|
Реферат: Проективная геометрия (Математика)
Проективная геометрия развилась и выделилась в особую ветвь
геометрических знаний в первые десятилетия 19 века. Источником этого
явились потребности графики и архитектуры, развитие теории изображений в
перспективе.
Так, французский геометр Понселе одним из первых выделил особые
свойства геометрических фигур, названные им проективными.
Что это за свойства?
Пусть F- произвольная фигура в некоторой плоскости a , b - какая -
либо другая плоскость, т.О - произвольная точка пространства, не
принадлежащая ни одной плоскости (a и b). Точка, отсоединенная с любой
точкой М фигуры F, определяет прямую (ОМ), пересекающую плоскость b в
некоторой точке М/, которую мы будем называть проекцией точки М (на
плоскости b из центра О).
Проекции всех точек фигуры F на плоскость b составят некоторую
фигуру F/, которая называется проекцией фигуры F. Операция, с помощью
которой в данной задаче из фигуры F получена фигура F/ носит название
центрального проектирования из точки О. Если изменить положение точки О и
плоскости b мы получим бесконечное множество фигур(или иначе говоря,
центральных проекций фигуры F), которые в чем-то будут похожи на фигуру F,
но в чем-то и отличаться. Например, проектируя правильный треугольник,
получим тоже треугольник, но произвольной формы. Проектируя окружность,
можем получить эллипс или параболу, или даже гиперболу. При таком
проектировании не сохраняются метрические характеристики фигур (длина,
площадь и т. д. ).
Какие же свойства сохраняются? Они обычно называются инвариантами
преобразования, каковым в данном случае является преобразование
проектирования. Именно эти свойства фигур, инвариантные по отношению к
такому проектированию, Понселе назвал проективными свойствами, а предмет,
их изучающий- проективной геометрией.
Примеры инвариантных свойств.
1) Если фигура или объект - прямая, то после проектирования получим также
прямую.
2) Если фигура F- коническое сечение, т.е. описывается квадратичной
формой a11x2+a22y2+a12xy+a13x+a23y+a33 =0, то проекцией точек на
коническом сечении лягут также на некоторое коническое сечение. Таким
образом, отдельные виды конических сечений (окружности, эллипсы,
параболы, гиперболы) в проективной геометрии не отличаются - в отличие
от аффинной, например, где эллипс всегда перейдет в эллипс.
Важной предпосылкой превращения проективной геометрии в
самостоятельную дисциплину, было введение в употребление бесконечно
удаленных геометрических элементов. Займемся их определением.
Пусть А - произвольная точка пространства и a - прямая, не проходящая
через точку А. Проведем плоскость a через точку А и прямую а. Рассмотрим
всевозможные прямые, проходящие через точку А и лежащие в плоскости a
(рис.2).
Установим соответствие между прямыми пучка, проходящего через А и
точками на прямой а. Например, лучу m соответствует точка M. Очевидно, что
какую бы точку на прямой a мы ни выбрали, ей всегда соответствует
определенный луч. Однако, нельзя утверждать, что любому лучу соответствует
точка прямой a. Действительно, возьмем луч a/ , соответствующей точки на a
мы не найдем. Таким образом, соответствие между лучами пучка и точками
прямой a не является взаимно однозначными. Это не всегда удобно при
операциях проектирования. Чтобы устранить это неудобно, условимся считать
параллельные прямые, пересекающими на бесконечности. Тогда луч а/ из пучка
А, параллельный а, будет иметь на этой прямой соответствующую точку ,но не
обычную ,а называемую бесконечно удаленной точкой. Это новый геометрический
объект. Все параллельные друг другу прямые в плоскости a имеют одну общую
бесконечно удаленную точку, поэтому систему параллельных прямых называют
пучком с бесконечно удаленным центром (рис.3).
Бесконечно удаленные точки непараллельных прямых в плоскости
считаются различными. Таким образом, каждая плоскость содержит бесконечно
много различных бесконечно удаленных точек. Совокупность всех бесконечно
удаленных точек плоскости называется бесконечно удаленной прямой.
Таким образом, каждая плоскость содержит одну бесконечно удаленную
прямую.
Вполне логично совокупность всех бесконечно удаленных прямых назвать
бесконечно удаленной плоскостью.
Выводы:
множество объектов обычного евклидова пространства дополняется новыми
элементами:
1) К множеству точек каждой прямой добавляется одна бесконечно удаленная
точка;
2) К множеству прямых каждой плоскости добавляется одна бесконечно
удаленная прямая;
3) К множеству всех плоскостей пространства R3 добавляется бесконечно
удаленная плоскость.
Определение: прямая дополненная бесконечно удаленной точкой
называется
проективной прямой.
Проективную прямую следует представлять в виде замкнутой линии.
Плоскость, дополненная бесконечно удаленной прямой называется проективной
плоскостью. Пространство, дополненное бесконечно удаленной плоскостью
называется проективным пространством.
Термин бесконечности иногда употребляется и в обычной, элементарной
геометрии (например, что параллельные прямые сходятся в бесконечности),но
это лишь словесное выражение, в проективной же геометрии бесконечно
удаленные элементы играют такую же роль, как и обыкновенные геометрические
образы. В обычной геометрии большую роль играет изучение метрических
свойств фигур (длины, площади, углы, объемы).
В проективной, процесс измерения теряет смысл, т. к например, один
конец отрезка может оказаться в бесконечности. Таким образом, метрические
свойства фигур не являются проективными свойствами.
Проективная геометрия, как и любая другая, строится на некоторой
системе аксиом. Все аксиомы разбиты на три группы:
1.Аксиомы связи:
Кратко сформулируем их, учтя, что теперь в понятие любого объекта
включается бесконечно удаленные элементы.
1. Какие бы ни были две точки А и В всегда существует прямая,
проходящая через них.
2. Какие бы ни были две различные точки А и В, существует не более
одной прямой, проходящей через них.
3. На каждой прямой имеется не менее трех точек. Существует по крайней
мере 3 точки, не лежащие на одной прямой.
4. Через каждые три точки А, B, C не лежащие на одной прямой, проходит
некоторая плоскость a . На каждой плоскости имеется не менее одной
точки.
