|
Реферат: Динамика твердого тела (Физика)
Министерство образования и науки
Республики Казахстан
Карагандинский Государственный Университет
имени Е.А.Букетова
Кафедра общей и теоретический физики
Курсовая работа
на тему:
Динамика твердого тела
Подготовил:
________________
________________
Проверил:
________________
________________
Караганды – 2003г.
Введение
o I. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
. Кинетическая энергия вращающегося тела и работа внешних сил (ось
вращения неподвижна)
. Свободные оси. Устойчивость свободного вращения
. Центр удара
o II. Плоское движение твердого тела
. Кинетическая энергия при плоском движении
Заключение
Введение
В общем случае абсолютно твердое тело имеет 6 степеней свободы, и для
описания его движения необходимы 6 независимых скалярных уравнений или 2
независимых векторных уравнения.
Вспомним, что твердое тело можно рассматривать как систему материальных
точек, и, следовательно, к нему применимы те уравнения динамики, которые
справедливы для системы точек в целом.
Обратимся к опытам.
Возьмем резиновую палку, утяжеленную на одном из концов и имеющую
лампочку точно в центре масс (рис. 3.1). Зажжем лампочку и бросим палку из
одного конца аудитории в другой, сообщив ей произвольное вращение -
траекторией лампочки будет при этом парабола - кривая, по которой полетело
бы небольшое тело, брошенное под углом к горизонту.
|[pic] |
|Рис. 3.1. |
Стержень, опирающийся одним из концов на гладкую горизонтальную
плоскость (рис.1.16), падает таким образом, что его центр масс остается на
одной и той же вертикали - нет сил, которые сдвинули бы центр масс стержня
в горизонтальном направлении.
Опыт, который был представлен на рис. 2.2 а, в, свидетельствует о том,
что для изменения момента импульса тела существенна не просто сила, а ее
момент относительно оси вращения.
Тело, подвешенное в точке, не совпадающей с его центром масс
(физический маятник), начинает колебаться (рис. 3.2а) - есть момент силы
тяжести относительно точки подвеса, возвращающий отклоненный маятник в
положение равновесия. Но тот же маятник, подвешенный в центре масс,
находится в положении безразличного равновесия (рис. 3.2б).
|[pic] |
|Рис. 3.2. |
Роль момента силы наглядно проявляется в опытах с "послушной" и
"непослушной" катушками (рис. 3.3). Плоское движение этих катушек можно
представить как чистое вращение вокруг мгновенной оси, проходящее через
точку соприкосновения катушки с плоскостью. В зависимости от направления
момента силы F относительно мгновенной оси катушка либо откатывается (рис.
3.За), либо накатывается на нитку (рис. 3.Зб). Держа нить достаточно близко
к горизонтальной плоскости, можно принудить к послушанию самую
"непослушную" катушку.
|[pic] |
|Рис. 3.3. |
Все эти опыты вполне согласуются с известными законами динамики,
сформулированными для системы материальных точек: законом движения центра
масс и законом изменения момента импульса системы под действием момента
внешних сил. Таким образом, в качестве двух векторных уравнений движения
твердого тела можно использовать:
Уравнение движения центра масс
|[pic] |(3.1) |
Здесь [pic]- скорость центра масс тела, [pic]- сумма всех внешних сил,
приложенных к телу.
Уравнение моментов
|[pic] |(3.2) |
Здесь L- момент импульса твердого тела относительно некоторой точки,
[pic]- суммарный момент внешних сил относительно той же самой точки.
К уравнениям (3.1) и (3.2), являющимся уравнениями динамики твердого
тела, необходимо дать следующие комментарии:
1. Внутренние силы, как и в случае произвольной системы материальных
точек, не- влияют на движение центра масс и не могут изменить момент
импульса тела.
2. Точку приложения внешней силы можно произвольно перемещать вдоль
линии, по которой действует сила. Это следует из того, что в модели
абсолютно твердого тела локальные деформации, возникающие в области
приложения силы, в расчет не принимаются. Указанный перенос не повлияет и
на момент силы относительно какой бы то ни было точки, так как плечо силы
при этом не изменится.
Векторы L и M в уравнении (3.2), как правило, рассматриваются
относительно некоторой неподвижной в лабораторной системе XYZ точки. Во
многих задачах L и M удобно рассматривать относительно движущегося центра
масс тела. В этом случае уравнение моментов имеет вид, формально
совпадающий с (3.2). В самом деле, момент импульса тела [pic]относительно
движущегося центра .масс О связан с моментом импульса [pic]относительно
неподвижной - точки O' соотношением:
|[pic] |(3.3) |
где R - радиус-вектор от O' к О, p - полный импульс тела. Аналогичное
соотношение легко может быть получено и для моментов силы:
|[pic] |(3.4) |
где F - геометрическая сумма всех сил, действующих на твердое тело.
