|
Реферат: Карл Фрідріх Гаусс (Математика)
Житомирський державний педагогічний університет імені Івана Франка
Реферат на тему:
Карл Фрідріх
Гаусс
студента 52 групи
фізико-математичного факультету
Главацького Р.М.
2000 р.
План
1. Вступ
2. Народження та дитинство К.Ф. Гаусса
3. Наукові надбання Гаусса
4. Творчість Гаусса
5. Висновок
Карл Фрідріх Гаусс народився 30 квітня 1777 р. у Брауншвейгу – одному з
німецьких князівств, які на той час ще не були об'єднані в єдину
централізовану державу. Батько Карла спочатку працював слюсарем, а згодом
став садівником, суміщаючи це заняття з обов'язками рахівника в
торговельній конторі якогось купця. Він був людиною суворою, навіть грубою.
Мати Карла була дочкою каменяра; від природи вона була жінкою розумною,
розважливою, доброю і веселою. Карл був її єдиною дитиною, і вона безмежно
та щиро любила його. Син відповідав їй такою самою гарячою любов'ю. Від
матері він успадкував розважливість і м'яку вдачу.
Читати і писати Карл навчився сам: йому досить було знати лише кілька
букв, підказаних матір'ю, щоб цілком оволодіти технікою читання.
Вже в ранньому дитинстві у хлопчика виявились особливі здібності до
математики. Пізніше він сам жартома говорив: «Я навчився рахувати раніше,
ніж розмовляти». Розповідають про такий випадок. Якось до батька Карла
зібралися товариші по роботі, щоб розподілити зароблені за тиждень гроші.
Тут же був і трирічний Карл. Коли батько закінчив розрахунки, які він
проводив уголос, щоб усі чули їх, і оголосив наслідки, Карл вигукнув:
«Татку, ти помилився!» Присутні були вражені заявою малої дитини, але
батько підрахував усе спочатку. Коли він назвав нову цифру (а раніше він
справді зробив помилку), Карл радісно вигукнув: «Тепер правильно!»
У 1784 р. Карла віддали до народної школи. Перші два роки навчання він
нічим не відзначався серед товаришів, його виняткові здібності до
арифметики виявилися у третьому класі. Якось учитель дав учням досить
складне завдання з арифметики: відшукати суму деякої кількості натуральних
послідовних чисел. Учитель вважав, що учні досить довго шукатимуть
відповідь. Але через кілька хвилин Карл розв'язав задачу. Коли вчитель
проглянув розв'язання, то побачив, що малий Гаусс винайшов спосіб
скороченого знаходження суми членів арифметичної прогресії. Щасливий
випадок звів Гаусса з першим у навчанні учнем цієї самої школи –
Бартельсом; вони подружилися, бо обидва були закохані в математику. За
порадою товариша Карл почав вивчати твори великих математиків, ознайомився
з теорією бінома, властивостями деяких рядів тощо.
Після чотирирічного навчання в школі Гаусс перейшов до гімназії відразу
в другий клас. Тут, у гімназії, яскраво виявились інші його здібності – з
дивовижною швидкістю і успішністю він оволодів стародавніми мовами —
грецькою і латинською. Талановитого юнака представили герцогу
Брауншвейгському, який надалі піклувався про його виховання.
По закінченні гімназії Гаусс у 1792 р. вступив до так званої
Каролінської колегії. Тут він продовжував успішно вивчати стародавні мови,
а разом з тим систематично і поглиблено студіював математичні дисципліни.
На цей період припадає його ознайомлення з творами таких видатних
математиків, як Ейлер, Лагранж і особливо Ньютон. Епохальний твір Ньютона
«Математичні начала натуральної філософії» справив на Гаусса глибоке
враження і запалив у ньому той невгасимий потяг до математичних досліджень,
який тривав усе його життя.
З 1795 р. Гаусс – студент Геттінгенського університету. Він охоче
відвідує лекції з філософії і математики. В цей час він починає свої
математичні дослідження. На цей ранній період його творчої діяльності (йому
було всього 18 років) припадають такі відкриття й праці: у 1795 р. він
винайшов так званий «Метод найменших квадратів»; у 1796 р. розв'язав
класичну задачу про поділ кола, з якої випливала побудова правильного 17-
кутника, і написав велику й важливу працю «Арифметичні дослідження», яка
була надрукована у 1801 р.