5. Через каждые три точки А, B, C не лежащие на одной прямой,
проходит не более одной плоскости.
6. Если две точки А и В прямой а лежат в плоскости a , то каждая точка
прямой а лежит в плоскости a .
7. Если две плоскости a и b имеют общую точку А, то они имеют еще по
крайней мере одну общую точку.
8. Имеется не менее четырех точек, не лежащих на одной плоскости.
9. Каждые две прямые, расположенные в одной плоскости имеют общую
точку.
Эти аксиомы повторяют аксиомы обычной евклидовой геометрии за
исключением пункта 1.9, которого там нет.
2.Аксиомы порядка:
В элементарной геометрии в основу определения порядка следования
точек на прямой заложено понятие о расположении точки между двумя другими
точками. Т. е. если есть две точки А и В то обязательно найдется точка С на
прямой А В, лежащая между А и В.
Такой порядок расположения точек является основой введения координат
точек на прямой (в дальнейшем на плоскости и в пространстве), т.е.
позволяет сделать отображение взаимного расположения точек на множество
действительных чисел, ввести единицу измерения.
В проективной геометрии прямая есть замкнутая в бесконечности линия,
поэтому нельзя в определение порядка положить принцип: что при заданных А и
В найдется точка С между ними, определяющая порядок следования точек на
прямой как А, В, C. И все-таки, какое-то определение порядка точек на
проективной прямой необходимо сделать хотя бы для введения ней системы
координат, определения проекции фигур в вычислительной геометрии или
машинной графике.
На прямой в обычной евклидовой геометрии положение точек можно было
характеризовать одним числом, одной координатой, отсчитываемой в некотором
масштабе от точки, принятой за ноль. Так как в проективной геометрии
бесконечно удаленная точка является равноправной с любой другой точкой, то
уже невозможно одним числом представить координату этой бесконечно
удаленной точки.
Здесь уже, на проективной прямой исходят из рассмотрения взаимного
расположения двух пар точек.
Пусть A и B, C и D две пары точек, расположенные на проективной
прямой (рис.5). Тогда чтобы совместить точку C с другой точкой своей пары,
т.е. CD мы при движении ее по прямой обязательно встретимся в какой-то
момент с т. A или т. B. Аналогично, чтобы совместить B с A, при движении
точки B она когда-нибудь совпадет с C или D. В таком случае говорят, что
пара точек A и B разделяет пару точек C и D. На этом основаны аксиомы
порядка и введения координат на проективной прямой.
1. Каковы бы ни были три различные точки A, B, C произвольной прямой U,
на этой прямой существует такая точка D, что пара A, B разделяет
пару C, D.
2. Если пара A, B разделяет пару C, D; пара C, D разделяет пару A, B.
3. Каковы бы ни были четыре различные точки A, B, C, D прямой из них
могут быть всегда единственным образом составлены две раздельные
пары.
Аксиомы 2.4, 2.5 касаются взаимного расположения пяти точек. Если
пары С,D и C, E разделяют A, B, то D E не разделяет A, В (рис.6). Если C, D
и C, E не разделяют A, B, то D, E не разделяет A, B (рис.7).
6. Пусть A, B и C, D две пары точек прямой U, A/, B/ и C/, D/ их
проекции из какого угодно центра на произвольную другую прямую U/.
Тогда если пары A, B и C, D разделяют друг друга, то пары A/, B/ и
C/, D/ тоже разделяют друг друга.
Таким образом, разделенность двух пар точек есть свойство,
инвариантное относительно проектирования. Это один из инвариантов
проективной геометрии.
Это свойство позволяет упорядочивать точки на прямой. Так если дан
отрезок АВ на проективной прямой, то множество его внутренних точек можно
упорядочить так: точка M предшествует точке N, если пара A, N разделяет
пару M, B (рис.8).
-----------------------
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Реферат на тему: Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике
Гимназия №1 города Полярные Зори
Алгебра, геометрия, физика.
Научная работа
ТЕМА "ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ В АЛГЕБРЕ, ГЕОМЕТРИИ, ФИЗИКЕ”.
Руководители:
Полуэктова Наталья Павловна,
преподаватель алгебры, геометрии
Конкин Александр Николаевич,
преподаватель физики, астрономии
Автор:
Бирюков Павел Вячеславович.
Полярные Зори
Январь-май 2001 г.
СОДЕРЖАНИЕ
Производная функция: ……………………………………………………………….3
1. Производная функция …………………………………………………………...3
2. Касательная к кривой ……………………………………………………………5
3. Геометрический смысл производной …………………………………………..6
4. Зависимость между дифференцируемостью и непрерывностью функции …..7
Производные от элементарных функций: …………………………………………8
1. Производная постоянной ………………………………………………………...8
2. Таблица элементарных производных …………………………………………...8
3. Правила дифференцирования …………………………………………………...8
Изучение функций с помощью производной: …………………………………….9
1. Признаки постоянства, возрастания и убывания функций ……………………9
2. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин ……….11
3. Максимум и минимум функции ……………………………………………….12
4. Признаки существования экстремума …………………………………………12
5. Правило нахождения экстремума ……………………………………………...14
6. Нахождение экстремума при помощи второй производной …………………14
7. Направление вогнутости кривой ………………………………………………16
8. Точки перегиба ………………………………………………………………….17
9. Механическое значение второй производной ………………………………...18
Дифференциал: ………………………………………………………………………19
1. Сравнение бесконечно малых ………………………………………………….19
2. Дифференциал функции ………………………………………………………..19
3. Дифференциал аргумента. Производная как отношение дифференциалов ...21
4. Приложения понятия дифференциала к приближенным вычислениям …….22
Примеры применения производной в алгебре, геометрии и физике ……….23
Список литературы …………………………………………………………………..34
Рецензия на работу ………………………………………………………………….35
Производная функция
Поставим своей задачей определить скорость, с которой изменяется величина
у в зависимости от изменения величины х. Так как нас интересуют
всевозможные случаи, то мы не будем придавать определенного физического
смысла зависимости y=f(x), т.е. будем рассматривать величины х и у как
математические.
Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную на отрезке [а, b]. Возьмем два
числа на этом отрезке: х и х+?x; первое, х, в ходе всего рассуждения
считаем неизменным, ?x — его приращением. Приращение ?x; аргумента
обусловливает приращение ?у функции, причем:
?y=f(x+?x)-f(x). (I)
Найдем отношение приращения ?у функции к приращению ?x аргумента:
?у/?x=(f(x+?x)-f(x))/ ?x.
(II)
По предыдущему, это отношение представляет собой среднюю скорость
изменения у относительно х на отрезке
[x, x+?x].
Будем теперь неограниченно приближать ?x к нулю.
Для непрерывной функции f(x) стремление ?x к нулю вызывает стремление к
нулю ?у, отношение (II) становится при этом отношением бесконечно малых,
вообще величиной переменной. Пусть это переменное отношение (II) имеет
вполне определенный предел(утверждать, что определенный предел отношения
?x/?у всегда существует нельзя), обозначим его символом f '(х).
(III)
С физической точки зрения этот предел есть значение скорости изменения
функции f(x) относительно ее аргумента при данном значении х этого
аргумента. В анализе этот предел называют производной данной функции в
точке х.
Определение. Производной данной функции в точки х называется предел
отношения приращения этой функции к приращению аргумента в точке х, когда
приращение аргумента стремится к нулю.
2°. Пусть каждому значению аргумента х соответствует определенное
значение скорости изменения функции f(x). Тогда скорость f '(х) есть
новая функция аргумента х, она называется производной функцией от данной
функции f(x).
Например, производная функция от квадратной функции Q=bt+at2 есть
линейная функция Q' = b + 2at.
3°. Производная функция обозначается так: 1) у данной функции ставится
штрих на том месте, где обычно помещается показатель степени, или 2)
перед обозначением
данной функции ставится символ d/dx.
Если данная функция обозначена буквой у, то ее производная может быть
обозначена:
1) у', читать: «производная функции у»,
или
2) dy/dx, читать: «дэ игрек по дэ икс».
Если данная функция обозначена символом f(x), то ее производная может
быть обозначена:
1) f '(х), читать: «производная функции f(x)»,
или же
2) df(x)/dx, читать: «дэ эф от икс по дэ икс».
4°. Нахождение производной от данной функции называется
дифференцированием данной функции.
Общее правило дифференцирования (нахождения производной) следующее:
1) найти приращение ?y функции, т. е. разность значений функции при
значениях аргумента x + ?x и x;
2) найти отношение ?y/?x, для этого полученное выше равенство разделить
на ?x;
3) найти предел отношения ?y/?x при ?x >0.
Пример. Найти производную функции у = х3 + 1 в любой точке x.
Решение. 1) ?y = (x + ?x)3 + 1 — (х3 + 1).
По выполнении действий:
?y = Зx2*?x+Зx*?x 2+?x 3;
2) ?y/?x=3x2 + Зx*?x+?x 2;
3) dy/dx = lim(3x2+3x*?x+?x 2 = 3x2+3x*0+0 = 3x2.
?x>0
5°. Заметим, что производная линейной функции у= =kx+b есть величина
постоянная, равная k.
Действительно, для линейной функции y = kx+b
?у = k*?x;
?y/?x=k;
6°. Производные часто встречаются в технике и естествознании. Примеры
производных: 1) при движении тела пройденный путь s есть функция от
времени t скорость движения в данный момент времени t есть производная от
пути s по времени t, т. е.
v=ds/dt;
2) при вращательном движении твердого тела (например, маховика) (черт)
вoкруг оси Ох, угол поворота его ? есть функция времени t:
?=f(t);
угловая скорость (омега) в данный момент времени t есть производная от
угла поворота по времени, т. е.
?=d?/dt;
3) при охлаждении тела температура Т тела есть функция времени t,
T=f(t);
скорость охлаждения в момент времени t есть производная от температуры
Т по времени с, т. е. dT/dt;
4) теплоемкость С для данной температуры t есть производная от количества
теплоты Q по температуре t,
C=dQ/dt;
5) при нагревании стержня его удлинение ?l, как показывают тщательные
опыты, лишь приближенно можно считать пропорциональным изменению
температуры Дt. Поэтому функция l=f(t) является не линейной, а отношение
?l/?t лишь средним коэффициентом линейного расширения на отрезке [t,
t+Дt]. Коэффициент линейного расширения а при данном значении температуры
t есть производная от длины l по температуре t,
?=dl/dt
Касательная к кривой
1°. Возьмем на прямой АВ (черт) точку С и проведем через нее прямую СМ,
не совпадающую с АВ. Вообразим, что прямая СМ вращается вокруг точки С
так, что угол ? между прямыми стремится к нулю. Неподвижная прямая АВ
называется в этом случае предельным положением подвижной прямой СМ.
2°, Вообразим, что на кривой АВ (черт. 93) точка М неограниченно
приближается к неподвижной точке С, секущая СМ при этом вращается вокруг
точки С. Может случиться, что, независимо от того, будет ли точка М
приближаться к С в направлении от A к С или от В к С (на черт точка M'),
существует одна и та же прямая СТ — предельное положение секущей СМ.
Определение. Прямая СТ, предельное положение секущей СМ, называется
касательной к кривой в точке С.
Точка С называется точкой прикосновения или касания.
3°. Следствие. Угол ? (черт.), образуемым касательной СТ с осью Ох, есть
предел угла ?, образуемого с осью Ох секущей СМ, для которой данная
касательная служит предельным положением.
Действительно, угол ? между касательной СТ и секущей СМ равен разности ?
— ?:
? — ? = ?.
По определению касательной, угол ? — бесконечно малая величина, а поэтому
? — lim?. (I)
4°. Теорема. Если к линии y=f(x) в точке х имеется касательная,
непараллельная Оу, то угловой коэффициент касательной равен значению
производной f '(х), в точке х.
Доказательство. Угловой коэффициент касательной:
tg? = tg(lim?),
так как, по предыдущему, ? = lim?.