Поскольку точка O' неподвижна, то справедливо уравнение моментов (3.2):
|[pic] |(3.5) |
Тогда
|[pic] |(3.6) |
Величина [pic]есть скорость точки О в лабораторной системе XYZ.
Учитывая (3.4), получим
|[pic] |(3.7) |
Поскольку движущаяся точка O - это центр масс тела, то [pic]([pic] -
масса тела), [pic]и [pic]то есть уравнение моментов относительно
движущегося центра масс имеет такой же вид, что и относительно неподвижной
точки. Скорости всех точек тела при определении [pic]следует брать
относительно центра масс тела.
Ранее было показано, что произвольное движение твердого тела можно
разложить на поступательное (вместе с системой x0y0z0, начало которой
находится в некоторой точке - полюсе, жестко связанной с телом) и
вращательное (вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс). С точки
зрения кинематики выбор полюса особого значения не имеет, с точки же зрения
динамики полюс, как теперь понятно, удобно поместить в центр масс. Именно в
этом случае уравнение моментов (3.2) может быть записано относительно
центра масс (или оси, проходящей через центр масс) как относительно
неподвижного начала (или неподвижное оси).
Если [pic]не зависит от угловой скорости тела, а [pic]- от скорости
центра масс, то уравнения (3.1) и (3.2) можно рассматривать независимо друг
от друга. В этом случае уравнение (3.1) соответствует просто задаче из
механики точки, а уравнение (3.2) - задаче о вращении твердого тела вокруг
неподвижной точки или неподвижной оси. Пример ситуации, когда уравнения
(3.1) и (3.2) нельзя рассматривать независимо - движение вращающегося
твердого тела в вязкой среде.
Далее в этой лекции мы рассмотрим уравнения динамики для трех частных
случаев движения твердого тела: вращения вокруг неподвижной оси, плоского
движения и, наконец, движения твердого тела, имеющего ось симметрии и
закрепленного в центре масс.
I. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
В этом случае движение твердого тела определяется уравнением
|[pic] |
Здесь [pic]- это момент импульса относительно оси вращения, то есть
проекция на ось момента импульса, определенного относительно некоторой
точки, принадлежащей оси. [pic]- это момент внешних сил относительно оси
вращения, то есть проекция на ось результирующего момента внешних сил,
определенного относительно некоторой точки, принадлежащей оси, причем выбор
этой точки на оси, как и в случае с [pic]значения не имеет. Действительно
(рис. 3.4), [pic]где [pic]- составляющая силы, приложенной к твердому телу,
перпендикулярная оси вращения, [pic]- плечо силы [pic]относительно оси.
|[pic] |
|Рис. 3.4. |
Поскольку [pic]([pic] - момент инерции тела относительно оси вращения),
то вместо [pic]можно записать
|[pic] |(3.8) |
или
|[pic] |(3.9) |
поскольку в случае твердого тела [pic]
Уравнение (3.9) и есть основное уравнение динамики вращательного
движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Его векторная. форма имеет
вид:
|[pic] |(3.10) |
Вектор [pic]всегда направлен вдоль оси вращения, а [pic]- это
составляющая вектора момента силы вдоль оси.
В случае [pic]получаем [pic]соответственно и момент импульса
относительно оси [pic]сохраняется. При этом сам вектор L, определенный
относительно какой-либо точки на оси вращения, может меняться. Пример
такого движения показан на рис. 3.5.
|[pic] |
|Рис. 3.5. |
Стержень АВ, шарнирно закрепленный в точке А, вращается по инерции
вокруг вертикальной оси таким образом, что угол [pic]между осью и стержнем
остается постоянным. Вектор момента импульса L, относительно точки А
движется по конический поверхности с углом полураствора [pic]однако
проекция L на вертикальную ось остается постоянной, поскольку момент силы
тяжести относительно этой оси равен нулю.
Кинетическая энергия вращающегося тела и работа внешних сил (ось
вращения неподвижна).
Скорость i -й частицы тела
|[pic] |(3.11) |
где [pic]- расстояние частицы до оси вращение Кинетическая энергия
|[pic] |(3.12) |
так как угловая скорость вращения для всех точек одинакова.