Як відомо, ще за часів Евкліда (III ст. до н. е.) задача про поділ кола
була предметом досліджень багатьох учених, причому ще тоді було доведено,
що за допомогою циркуля і лінійки можна побудувати правильні многокутники,
число сторін яких дорівнює: 3(2n, 4(2n, 5(2n, 15(2n, , де n – будь-яке ціле
число натурального ряду.
К. Гаусс довів, що за допомогою циркуля та лінійки можна побудувати
такий правильний п-кутник, число сторін якого виражається формулою п=22r+1,
де r – довільне ціле число або нуль. Якщо r=0, то п=3; r=1, то п=5, r=2, то
п=17.
Побудови трикутника і п'ятикутника були відомі ще давнім грекам, але
Гаусс першим здійснив побудову правильного 17-кутника.
Дослідження Гаусса про поділ кола мали велике значення не лише для
розв'язання цієї складної задачі. Мабуть, ще важливішим було те, що тут він
заклав основи загальної теорії так званих алгебраїчних рівнянь, тобто
рівнянь виду [pic] де коефіцієнти рівняння – комплексні числа.
Дуже важливе значення має доведена Гауссом у 1799 р. основна теорема
алгебри про існування кореня алгебраїчного рівняння. На основі цієї теореми
доведено таку властивість рівнянь: «Алгебраїчне рівняння має стільки
коренів дійсних чи комплексних, скільки одиниць у показнику його степеня».
За працю, в якій доведено ці теореми, Гаусс дістав звання приват-доцента.
У першій частині праці «Арифметичні дослідження» Гаусс глибоко
проаналізував питання про так звані «квадратичні лишки» і вперше довів
важливу теорему з теорії чисел, яку він назвав «золотою теоремою» про
«квадратичний закон взаємності». Можна без перебільшень сказати, що теорія
чисел, як наука, почала своє справжнє існування саме з досліджень Гаусса.
«Арифметичні дослідження» Гаусса в математичній науці створили цілу епоху,
а Гаусс був визнаний найбільшим математиком світу.
У 1807 р. йому було надано звання екстраординарного, а пізніше й
ординарного професора Геттінгенського університету. В той же час його було
призначено директором Геттінгенської обсерваторії.
В галузі астрономії Гаусс працював близько 20 років. У 1801 р.
італійський астроном Піацці відкрив між орбітами Марса і Юпітера маленьку
планету, яку він назвав Церерою. Спостерігав він цю планету протягом 40
днів, але Церера швидко наближалася до Сонця і зникла в його яскравих
променях. Намагання Піацці відшукати її знову виявилися марними. Гаусс
зацікавився цим явищем і, вивчивши матеріали спостережень Піацці,
установив, що для визначення орбіти Церери досить трьох її спостережень.
Після чого треба було розв'язати рівняння 8-го степеня, з чим Гаусс
блискуче справився: орбіта планети була обчислена і сама Церера знайдена.
Таким самим способом Гаусс обчислив орбіту іншої малої планети — Паллади. У
1810 р. французький астрономічний інститут за розв'язання задачі про рух
Паллади присудив йому золоту медаль. У цей період учений написав і свою
фундаментальну працю «Теорія руху небесних тіл, які обертаються навколо
Сонця по конічних перерізах» (1809 р.).
Важливі праці створив Гаусс і з аналізу нескінченно малих величин.
Гаусс цікавився і геометрією. Окремі питання, як, наприклад,
найважливіша проблема геометрії – проблема V постулату Евкліда – привертали
його особливу увагу. У своїх міркуваннях він ішов шляхами, схожими па ті,
які проробив Лобачевський, але не опублікував жодної сторінки. У листі до
математика Бесселя Гаусс писав: «Певне, я ще не скоро зможу обробити свої
широкі дослідження з цього приводу так, щоб їх можна було опублікувати.
Можливо, навіть, що я не зважуся на це протягом усього мого життя, тому що
боюсь крику беотійців, який піднімається, коли я висловлюю свої погляди».
Гаусс ознайомився з результатами досліджень Лобачевського за невеликою
брошурою «Геометричні дослідження з теорії паралельних ліній», написаною
німецькою мовою і виданою у 1840 р. Він зацікавився цією працею і в свої 62
роки вирішив вивчити російську мову, щоб мати можливість читати твори
Лобачевського в оригіналі. У листах до своїх друзів Гаусс з великою
похвалою говорив про досягнення Лобачевського. Він писав, що праця
Лобачевського містить основи тієї геометрії, яка могла б бути і була б
цілком послідовною, якби геометрія Евкліда не була правильною. Він писав
також, що вже 54 роки (з 1792 р.) має такі самі переконання. Самому
Лобачевському Гаусс власноручно написав листа, в якому повідомив
російського вченого, що його обрали членом-кореспондентом Геттінгенського
математичного вченого товариства.