Исключая случай ? = ?/2,
в силу непрерывности тангенса имеем: tg(lim?) = lim tg?.
Поэтому tg? = lim tg?.
По формуле (VI) для СМ (черт.) имеем:
tg?=(f(x+?x) -f (x))/?x
Переходя к пределу при ?x>0 (точка М при ?x> 0 неограниченно приближается
к С, а угол ?>?), имеем:
Следовательно, (IV)
Геометрический смысл производной
1°. Справедлива обратная теорема, выражающая геометрический смысл
производной: если функция y=f(x) имеет определенную производную в точке
х, то:
1) в этой точке имеется касательная к графику функции,
2) угловой коэффициент ее равен значению производной f '(x) в точке х.
Д о к а з а т е л ь с т в о. По условию, существует предел отношения
?y/?x. Но отношение ?у/?x есть тангенс угла секущей СМ (черт.).
?y/?x=tgx (1)
Значит, согласно условию, существует
Из равенства (1) следует:
?=arctg(?y/?x).
Вследствие непрерывности арктангенса, имеем:
Но, по условию, существует и равен числу f '(х).
Поэтому
Полагая arctg f '(x)=?, получаем:
Следовательно, существует предел ?. Значит, существует прямая, проходящая
через точку С, угол которой с Ох равен Такая прямая
есть касательная в данной точке С[х, f(x)] и ее угловой
коэффициент tg? = f '(x).
2°. Замечания. 1. Угловой коэффициент k прямой y=kx+b называется наклоном
прямой к оси Ох. Наклоном кривой y=f(x) в точке (х1, у1) называется
угловой коэффициент касательной к кривой, он равен значению производной в
этой точке, т. е. tg? = f '(х1).
2. Если касательная в точке (х1, y1) кривой y=f(x) образует с Ох: а)
острый угол ?, то производная f '(x)>0, так как tg? >0 (черт.); б) тупой
угол ?, то производная f '(х1)
0, а 00, и функция возрастает, когда x 0 (как и в предыдущей
теореме, здесь и в последующем 0 < ?x< ?):
Данная функция f(x) в левой полуокрестности точки с — возрастающая, так
как ее производная слева от точки с положительна, а в правой
полуокрестности — убывающая, так как ее производная справа от точки с
отрицательна (черт.), и вследствие этого ее значения
f(c —?x) и f(c+?x)
возрастают при стремлении ?x к нулю (по определению убывающей функции,
меньшему значению аргумента отвечает большее значение функции, т. е. при
x1>x2 f(x1) 0 при стремлении ?x к нулю,
?y/?x — f '(x)= ?.
Производя вычитание в левой части равенства, получаем:
(?y-f '(x)*?x)/?x = ?, или (?у - dy) ?x= ?,
7°. Из сказанного следует: дифференциал функции есть приближенное
значение ее приращения с относительной погрешностью, стремящейся к нулю
вместе с приращением аргумента.
8°. Из изложенного следует, что дифференциал dy функции y=f(x) обладает
двумя свойствами:
1) dy пропорционален ?x (dy = k?x, где k=y');
2) отношение (?y—dy)/?x стремится к нулю при стремлении ?x к нулю.
Обратно. Если величина z обладает двумя свойствами:
1) z=k?x и 2) то z есть дифференциал функции у.
Доказательство. Внося из (1) значение z во (2), имеем:
т. е. k = y',
а следовательно,
z = k?x = y’?x,
т. е. z есть дифференциал функции у.
Таким образом, эти два условия полностью определяют дифференциал.
Дифференциал аргумента. Производная как отношение дифференциалов
1°. Определение. Дифференциалом (dx) аргумента х называется, его
приращение, ?x:
dx =
?х (II)
Может быть, некоторым основанием к этому служит то, что дифференциал
функции у=х и приращение ее аргумента совпадают. Действительно,
dy = (x)' ?x, или dy = ?x.
Но так как
dy = dx, то dx = ?x,
т.е. дифференциал функции у =х и приращение ее аргумента совпадают.
2°. Внеся в формулу (I) значение ?x=dx, получаем:
(III)
т. е. дифференциал функции есть произведение ее производной на
дифференциал аргумента.
3°. Формула (III) обладает замечательным свойством, именно: формула dy =
f '(x)dx справедлива и в том случае, если x не является независимой
переменной величиной, а является функцией другого аргумента, например и.
Действительно, если х есть функция от и, то f(x) есть сложная функция от
u приращение dx обусловлено приращением ?u, и dy надо вычислять по
формуле;
dy = f 'u (x)* ?u.
Но
f 'u (x)= f’x (x)* x’u
Значит,
dy = f’(x)—x'u * ?u.
Но так как, по определению,
x'u ?u = dx,
то, следовательно,
dy = f '(x)dx.
4°. Пример. Найти дифференциал функции:
_____________________
у = ? (e2x—1).
Решение. По формуле (III)
dy = у'*dx.
Находим у':
________ ________
y’ = e2x*2/( 2? (e2x—1)) = e2x/ ? (e2x—1).
Значит
_______
dy = e2x*dx/ ? (e2x—1)
5°. Из формулы (III) следует;
f’(x)=dy/dx,
т. е. производная функции равна отношению дифференциала функции к
дифференциалу аргумента. Это иллюстрирует черт., где
dy/dx = PT/MP = tg?=f '(x)
для произвольного значения dx = MP.
Приложения понятия дифференциала к приближенным вычислениям
1°. Разность ?y—dy—бесконечно малая высшего порядка малости, чем ?x,
поэтому при достаточно малом ?x
(IV)
Это означает, что при малых изменениях аргумента (от начального значения
х) величину изменения функции y=f(x) можно приближенно считать
пропорциональной величине изменения аргумента с коэффициентом
пропорциональности, равным значению производной f '(x); кривую y=f (x)
при этом можно приближенно заменить касательной к ней в точке х.
Так как ?у = f(х + ?x)—f (x), то, заменяя в формуле (IV) ?у его
выражением, имеем: f(x+?x) - f(x) ? f '(x)* ?x
(V)
В математике производную применяют для:
1. Исследования функции на монотонность, экстремумы.
2. Нахождения касательной к графику.