В соответствии с законом изменения механической энергии системы
элементарная работа всех внешних сил равна приращению кинетической энергии
тела:
|[pic] |(3.13) |
Работа внешних сил при повороте тела на конечный угол [pic]равна
|[pic] |(3.14) |
опустим, что диск точила вращается по инерции с угловое скоростью
[pic]и мы останавливаем его, прижимая какой-либо предмет к краю диска с
постоянным усилием. При этом на диск будет действовать постоянная по
величине сила [pic]направленная перпендикулярно его оси. Работа этой силы
|[pic] |
где [pic]- радиус диска, [pic]- угол его поворота. Число оборотов,
которое сделает диск до полной остановки,
|[pic] |
где [pic]- момент инерции диска точила вместе с якорем электромотора.
Замечание. Если силы таковы, что [pic]то работу они не производят.
Свободные оси. Устойчивость свободного вращения.
При вращении тела вокруг неподвижной оси эта ось удерживается в
неизменном положении подшипниками. При вращении несбалансированных частей
механизмов оси (валы) испытывают определенную динамическую нагрузку,
Возникают вибрации, тряска, и механизмы могут разрушиться.
Если твердое тело раскрутить вокруг произвольной оси, жестко связанной
с телом, и высвободить ось из подшипников, то ее направление в
пространстве, вообще говоря, будет меняться. Для того, чтобы произвольная
ось вращения тела сохраняла свое направление неизменным, к ней необходимо
приложить определенные силы. Возникающие при этом ситуации показаны на рис.
3.6.
|[pic] |
|Рис. 3.6. |
В качестве вращающегося тела здесь использован массивный однородный
стержень АВ, прикрепленный к достаточно эластичной оси (изображена двойными
штриховыми линиями). Эластичность оси позволяет визуализировать
испытываемые ею динамические нагрузки. Во всех случаях ось вращения
вертикальна, жестко связана со стержнем и укреплена в подшипниках; стержень
раскручен вокруг этой оси и предоставлен сам себе.
В случае, изображенном на рис. 3.6а, ось вращения является для точки В
стержня главной, но не центральной, [pic]Ось изгибается, со стороны оси на
стержень действует сила [pic]обеспечивающая его вращение (в НИСО, связанной
со стержнем, эта сила уравновешивает центробежную силу инерции). Со стороны
стержня на ось действует сила [pic]уравновешенная силами [pic]со стороны
подшипников.
В случае рис. 3.6б ось вращения проходит через центр масс стержня и
является для него центральной, но не главной. Момент импульса относительно
центра масс О не сохраняется и описывает коническую поверхность. Ось
сложным образом деформируется (изламывается), со стороны оси на стержень
действуют силы [pic]и [pic]момент которых обеспечивает приращение [pic](В
НИСО, связанной со стержнем, момент упругих сил компенсирует момент
центробежных сил инерции, действующих на одну и другую половины стержня).
Со стороны стержня на ось действуют силы [pic]и [pic]направленные
противоположно силам [pic]и [pic]Момент сил [pic]и [pic]уравновешен
моментом сил [pic]и [pic]возникающих в подшипниках.
И только в том случае, когда ось вращения совпадает с главной
центральной осью инерции тела (рис.3.6в), раскрученный и предоставленный
сам себе стержень не оказывает на подшипники никакого воздействия. Такие
оси называют свободными осями, потому что, если убрать подшипники, они
будут сохранять свое направление в пространстве неизменным.
Иное дело, будет ли это вращение устойчивым по отношению к малым
возмущениям, всегда имеющим место в реальных условиях. Опыты показывают,
что вращение вокруг главных центральных осей с наибольшим и наименьшим
моментами инерции является устойчивым, а вращение вокруг оси с
промежуточным значением момента инерции - неустойчивым. В этом можно
убедиться, подбрасывая вверх тело в виде параллелепипеда, раскрученное
вокруг одной из трех взаимно перпендикулярных главных центральных осей
(рис. 3.7). Ось AA' соответствует наибольшему, ось BB' - среднему, а ось
CC' - наименьшему моменту инерции параллелепипеда. Если подбросить такое
тело, сообщив ему быстрое вращение вокруг оси AA' или вокруг оси CC', можно
убедиться в том, что это вращение является вполне устойчивым. Попытки
заставить тело вращаться вокруг оси BB' к успеху не приводят - тело
движется сложным образом, кувыркаясь в полете.
|[pic] |
|Рис. 3.7. |
В телах вращения устойчивой оказывается свободная ось, соответствующая
наибольшему моменту инерции. Так, если сплошной однородный диск подвесить к
быстровращающемуся валу электромотора (рис. 3.8, ось вращения вертикальна),
то диск довольно быстро займет горизонтальное положение, устойчиво вращаясь
вокруг центральной оси, перпендикулярной к плоскости диска.
|[pic] |
|Рис. 3.8. |
Центр удара.