1830-1840 роки Гаусс присвятив теоретичній фізиці. Його дослідження в
цій галузі значною мірою були результатом тісного спілкування і сумісної
наукової роботи з В. Вебером.
Разом з Вебером Гаусс створив абсолютну систему електромагнітних
одиниць і сконструював у 1833 перший в Німеччині електромагнітний телеграф.
Йому належить створення загальної теорії магнетизму, основ теорії
потенціалу і багато ін. Отже, важко зазначити таку галузь теоретичної чи
прикладної математики, в яку б Гаусс не вніс істотного вкладу.
Через надзвичайно велику вимогливість до себе багато досліджень
визначного математика залишилося за життя його неопублікованими (нариси,
незакінчені праці, листування з друзями). Цю наукову спадщину Гаусса дуже
ретельно опрацьовували в Геттінгенському вченому товаристві. В результаті
було видано 11 томів творів Гаусса. Дуже цікавими із спадщини вченого є
його щоденник і дослідження з неевклідової геометрії й теорії еліптичних
функцій. Зокрема, з опублікованих матеріалів видно, що Гаусс прийшов до
думки про можливість існування поряд з евклідовою геометрією неевклідової в
1818. Проте побоювання, що ідеї неевклідової геометрії не зрозуміють у
математичному світі, і, можливо, недостатнє усвідомлення їх наукової
важливості були причиною того, що Гаусс їх далі не розробляв і нічого за
життя з цих питань не опублікував. Коли опублікував неевклідову геометрію
М.І. Лобачевський, Гаусс поставився до цього з великою увагою і
запропонував обрати Лобачевського членом-кореспондентом Геттінгенського
вченого товариства, але власної оцінки великому відкриттю Лобачевського по
суті не дав.
В архівах Гаусса знайдено матеріали із своєрідною теорією еліптичних
функцій. Проте заслуга в її розробці й опублікуванні належите К. Якобі і Н.
Абелю.
Слід зазначити, що вже сучасники Гаусса розуміли його велич, про що
свідчить напис на медалі, викарбуваній на честь Гаусса, - «Король
математиків». У 1880 в Брауншвейгу Гауссу поставили бронзову статую.
У 1827 р. Гаусс опублікував велику працю «Загальні дослідження про
криві поверхні», зміст якої стосується диференціальної геометрії.
Значні відкриття належать Гауссу і в галузі фізики. Він дослідив і
встановив ряд нових законів у теорії рідин, теорії, магнетизму тощо.
Наслідком важливих розробок були такі праці: «Про один важливий закон
механіки» (1820), «Загальні початки теорії рівноваги рідин» (1832),
«Загальна теорія земного магнетизму» (1838).
У 1832 р. Гаусс опублікував важливу статтю «Про абсолютне вимірювання
магнітних величин». Він і конструював прилад для вимірювання магнітних
величин (магнітометр), виконав перше обчислення положення південного
магнітного полюса Землі, яке дало дуже мале відхилення від справжнього
положення. Гаусс винайшов електромагнітний спосіб зв'язку (1834).
Не менш успішно він працював і в галузі геодезії. У 1836 р. Гауссу
запропонували провести геодезичні вимірювання території Ганноверського
королівства. Після проведення підготовчих робіт учений особисто розпочав
вимірювання. Працював він над цим 14 років. Він виготовив новий
вимірювальний прилад – геліотроп, що діяв за допомогою сонячних променів.
Разом з тим практика вимірювань спонукала Гаусса до теоретичних досліджень.
Наслідком їх були важливі теоретичні праці, які стали основою дальшого
розвитку геодезії.