3. Нахождения наибольших, наименьших значений функций.
4. Нахождения дифференциала для приближенных вычислений.
5. Для доказательства неравенств.
Рассмотрю некоторые примеры применения производной в алгебре, геометрии и
физике.
Задача 1. Найти сумму 1+2*1/3+3(1/3)2+…+100(1/3)99;
Решение.
Найду сумму g(x)=1+2x+3x2+…+100x99 и подставлю в нее x=1/3.
Для этого потребуется вспомогательная функция f(x)=x+x2+…+x100.
Ясно, что f ’(x)=g(x).
f(x) — сумма геометрической прогрессии.
Легко подсчитать, что f(x)=(x—x101)/(1—x). Значит,
g(x) = f ’(x) = ((1—101x100)(1—x)—(x—x100)(-
1))/(1—x)2=(1—102x100+101x101)(1—x)2.
Подставлю x = 1/3.
Ответ: 0,25(9—205*3-99)
Задача 2. Найти сумму 1+2*3+3*32+…+100*399;
Решение.
Найду сумму g(x)=1+2x+3x2+…+100x99 и подставлю в нее x=1/3.
Для этого потребуется вспомогательная функция f(x)=x+x2+…+x100.
Ясно, что f ’(x)=g(x).
f(x) — сумма геометрической прогрессии.
Легко подсчитать, что f(x)=(x—x101)/(1—x). Значит,
g(x) = f ’(x) = ((1—101x100)(1—x)—(x—x100)(-
1))/(1—x)2=(1—102x100+101x101)(1—x)2.
Подставлю x = 3.
Ответ: ? 2,078176333426855507665737416578*1050.
Задача 3. Найдите площадь треугольника AMB, если A и B — точки
пересечения с осью OX касательных, проведенных к графику y = (9—x2)/6 из
точки M(4;3).
Решение.
т. A = укас1?OX Решение:
т. B = укас2?OX укас =y(x0)+у’(x0)(x—x0);
y = (9—x2)/6 y’(x0) = -2x*1/6 = -x/3;
M(4;3)________ т.к. укас проходит через M(4;3), то
SAMB —? 3 = (9—x02) — (4—x0)* x0/3 | *3
18 = 9—x02—2x0(4—x0);
x02—8 x0—9 = 0;
Д/4 = 16 + 9;
x0 = 4+5 = 9;
x0 = 4—5 = -1
укас1 = -12 — (x—9)*9/3 = -3x+15;
укас1 = 4/3 + (x+1)*1/3 = x/3+5/3;
A(5;0); B(-5;0);
AM = ?10 (ед.);
AB = 10 (ед.);
BM = 3?10 (ед.);
p — полупериметр; __
p = (4?10 + 10)/2 = 2?10 + 5;
__ __ __ __
__ __
S = ?(2?10 + 5) (2?10 + 5—?10) (2?10 + 5—3?10) (2?10 + 5—10) =
= ?(2?10 + 5)(?10 + 5)(5—3?10)(2?10—5) =
= ?(40—25)(25—10) = 15 (ед2);
Ответ: 15 (ед2).
Задача 4. Какая наименьшая плоскость может быть у треугольника OAB, если
его стороны OA и OB лежат на графике функции y = (|x|—x)/2, а прямая AB
проходит через точку M(0;1).
Решение:
-x, x0
A(a;-a); B(b;0);_
AO = |a|?2 = -a?2 (т.к. a1(т.к. при b1, то найду ее
производную:
S’ = (4b(b—1)—b2)/(4(b—1)2) = (4b2—4b—2b2)/(4(b—1)2) = 2b(b—2)/(4(b—1)2)
=
= b(b—2)/(2(b—1)2);
S’ = 0;
точки экстремума:
b=0;
b=1;
b=2;
но b>1, значит
Sнаим =S(2) = 4/(2(2—1))=2(ед2);
Ответ: 2 ед2.
Задача 5. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 с ребрами CD = 24,
AD= 6 и DD1 =4 проведена плоскость через центр симметрии грани A1B1C1D1 ,
вершину А и точку Р, лежащую на ребре DC. Какую наименьшую площадь может
иметь сечение параллелепипеда этой плоскостью? На какие части делит точка
P ребро DC в этом случае?
Решение. Проведем плоскость и построим сечение (рис.). АО ( АA1C1С -
линия, принадлежащая данной плоскости. Продолжим АО до пересечения с CC1
в точке S. Тогда SP - линия пересечения грани DD1C1C и данной плоскости,
а сечение ANMP - параллелограмм. Sсеч = SAMNP = SK*AP/2 , потому что
SK/2— высота параллелограмма ANMP. Это видно из следующего рассуждения.
В ?ASC ОC1 - средняя линия (значит SC1 = 4), в ?PSC также средняя линия
МC1, а плоскость A1B1C1D1 делит пополам любую линию между S и плоскостью
ABCD, а значит и SK.
Пусть PC = x; ?CLP подобен ?DAP,
LC/AD = x/(24—x), LC = 6x/(24—x);_____________ ____________
Из ?CLP: KC = (6x*x/(24—x))/(?(36x2/(24—x)2)+x2) = 6x/(?(36+ (24—x)2);
________ ___________________
__________________
Из ?SCK: SK = ?SC2+ KC2 = ?64+36x2/(36+(24—x)2) = 2?16+9x2/(36+(24—x)2)
;
Из ?ADP: AP = ?36+(24—x)2;_____ _________________
__________________
Sсеч = AP*SK/2 = 0,5*(?36+(24—x)2) 2?16+9x2/(36+(24—x)2) =
?16(36+(24—x)2)+9x2;
Если S’(x) = 0, то 18x+16*2(24—x)(-1) = 0;
50x—32*24 = 0, x = 32*24/50 = 32*12/25 = 384/25 (это точка min);
Sсеч = 312;
DP = 24—16*24/25 = 216/25;
Ответ: 312 кв. ед.; DC: 384/25; 216/25.
Задача 6. Высота пирамиды TABC с основанием ABC проходит через середину
ребра AC. Выберите на AC точку М так, чтобы площадь сечения пирамиды
плоскостью, проходящей через точку M, середину ребра TC и вершину B, была
наименьшей, если AB=BC=AC=TC=2.