Опыт показывает, что если тело, закрепленное на оси вращения,
испытывает удар, то действие удара в общем случае передается и на ось. При
этом величина и направление силы, приложенной к оси, зависят от того, в
какую точку тела нанесен удар.
Рассмотрим сплошной однородный стержень АВ, подвешенный в точке А на
горизонтальной, закрепленной в подшипниках оси OO' (рис. 3.9). Если удар
(короткодействующая сила F ( нанесен близко к оси вращения, то ось
прогибается в направлении действия силы F (рис. 3.9а). Если удар нанесен по
нижнему концу стержня, вблизи точки В, то ось прогибается в противоположном
направлении (рис. 3.9б). Наконец, если удар нанесен в строго определенную
точку стержня, называемую центром удара (рис. 3.9в, точка С), то ось не
испытывает никаких дополнительных нагрузок, связанных с ударом. Очевидно, в
этом случае скорость поступательного движения, приобретаемого точной А
вместе с центром масс O, будет компенсироваться линейной скоростью
вращательного движения вокруг центра масс О (оба эти движения инициируются
силой F и происходят одновременно).
|[pic] |
|Рис. 3.9. |
Вычислим, на каком расстоянии [pic]от точки подвеса стержня находится
центр удара. Уравнение моментов относительно оси вращения OO' дает
|[pic] |(3.15) |
Сил реакции со стороны оси, как предполагается, при ударе не возникает,
поэтому на основании теоремы о движении центра масс можно записать
|[pic] |(3.16) |
где [pic]- масса тела, [pic]- скорость центра масс. Если [pic]-
расстояние от оси до центра масс тела, то
|[pic] |(3.17) |
и в результате из уравнения моментов и уравнения движения центра масс
находим
|[pic] |(3.18) |
При этом точка C (центр удара) совпадает с так называемым центром
качания данного физического маятника - точкой, где надо сосредоточить всю
массу твердого тела, чтобы полученный математический маятник имел такой же
период колебаний, как и данный физический.
В случае сплошного однородного стержня длиной [pic]имеем:
|[pic] |
Замечание. Полученное выражение для [pic](3.18) справедливо и для
произвольного твердого тела. При этом надо только иметь в виду, что точка
подвеса тела А и центр масс О должны лежать на одной вертикали, а ось
вращения должна совпадать с одной из главных осей инерции тела, проходящих
через точку А.
Пример 1. При ударах палкой длиной [pic]по препятствию рука "не
чувствует" удара (не испытывает отдачи) в том случае, если удар приходится
в точку, расположенную на расстоянии [pic]свободного конца палки.
Пример 2. При горизонтальном ударе кием по бильярдному шару (рис. 3.10)
шар начинает качение без проскальзывания в том случае, еcли удар нанесен в
точку, находящуюся на высоте
|[pic] |
от поверхности бильярда, то есть на [pic]выше центра шара. Если удар
будет нанесен ниже, качение будет сопровождаться скольжением в направлении
движении шара. Если удар нанесен выше, то шар в точке касания с бильярдным
столом будет проскальзывать назад.
|[pic] |
|Рис. 3.10. |
Рассмотренные примеры формально не относятся к вращению твердого тела
вокруг неподвижной оси, однако все приведенные выше соображения о центре
удара, очевидно, остаются в силе и в этих случаях.
II. Плоское движение твердого тела.
Напомним, что при плоском движении все точки тела движутся в
плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости, поэтому
достаточно рассмотреть движение одного из сечения тела, например, того, в
котором лежит центр масс. При разложении плоского движения на
поступательное и вращательное скорость поступательного движения определена
неоднозначно - она зависит от выбора оси вращения, однако угловая скорость
вращательного движения оказывается одной и той же.
Если в качестве оси вращения выбрать ось, проходящую через центр масс,
то уравнениями движения твердого тела будут:
1. Уравнение движения центра масс
|[pic] |(3.19) |
2. Уравнение моментов относительно оси, проходящей через центр масс
|[pic] |(3.20) |
Особенностью плоского движения является то, что ось вращения сохраняет
свою ориентацию в пространстве и остается перпендикулярной плоскости, в
которой движется центр масс. Еще раз подчеркнем, что уравнение моментов
(3.20) записано относительно, в общем случае, ускоренно движущегося центра
масс, однако, как было отмечено в начале лекции, оно имеет такой же вид,
как и уравнение моментов относительно неподвижной точки.