Характерними рисами досліджень Гаусса є надзвичайна їх різнобічність і
органічний зв'язок у них між теоретичною і прикладною математикою. Праці
Гаусса мали великий вплив на весь дальший розвиток вищої алгебри, теорії
чисел, диференціальної геометрії, класичної теорії електрики і магнетизму,
геодезії, теоретичної астрономії. У багатьох галузях математики Гаусс
активно сприяв підвищенню вимог до логічної чіткості доведень. «Арифметичні
дослідження» - перший великий твір Гаусса, присвячений окремим питанням
теорії чисел і вищої алгебри. Постановка і розробка цих питань Гауссом
визначили дальший розвиток цих дисциплін. Гаусс докладно розвинув тут
теорію квадратичних лишків, уперше довів квадратичний закон взаємності –
одну з центральних теорем теорії чисел. У цьому творі він по-новому
докладно розробив теорію квадратичних форм, яку раніше побудував Лагранж,
виклав теорію поділу кола, яка багато в чому була прообразом теорії Галуа.
Гаусс розробив загальні методи розв'язання рівнянь виду хn-1=0, а також
встановив зв'язок між цими рівняннями і побудовою правильних многокутників,
а саме: знайшов усі такі значення n, для яких. правильний n-кутник можна
побудувати циркулем і лінійкою, зокрема розв'язав у радикалах рівняння х17-
1=0 і побудував правильний 17-кутник за допомогою циркуля і лінійки. Це
було першим після старогрецьких геометрів значним кроком уперед у цьому
питанні. Одночасно Гаусс склав величезні таблиці простих чисел,
квадратичних лишків і нелишків, значень усіх дробів виду [pic] від р = 1 до
р = 1000 у вигляді десяткових дробів, доводячи обчислення до повного
періоду (що іноді потребувало обчислення кількох сотень десяткових знаків).
В алгебрі Гаусса цікавила насамперед основна теорема. До неї він не раз
повертався і дав понад шість різних її доведень. Усі вони були опубліковані
в працях ученого у 1808-1817. У цих працях були дані вказівки відносно
кубічних і біквадратичних лишків. Теореми про біквадратичні лишки
розглядаються в працях 1825-1831. Ці праці значно розширили теорію чисел
завдяки введенню так званих цілих гауссових чисел, тобто чисел виду а+bі,
де а і b – цілі числа. У зв'язку з астрономічними обчисленнями, що
ґрунтуються на розкладанні інтегралів відповідних диференціальних рівнянь у
нескінченні ряди. Гаусс дослідив питання про збіжність нескінченних рядів,
які він пов'язав з вивченням т. зв. гіпергеометричного ряду («Про
гіпергеометричний ряд», 1812). Головне значення цього ряду полягає в тому,
що він містить як окремі випадки багато з відомих трансцендентних функцій,
що мають широке застосування. Ці дослідження Гаусса разом з працями Коші і
Абеля, які ґрунтуються на дослідженнях Гаусса, сприяли значному розвитку
загальної теорії рядів.
Хоча Гаусс плідно працював у різних галузях науки, але він сам часто
говорив: «Я весь відданий математиці». Математику він вважав царицею наук,
а арифметику – царицею математики. В обчисленнях у думці йому не було
рівних. Він знав напам'ять перші десяткові цифри багатьох логарифмів і
користувався ними при наближених обчисленнях у думці. Розв’язуючи складні
задачі, він помилявся дуже рідко, цифри писав чітко. Останні десяткові
знаки перевіряв, не покладаючись на таблиці.
Відкриття Гаусса не зробили такого перевороту, як, наприклад, відкриття
Архімеда і Ньютона, але через їх глибину, різносторонність, розкриття
нових, невідомих до того законів природи в галузі фізики, геодезії,
математики сучасники вважали Гаусса найкращим математиком світу. На медалі,
виготовленій у 1855 р. на його честь, вигравірувано напис: «Король
математиків».
Працював Гаусс сам у невеликому робочому кабінеті; там був стіл,
конторка, пофарбована у білий колір, вузенька софа і єдине крісло.
Одягнутий він був завжди у теплий халат і шапочку, на вдачу спокійний і
веселий. Після напруженої праці Гаусс любив відпочивати: робив прогулянки
до літературного музею, читав художню літературу німецькою, англійською і
російською мовами. Гаусс високо оцінював російську культуру і шанував
талановитий російський народ. У Росії освічені кола, в свою чергу, високо
цінували Гаусса як ученого. Петербурзька академія наук першою в світі
обрала Гаусса своїм членом-кореспондентом .
16 червня 1849 р. наукова громадськість світу відзначила 50-річний
ювілей творчої діяльності «короля математиків». Усі наукові установи,
товариства різних країн світу вважали за свій обов'язок сердечно привітати
великого математика і висловити йому почуття високої поваги. У цей час
Гаусс написав свою останню працю «Матеріали до теорії алгебраїчних
рівнянь».