Решение. HF=FC=1/2;
S?BME = BM*EK*1/2;___ _
Из ?TCH => TH = ?4—1=?3;
EF = TH/2=?3/2;
Пусть MC = x.
Из ?BMC по теореме косинусов MB2= x2+4—2*2*x*1/2;
MB = ?x2—2x+4; _ _
S?BMC = 0,5*MC*BC*sinC=(x/2)*2?3 /2 = x?3/2;
S?BMC = 0,5*BM*PC, _ ________
PC = (2S?BMC)/BM, PC = x?3/?x2—2x+4 ;
?KMF подобен ?PMC(по двум углам):
KF/PC = MF/MC(рис 2),_____ _ _________
KF = x?3(x—1/2)/(x?x2—2x+4) = ?3(x—1/2)/(?x2—2x+4);
________ ______________________
Из ?KEF => KE = ? KF2+EF2 = ?3(x—1/2)2/(x2—2x+4)+3/4;
_
S?BME = 0,5?x2—2x+4 *?3(x—1/2)2/(x2—2x+4)+3/4 =
0,5?3(x—1/2)2+(x2—2x+4)*3/4;
Если S’(x) = 0, то
6(x—1/2)+(2x—2)*3/4 = 0;
15x—9 = 0;
x = 3/5; __
S(3/5) = ?15/5 кв.ед.
Ответ: ?15/5 кв.ед.
Задача 7. В сферу радиусом R вписана правильная треугольная пирамида, у
которой боковое ребро образует с высотой пирамиды угол 60o. Какую
наименьшую площадь может иметь треугольник MBK, если точка M лежит на
апофеме пирамиды, а BK — высота основания пирамиды, не пересекающая
апофему?
Решение. TP = 2R, (ATO = 60o.
Пусть AB = BC = CA = a(рис.)
Тогда AO = a?3/3,
AD = BK = a?3/2, _ _
TO = AO*ctg60o= a?3/3*1/?3 = a/3,
OD = a?3 /6,
AO2 = TO*OP = TO(2R - TO),
a2/3 = a(2R – a/3)/3, a = 3R/2.
S?MBK = BK*LM*1/2, BK = const,
S?MBK = f(LM),__
LM = ?MN2+NL2
Пусть MD = x, тогда MN = x cos / NMD; _
cos ( NMD = TO/TD = a/(3?a2/9+a2/12 = 2/?7, MN = 2x/?7 .
Из ?ONL: LN = ON cos30o ((ONL = 30o);
ON = OD – ND, _ _ _ _ _
ND = x sin (NMD = x ?3/?7, ON = a?3/6 - x?3/?7,
LN = (a?3/6 - x?3/7)?3/2 = (a/4 – 3x/(2?7)),
LM = ?4x2/7+(a/4 – 3x/(2?7))2. _ _
Если LM’(x) = 0, то 8x/7+2(a/4 – 3x/(2?7))(-3/2?7) = 0,
8x/7 – 3a/4?7 + 9x/14 = 0,
25x/14 = 3a/4?7,
x = 21a/50?7. __ __
MN = (21a/50?7)*(2/?7) = 3a/25,
LN = a/4 – (3/2?7)*(21a/50?7) = 4a/25,
LM = ?a2/625 + 9a2/625 = a?10/25. _
S?MBK = a?3/2*a/5*1/2 = a?3/20 = 9?3 R2/80.
Ответ: 9?3 R2/80.
Задача 8. В сферу радиусом R вписана правильная треугольная пирамида,
высота которой в 1,5 раза меньше высоты основания. Между боковой гранью
пирамиды и сферой расположена правильная четырехугольная призма, одно из
оснований которой (ближнее к центру сферы) лежит в плоскости боковой
грани пирамиды, а вершины другого основания принадлежат сфере. Какой
должна быть высота призмы, чтобы ее объем был наибольшим? Найти этот
объем.
Решение. SABC – правильная треугольная пирамида (рис), вписанная в сферу
радиусом R,
SO*1,5 = AD,
LMN – правильная четырехугольная призма.
Найти. Vпр = f(LM).
Пусть SO = H, тогда AD = 1,5H;
SO1 = R – радиус сферы; LM = x –высота призмы.
?SKO1 подобен ?SOD => O1K/OD = SO1/SD => OK1 = OD*SO1/SD.
Из ?AO1O: R2 = AO2 + O1O2 = (2AD/3)2 + (AD*2/3 - R)2,
R2 = 4AD2/9 + 4AD2/9 –AD*R*4/3,
8AD2/9 = AD*R*4/3 => AD = 3R/2.
Отсюда OD = R/2;
AO1 = R и SO1 = R; _
SD = ?R2 + R2/4 = R?5/2, _
OK1 = 2*R*R/(2R?5) = R?5/5;
O1K = R?5/5.
Из ?O1FN => R2 = (O1K + x)2 + NF2,
NF = ?R2 – R2/5 – 2x(?5)2/5 – x2 ,
Sосн = 2NF2. _
Vпр = Sосн*x = 2(R2 – R2/5 – 2x?5 R/5 - x2)*x;
Vпр = 2(4R2x/5 – 2x2?5 R/5 - x3);
V’пр(x) = 2(4R2/5 – 2x?5 R/5 - 3x2) = 0; _
x 1,2 = (2R?5/5 + ?4R2/5 + 12R2/5)/(-3) = (2R?5/5 + 4R/?5)/(-3);
x = 2?5 R/15 _ _
Vпр.max = 2(4R2*2?5R/(5*15) – 2?5R*4R2/(45*5) - _ 40?5R3/(225*15)) =
16R3?5(1 – 1/3 – 5/45)/75 = 16?5R3/135.
Ответ: 16?5R3/135 м3 при H = 2?5R/15.
