е.
натуральных чисел ) и отдельно для отрезков ( величин ).
Итак, алгоритм Евклида позволяет не только находить общую меру ( НОД )
двух чисел, сокращать на НОД дроби, но и «округлять» рациональные числа.
Теория отношений Евдокса.
В «Началах» изложена другая теория отношений, созданная Евдоксом. Она
отвечала на вопрос: как можно сравнивать отношения чисел и что происходит с
ними в результате арифметических операций?
Два отношения a/b и c/d считаются равными, если для любых натуральных
чисел М, N выполняются условия:
aM > bN cM > dN,
aM = bN cM = dN,
aM < bN cM < dN.
Такой подход к сравнению отношений был революционным прорывом в
построении теории действительного числа ( пока только для рациональных
положительных чисел ).
Теория иррациональностей.
Видимо, именно алгоритм Евклида привёл пифагорейца к установлению
несоизмеримости стороны и диагонали квадрата ( т.е. иррациональности числа
?2 ). Это открытие существенно повлияло на дальнейшее развитие и
математики, и философии. Оно показало, что ложен основной принцип
пифагорейцев «всё есть число». Они считали, что всякую величину можно
выразить числом ( натуральным ) или отношением чисел, но оказалось, что
диагональ квадрата со стороной 1 не выражалась отношением чисел.
Теэтет Афинский развил этот подход и доказал, что квадратные корни из
квадратных чисел рациональны, а из неквадратных – иррациональны. Кроме
того, кубические корни из кубических чисел рациональны, а из некубических –
иррациональны.
Более того, он классифицировал некоторые типы иррациональностей,
которые можно построить с помощью циркуля и линейки.
Геометрическая алгебра.
Важным достижением античной математики стало создание так называемой
геометрической алгебры, зачатки которой имелись ещё у вавилонян.
Мы знаем, что в Древней Греции не было возможности записывать буквами
алгебраические формулы и уравнения. Кроме того, большие проблемы возникали
при операциях с натуральными числами. Античные математики обошли эту
проблему, переведя все алгебраические выражения первой и второй степени на
геометрический язык. Все построения были планиметрическими.
Видимо, именно алгебраическими потребностями объясняется столь бурное
развитие планиметрии в античности.
Платоновы тела.
В последней, XIII книге «Начал» описываются построение и свойства
правильных многогранников – тетраэдра, гексаэдра, октаэдра, додекаэдра,
икосаэдра.
И Евклид не просто описал правильные многогранники, но и исследовал их
свойства. Он нашёл отношения длин рёбер всех правильных многогранников к
диаметру описанной около многогранника сферы.
Более того, он предложил способы построения правильных многогранников,
вписанных в сферу данного диаметра.
Учение о гармонии.
Ещё пифагорейцы знали, что если высоты звука относятся как небольшие
целые числа, то сочетание звуков будет приятным, гармоничным. Так,
отношение высот 1:2 даёт музыкальный интервал, называемый октавой,
отношение 2:3 – даёт квинту, 3:4 кварту. Для того чтобы повысить на квинту
звук, например, колеблющейся струны, надо уменьшить её длину на 1/3,
заставив звучать оставшиеся 2/3 струны, при этом частота колебаний струны
увеличится в 1/(2/3) раза. А для повышения звука на кварту надо извлечь
звук из 3/4 струны, т.е. частота колебаний будет в 4/3 раза выше частоты
колебаний основного тона. Исходя из этого, можно построить музыкальную
шкалу.
Первым точными расчётами музыкальной шкалы стал Архит Тарентский.
Евклид продолжил его традицию и изложил учение о гармонии в «Сечении
канона» и – частично – в «Началах».
| |