Довгі роки напруженої праці давалися взнаки. Гаусс почав помітно
старіти, швидко стомлюватись. У 1851 р. великих страждань завдавали йому
безсоння, задишка і кашель. До цього він майже не хворів і за все своє
життя тільки двічі вживав ліки. Але тепер, коли друзі запросили до нього
лікаря, який установив хворобу серця і ряд інших змін в організмі, Гаусс
почав лікуватись, часто робив прогулянки на свіжому повітрі. Здоров'я його
ніби поліпши-лось. Але 23 лютого 1855 р. великого математика не стало. 26
лютого тіло перенесли в обсерваторію, а звідти студенти університету
супроводили його на кладовище.
Литература
1. І.Я. Галай, Г.Д. Гриневич. Учащимся о выдающихся математиках.
2. О.І. Бородін, А.С. Бугай. Біографічний словник діячів у галузі
математики.
Реферат на тему: Кватернионы
[pic]
Как сделать из точек числа?
Если речь идет о точках на прямой – это просто. Выбрав начало отсчета
и масштаб с направлением, можно получить из прямой числовую ось и тем самым
превратить каждую точку в действительное число – ее координату.
С точками на плоскости сложнее. Выбираем две оси и начало отсчета. Для
каждой точки плоскости сопоставляем ее координаты (x; y). Эта пара будет
называться дуплетом. Чтобы сделать дуплет числом, нужно научиться
“складывать” и “умножать” их в соответствии со свойствами сложения и
умножения.
Дуплеты складываются как векторы – покоординатно:
(x; y) + (x’; y’) = (x + x’; y + y’). (1)
Для умножения существует иная формула:
(x; y) [pic] (x’; y’) = (xx’ - yy’; xy’ + x’y). (2)
Умножение и сложение (1), (2) дуплетов подчиняются привычным свойствам
сложения и умножения. Следовательно, множество дуплетов с операциями (1),
(2) можно считать полноценным числовым множеством.
На самом деле дуплеты – это комплексные числа. Их записывают так: x +
yi, где i –мнимая единица (дуплет (0; 1)). Ее квадрат равен [pic]. Это
позволяет извлекать квадратные корни из отрицательных чисел.
Но встает проблема превращения точек пространства в числа. Здесь снова
введем систему координат и запишем точки в виде набора уже трех координат
(x; y; z). Эти так называемые триплеты тоже складываются покоординатно:
(x; y; z) + (x’; y’; z’) = (x + x’; y + y’; z + z’). (3)
Триплеты можно будет считать числами, если научиться их умножать, обладая,
вместе со свойствами сложения, обычными способами умножения этих операций.
В 1833 г. умножением триплетов занимался ирландский математик У. Р.
Гамильтон (1805 – 1865). О нем мы расскажем особо.
Уильям Роуан Гамильтон
Гамильтон был человеком многосторонне развитым. В четырнадцать лет
владел девятью языками, в 1824 г. опубликовал в трудах Королевской
Ирландской Академии работу, посвященную геометрической оптике, в 1828 г.
получил звание королевского астронома Ирландии.
К 1833 г. Гамильтон занимал пост директора обсерватории в Денсинке и
был известен работами по оптике и аналитической механики. Он предсказал
эффект двойной конической рефракции в двуосных кристаллах.
В течение долгих десяти лет Гамильтон безуспешно пытался придумать
правило умножения триплетов.
Векторное произведение
Задача поначалу казалась несложной. Складывать векторы следовало по
формуле (3). Оставалось найти формулу умножения, подобную формуле (2). Но
Гамильтон безуспешно пытался подбирать формулы для умножения триплетов.
В то время было известно правило векторного произведения:
векторным произведением [pic] ненулевых векторов [pic] называется вектор,
перпендикулярный плоскости, проходящей через векторы [pic] имеющий
направление, определяемое правилом “правой руки”, и длину ?[pic]?[pic]
?[pic]?[pic]. Если для данных векторов заданы координаты в прямоугольной
системе координат:
[pic]
[pic]
то [pic] (4)
Но операция векторного произведения не годилась Гамильтону, поскольку она
не имеет обратной. Например, если [pic] то угол ([pic]) между векторами
равен нулю. Значит, длина векторного произведения [pic] равна нулю, т.е. и
сам вектор [pic] нулевой.