Задача 9. В конус вписан цилиндр, одно из оснований которого лежит в
плоскости основания конуса, а окружность другого основания принадлежит
боковой поверхности конуса. Правильная четырехугольная призма расположена
так, что ее нижнее основание лежит в плоскости верхнего основания
цилиндра, вершины верхнего основания принадлежат боковой поверхности
конуса. Отношение длины диагонали основания призмы к ее высоте равно
отношению длины диаметра цилиндра к его высоте. При какой высоте цилиндра
объем призмы будет наибольшим? Найти этот объем призмы, если высота
конуса – H и радиус основания – R.
Дано. ASO – конус;
SO = H;
AO = R;
CL/CM = BK/BN;
Найти. BN, чтобы Vпр = max
Решение. BN = x, CM = h, Vпр = Sосн CM = CL2h/2.
?CSD подобен ?ASO: CD/AO = SD/SO;
CD/R = (H – x - h)/H;
CD = R(H – x -h)/H.
?BSE подобен ?ASO: BE/AO = SE/SO;
BE/R = (H - h)/H;
BE = R(H - h)/H.
Находим отношение CD/BE = (H – x - h)/(H - x).
Исходя из условия (CL/CM = BK/BN) задачи делаем вывод,
что CD/BE = h/x, т. е. (H – x - h)/(H - x) = h/x => h = (Hx – x2)/H
Тогда CD = R(H – x – (Hx – x2)/H)/H = R(H2 – Hx – Hx +x2)/H2 = R(H -
x)2/H2,
CL = 2CD = 2R(H - x)2/H2.
V = 4R2(H - x)4(H - x)x/(2H*H4) = 2R2(H - x)5x/H5;
V’(x) = 2R2((H - x)5 – 5(H - x)4 x)/H5 = 0,
(H – x) – 5x = 0, x = H/6.
V = 2HR2(5H/6)5/(6H5) = 2R2H*55/66.
Ответ: при H/6, Vmax = 2R2H*55/66.
В физике производная применяется в основном для вычисления наибольших
или наименьших значений для каких-либо величин.
Задача 1.Потенциальная энергия U поля частицы, в котором находится
другая, точно такая же частица имеет вид: U = a/r2 – b/r, где a и b —
положительные постоянные, r — расстояние между частицами.
Найти:
а) значение r0 соответствующее равновесному положению
частицы;
б) выяснить устойчиво ли это положение;
в) Fmax значение силы притяжения;
г) изобразить примерные графики зависимости U(r) и
F(r).
U = a/r2 – b/r; Решение:
a и b — counts; Для определения r0 соответствующего равновесному
r0 — ? положению частицы исследуем f = U(r) на экстремум.
Fmax — ? Используя связь между потенциальной энергией поля
U и F, тогда F = -dU/dr, получим F = -dU/dr
= - (-2a/r3+b/r2) = 0;
при этом r = r0; 2a/r3 = b/r2 => r0 = 2a/b;
Устойчивое или неустойчивое равновесие определим по знаку второй
производной:
d2U/dr02= dF/dr0=-6a/r04 + 2b/r03 = -6a/(2a/b)4+2b/(2a/b)3=(-b4/8a3) mgH1 = mgH2 + J2R?t => mg(H1 - H2) = (B0S??/R)2R?t =>
mg(H1 - H2) = (B0S??)2?t/R
(*)
Разность (H1 - H2) есть расстояние, пройденное кольцом при равномерном
движении, поэтому H1 - H2 = ??t, и уравнение (*) примет вид:
mg??t = (B0S??)2?t/R => mg = (B0S?)2?/R =>
? = mgR/(B0S?)2 = 16mgR/(B0?d2?)2.
Ответ: ? = mgR/(B0S?)2 = 16mgR/(B0?d2?)2.
Задача 6. Цепь с внешним сопротивлением R = 0,9 Ом питается от батареи из
k=36 одинаковых источников, каждый из которых имеет ЭДС E=2 В и
внутреннее сопротивление r0 = 0,4 Ом. Батарея включает n групп,
соединенных параллельно, а в каждой из них содержится m последовательно
соединенных аккумуляторов. При каких значениях m, n будет получена
максимальная J во внешнем R(см. рис.).
Решение:
При последовательном соединении аккумуляторов Eгр = m*E; rгр = r0*m;
а при параллельном соединении одинаковых rбат = r0m/n; Eбат = m*E,
По закону Ома J = mE/(R+ r0m/n) = mEn/(nR + r0m)
Т.к. k – общее число аккумуляторов, то k = mn;
J = kE/(nR + r0m) = kE/(nR + kr0/n);
Для нахождения условия при котором J тока в цепи максимальная исследую
функцию J = J(n) на экстремум взяв производную по n и приравняв ее к
нулю.
J’n-(kE(R—kr0/n2))/ (nR + kr0/n)2 = 0;
n2 = kr/R; .
n = ?kr/R = ?3,6*0,4/0,9 = 4;
m = k/n = 36/4 = 9;
при этом Jmax = kE/(nR + mr0) = 36*2/(4*0,9 + 9*0,4) = 10 А;
Ответ: n = 4, m = 9.
Задача 7. Платформа массой М начинает двигаться вправо под действием
постоянной силы F. Из неподвижного бункера на нее высыпается песок.
Скорость погрузки постоянна и равна ( кг/с. Пренебрегая трением, найти
зависимость от времени ускорения а платформы в процессе погрузки.
Определить ускорение а1 платформы в случае, если песок не насыпается на
платформу, а из наполненной высыпается через отверстие в ее дне с
постоянной скоростью ( кг/с.
Решение.
Рассмотрим сначала случай, когда песок насыпается на платформу
Движение системы платформа-песок можно описать с помощью второго закона
Ньютона:
dP/dt = F(
P – импульс системы платформа-песок, F( – сила, действующая на систему
платформа-песок.
Если через p обозначить импульс платформы, то можно написать:
dp/dt = F
Найдем изменение импульса платформы за бесконечно малый промежуток
времени (t:
(p = (M+((t+(t))(u+(u) – (M+(t)u =F(t
где u – скорость платформы
Раскрыв скобки и, проведя сокращения получаем:
(p = (u(t + M(u+((ut+ ((u(t =F(t
Разделим на (t и перейдем к пределу (t (0
Mdu/dt+(tdu/dt+(u=F
или
d[(M+(t)u]/dt = F
Это уравнение можно проинтегрировать, считая начальную скорость платформы
равной нулю:
(M+(t)u = Ft
Следовательно:
u = Ft/(M+(t)
Тогда, ускорение платформы:
a = du/dt = (F(M+(t)-Ft()/(M+(t)2 = FM / (M+(t)2
Рассмотрим случай, когда песок высыпается из наполненной платформы.
Изменение импульса за малый промежуток времени:
(p = (M-((t+(t))(u+(u) +((tu – (M-(t)u = F(t
Слагаемое ((tu есть импульс количества песка, которое высыпалось из
платформы за время (t
Тогда:
(p = M(u - (t(u - ((t(u = F(t
Разделим на (t и перейдем к пределу (t (0
(M-(t)du/dt = F
или
a1=du/dt= F/(M-(t)
Ответ: a = FM / (M+(t)2 , a1= F/(M-(t)
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. М64 И. Ф. Суворов “Курс высшей математики для техникумов”. М.:
Просвещение, 1964.
2. М 71 В. В. Ткачук “Математика—абитуриенту”. М.: Просвещение, 1980.
3. P60 Д. Е. Родионов, Е. М. Родионов “Стереометрия в задачах”. М.: Учебный
центр “Ориентир” – “Светоч”, 1998.
4. P60 В. А. Колесников. “Физика. Теория и методы решения конкурсных задач.
Часть II”. М.: Учебный центр “Ориентир” – “Светоч”, 2000.
5. Л77 Л. М. Лоповок “1000 проблемных задач по математике”. М.:
Просвещение, 1995.
6. М89 Д. Т. Письменный “Математика для старшеклассников. Теориязадачи”.
М.: “Айрис”, “Рольф”, 1996.
7. С 82 М. Я. Выгодский “Справочник по элементарной математике”. Спб.:
Союз, 1997.
8. В20 В. И. Васюков, И. С. Григорьян, А. Б. Зимин, В. П. Карасева “Три
подсказки – и любая задача решена! Часть III”. М.: Учебный центр
“Ориентир” при МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000.
9. Э 61 В. А. Чуянов “Энциклопедический словарь юного физика”. М.:
Педагогическа-Пресс, 1999.
10. Б 27 А. Б. Басков, О. Б. Баскова, Н. В. Мирошин “Математика. Часть 2.
Алгебра и начала анализа”. М.: МИФИ, 1997.
РЕЦЕНЗИЯ НА РАБОТУ
-----------------------
lim((f(x+?x)-f(x))/ ?x)=f’(x)
?x>0
dy/dx=lim(?y/?x)=lim k=k.
?x>0 ?x>0
?
x
??
tg?=f '(x)
lim tg ? =lim((f(x+?x)-f(x))/?x)=f '(x).
?x>0 ?x>0
f(x+ ?x)
f(x)
?x
x
N
?
?
?
X
C
T
M
A
0
Y
?
?
X
M’
C
T
M
A
B
0
Y
?
B
M
C
A
lim tg? = tg(lim?)
? x>0 ? x>0
lim ? = lim arctg(?y/?x)=arctg(lim(?y/?x)).
? x>0 ? x>0 ? x>0
lim(?y/?x)
? x>0
lim ? = arctg f’(x).
? x>0
lim ? = ?.
? x>0
lim ? = ?.
? x>0
T
M
C
C
?
?
?
?
X
M
T
M
C
C
?
?
?
?
T
X
M
C
B
A
T
T
T
X
T
M
M
A
X
?
?/2
T
M
B
X
?/2
?
M
M
?
?
?/2
X
C
lim ?y = 0
? x>0
X
0
Y
0
x
?x
c
c
M
M’
Y
X
lim (?x/?y)=0, т. е.
?x>0
c’=0
0
T
M
N
a
b
X
Y
X
Y
a
0
x
?x
b
P
M
M1
Q
?y>0
0
a
x
?x
X
Y
M
M1
P1
?y0 + ?x>0
lim f(c - ?x) = f(c) и lim f(c + ?x) = f(c).
- ?x>0 + ?x>0
Y
0
X
C
2?
m
f(c-?x)
-?x
+?x
f(c)
f(c+?x)
lim (?y/?x)>0.
?x>0
f ’’(c) = lim ((f’(c + ?x)-f ’(c))/?x)>0.
?x>0
Y
X
0
a
b
c
M1
M2
M3
M4
M5
X
Y
?5
?1
?2
?3
?4
T
T
N
M
P
lim (?/?) = lim (1+x) =2.
х>1
lim((1-cosx)/x) = lim((2sin2(x/2))/x) = lim((sin(x/2))*sin(x/2)/(x/2))=
x>0 x>0 x/2>0
=lim((sin(x/2))/(x/2))*lim(sin(x/2)) = 1*0 = 0
x/2>0 x/2>0
dy=f '(x)*?x
P
?
?x
x
0
M
N
Q
T
X
Y
lim((?y-dy)/ ?x) = lim ? = 0.
?x > 0 ?x > 0
lim((?y—z)/ ?x) = 0
?x>0
lim((?y-k*?x)/ ?x) = lim(?y/?x—k) = lim(?y/?x)—limk = y’—k=0,
?x > 0
?x > 0 ?x > 0
dy = f ’(x)*dx,
?y ? dy =f '(х)?x
f(x+?x) ? f(x) + f '(x)* ?x
y
B
A
x
A
B
D
P
A1
C
K
L
S
M
N
O
D1
C1
B1
24
6
4
A1
C1
C
A
O
S
4
4
D
C
B
A
24-x
L
P
x
K
A
B
C
K
M
H
E
T
F
A
B
M
F
C
K
P
O
K
A
T
P
C
D
L
N
M
A
S
B
C
L
O
M
N
D
P
O1
K
F
S
D
C
L
B
M
A
N
O
K
h
x
E
H/6
x
a/b
2a/b
3a/b
3a/b
2a/b
a/b
r
U
F
r
0
0
O
H2
H1
H
B
n
?
m
n
R
E
mE
n
R
mr
mE
mr/n
R
=>
=>
(
М
F
| |