Но несмотря на неудачи, Гамильтон пытался решить поставленную перед
собой задачу. Но эта задача не могла быть решена (объяснение следует ниже).
Но труд не пропал даром. В 1843 г. Гамильтон вдруг решил, что для
определения умножения нужно рассматривать не триплеты (тройки чисел), а
четверки, или кватернионы. Вот история их создания.
Случай на Брогемском мосту
[pic]
В одном из писем к своему сыну Гамильтон писал: “Это был 16-й день
октября, который случился в понедельник, в день заседания Совета
Королевской Ирландской Академии, где я должен был председательствовать. Я
направлялся туда с твоей матерью вдоль Королевского канала; и, хотя она
говорила мне какие-то отдельные фразы, я их почти не воспринимал, так как в
моем сознании подспудно что-то творилось. Неожиданно как будто бы замкнулся
электрический контур; блеснула искра, предвещающая многие длительные годы
определенно направленной мысли и труда, моего – если доведется, или труда
других, если мне будет даровано достаточно сознательной жизни, чтобы
сообщить о своем открытии. Я оказался не в состоянии удержаться от желания
высечь ножом на мягком камне Брогемского моста фундаментальную формулу о
символах i, j, k,
[pic],
содержащую решение проблемы, но, конечно, эта запись с тех пор стерлась.
Однако более прочное упоминание осталось в Книге записей Совета Академии за
этот день, где засвидетельствовано, что я попросил и получил разрешение на
доклад о кватернионах на первом заседании сессии, который и был прочитан
соответственно в Понедельник 13-го следующего месяца – ноября”.
Определение кватернионов
Кватернионы – это четверки действительных чисел (x; y; u; v), которые
удобно записывать в виде q = x + yi + uj + vk, где i, j, k – новые числа,
являющиеся аналогом мнимой единицы в комплексных числах. Требуется, чтобы
числа i, j, k удовлетворяли следующим соотношениям:
[pic] (5)
[pic] [pic] (6)
которые удобно записать в виде “таблицы умножения”.
x i j k
i -1 k j
j -k -1 i
k -j -i -1
По определению операции сложения и умножения кватернионов производятся
по обычным правилам раскрытия скобок и приведения подобных членов с учетом
правил (5) – (6).
Согласно этому определению, если [pic] и [pic] – два кватерниона, то
[pic][pic] (7)
Это, разумеется, привычное нам “покоординатное” сложение. Далее,
произведение кватернионов [pic] и [pic] вычисляется так:
[pic]
Длинная, но совершенно автоматическая проверка показывает, что умножение
кватернионов обладает сочетательным свойством:
[pic]
Естественно считать, что действительные и комплексные числа являются
частным случаем кватернионов. Так, действительное число x – это кватернион
вида
[pic]
Комплексное число z = x + yi представляется как кватернион
[pic]
У операции сложения кватернионов, очевидно, имеется обратная операция
–вычитание. Именно, разность двух кватернионов [pic] и [pic] определяется
формулой:
[pic]
Если [pic], то разность кватернионов – это нулевой кватернион.
Деление кватернионов
Перейдем теперь к операции деления кватернионов, обратной к операции
умножения. Вообще, что мы понимаем под частным от деления числа a на число
b, не равное нулю? Это такое число c, что
bc = a. (10)
Так определяется частное от деления для действительных и комплексных чисел.
К сожалению, для кватерниона применить непосредственно это определение мы
не можем. Для того чтобы формула (10) “корректно” определяла частное,
нужно, чтобы произведение не зависело от порядка сомножителей. В противном
случае наряду с частным [pic] определенным формулой (10), существует вполне
равноправное “левое” частное” с’, определяемое формулой
c’b = a,
которое может отличаться от “правого частного” c из (10). Вот здесь, кроме
необходимости выйти за пределы трехмерного пространства, Гамильтону
пришлось принести еще одну жертву.
Оказывается, определенные им новые числа – кватернионы – потеряли еще
одно привычное качество: произведение кватернионов зависит от порядка
сомножителей. Действительно, уже в формулах (6) при изменении порядка
сомножителей произведение меняет знак.
Таким образом, можно говорить лишь о “делении справа” и “делении
слева”. Как реально найти, скажем, “левое частное” от деления кватерниона
[pic] на кватернион [pic]?
Обозначим искомое частное через q = x + yi + uj + vk. Тогда, используя
правило умножения для кватернионов и определение левого частного, получим
следующее равенство кватернионов:
[pic],
или
[pic]
Полученное равенство равносильно системе четырех линейных уравнений с
переменными x, y, u, v:
[pic]
Аналогичным образом находится “правое частное” от деления [pic] на
[pic].
Рассмотрим частный случай, когда делимое [pic] равно единице. В этом
случае частное от деления [pic]=1 на кватернион [pic] (и “слева” и
“справа”) равно одному и тому же кватерниону
[pic]
Поэтому кватернион p обозначается через [pic]. Тогда “правое частное” от
деления кватерниона [pic] на [pic] выражается формулой
[pic],
а “левое частное” от деления кватерниона [pic] на [pic] – формулой
[pic]
Практически частное от деления двух кватернионов ищется другим путем.
Для этого нам потребуются
Скалярные и векторные кватернионы
Так же как комплексные числа разлагаются в сумму своей действительной и
мнимой частей, кватернион тоже можно разложить в сумму q = x + (yi + uj +
vk). Первое слагаемое в этом разложении называется скалярной частью
кватерниона, а второе – векторной частью. Скалярная часть х – это просто
действительное число, а векторная часть может быть изображена вектором r =
yi + uj + vk в трехмерном пространстве, где i, j, k мы теперь рассматриваем
как единичные вектора прямоугольной системы координат.
Таким образом, каждый кватернион q представляется в виде суммы q = x +
r, где x – скалярная часть кватерниона q, а r – векторная часть. Если r =
0, то q = x и кватернион q называется скалярным кватернионом. Если же x =
0, то q = r и q называется векторным кватернионом.
При сложении кватернионов независимо складываются их скалярные и
векторные части.
При умножении дело обстоит сложнее. Если [pic] и [pic] – скалярные
кватернионы, то их произведение тоже скалярный кватернион. В случае, когда
[pic]= х – скалярный кватернион, а [pic] = r – векторный кватернион,
произведение [pic] является векторным кватернионом, и операция умножения
совпадает с умножением вектора r в пространстве на действительное число x.
И, наконец, если оба кватерниона векторные, то
[pic]
Как видно из последней формулы, скалярная часть произведения [pic][pic]
равна скалярному произведению [pic] векторов [pic] и [pic] с обратным
знаком. Векторная же часть [pic][pic] – это наш старый знакомый – векторное
произведение [pic], записанное в координатах.
Объединяя все рассмотренные случаи, получим общую формулу для умножения
кватернионов. Если [pic] и [pic], то
[pic]
А как же триплеты?
Почему же Гамильтону не удалось найти способа умножения триплетов?
Раньше уже было отмечено, что эту задачу решить нельзя. Доказано, что
попросту не существует способа умножения точек пространства,
удовлетворяющего нашим требованиям (ассоциативности, дистрибутивности
относительно покоординатного сложения, возможности деления на ненулевые
элементы). Сейчас, к тому же, известны все случаи, когда можно вести такое
умножение. Это доказал немецкий математик Ф. Г. Фробениус (1849 – 1917). По
его словам, этих случаев три: в размерности один (действительные числа), в
размерности два (комплексные числа) и в “размерности четыре” (кватернионы).
Что было дальше
Гамильтон и его последователи возлагали большие надежды на кватернионы.
От кватернионов ожидали таких же результатов, как от комплексных чисел, и
даже больше. И действительно, с помощью исчисления кватернионов были
обнаружены совершенные в их математической красоте формулы, описывающие ряд
важных физических явлений. Но дальнейшие надежды на развитие
алгебраического и функционального исчисления кватернионов не оправдались.
Для кватернионов не имеет места основная теорема алгебры о
существовании корней у многочлена с кватернионными коэффициентами, а, с
другой стороны, существует такой многочлен с кватернионными коэффициентами
от одной переменной, для которого любой кватернион является корнем.
Оптимизм сменился скепсисом. В начале нашего века математики перестали
интересоваться кватернионами. Но время шло, и физики упорно искали
математический формализм для некоторых эффектов, связанных с так называемым
спином элементарных частиц. Кватернионы снова получили признание, когда
была понята их роль в построении различных геометрических преобразований
пространства, используемых в квантовой физике. Геометрические свойства
кватернионов – это особая большая тема.
Для этого будет посвящен другой реферат.
Использованная литература:
Квант. Изд. “Наука”. Главная редакция физико-математической литературы,
Москва, 1983(9).
| |