В качестве примера рассмотрим задачу о скатывании цилиндра с наклонное
плоскости. Приведем два способа решения этой задачи с использованием
уравнений динамики твердого тела.
Первый способ. Рассматривается вращение цилиндра относительно оси,
проходящее через центр масс (рис. 3.11).
|[pic] |
|Рис. 3.11. |
Система уравнений (3.19 - 3.20) имеет вид:
|[pic] |
К этой системе необходимо добавить уравнение кинематической связи
|[pic] |(3.23) |
Последнее уравнение получается из условия, что цилиндр скатывается без
проскальзывания, то есть скорость точки М цилиндра равна нулю.
Уравнение движения центра масс (3.1) запишем для проекций ускорения и
сил на ось x вдоль наклонной плоскости, а уравнение моментов (3.22) - для
проекций углового ускорения и момента силы трения на ось y , совпадающую с
осью цилиндра. Направления осей x и у выбраны согласованно, в том смысле,
что положительному линейному ускорению оси цилиндра соответствует
положительное же угловое ускорение вращения вокруг этой оси. В итоге
получим:
|[pic] |
откуда
|[pic] |(3.27) |
Следует подчеркнуть, что [pic]- сила трения сцепления - может принимать
любое значение в интервале от О до [pic](сила трения скольжения) в
зависимости от параметров задачи. Работу эта сила не совершает, но
обеспечивает ускоренное вращение цилиндра при его скатывании с наклонной
плоскости. В данном случае
|[pic] |(3.28) |
Если цилиндр сплошной, то
|[pic] |(3.29) |
Качение без проскальзывания определяется условием
|[pic] |(3.30) |
где [pic]- коэффициент трения скольжения, [pic]- сила реакции опоры.
Это условие сводится к следующему:
|[pic] |(3.31) |
или
|[pic] |(3.32) |
Второй способ. Рассматривается вращение цилиндра относительно
неподвижной оси, совпадающей в данный момент времени с мгновенной осью
вращения (рис. 3.12).
|[pic] |
|Рис. 3.12. |
Мгновенная ось вращения проходит через точку соприкосновения цилиндра и
плоскости (точку М). При таком подходе отпадает необходимость в уравнении
движении центра масс и уравнении кинематической связи. Уравнение моментов
относительно мгновенной оси имеет вид:
|[pic] |(3.33) |
Здесь
|[pic] |(3.34) |
В проекции на ось вращения (ось y)
|[pic] |(3.35) |
Ускорение центра масс выражается через угловое ускорение
|[pic] |(3.36) |
Кинетическая энергия при плоском движении.
Кинетическая энергия твердого тела представляет собой сумму
кинетических энергий отдельных частиц:
|[pic] |(3.37) |
где [pic]- скорость центра масс тела, [pic]- скорость i-й частицы
относительно системы координат, связанной с центром масс и совершающей
поступательное движение вместе с ним. Возводя сумму скоростей в квадрат,
получим:
|[pic] |(3.38) |
так как [pic](суммарный импульс частиц в системе центра масс равен
нулю).
Таким образом, кинетическая энергия при плоском движении равна сумме
кинетических энергий поступательного и вращательного движений (теорема
Кенига). Если рассматривать плоское движение как вращение вокруг мгновенной
оси, то кинетическая энергия тела есть энергия вращательного движения.
В этой связи задачу о скатывании цилиндра с наклонной плоскости можно
решить, используя закон сохранения механической энергии (напомним, что сила
трения при качении без проскальзывания работу не совершает).
Приращение кинетической энергии цилиндра равно убыли его потенциальное
энергии:
|[pic] |(3.39) |
Здесь [pic]- длина наклонной плоскости, [pic]- момент инерции цилиндра
относительно мгновенной оси вращения.
Поскольку скорость оси цилиндра [pic]то
|[pic] |(3.40) |
Дифференцируя обе части этого уравнения по времени, получим
|[pic] |(3.41) |
откуда для линейного ускорения [pic]оси цилиндра будем иметь то же
выражение, что и при чисто динамическом способе решения (см. (3.27, 3.36)).
Замечание. Если цилиндр катится с проскальзыванием, то изменение его
кинетической энергии будет определяться также и работой сил трения.
Последняя, в отличие от случая, когда тело скользит по шероховатой
поверхности, не вращаясь, определяется, в соответствии с (3.14), полным
углом поворота цилиндра, а не расстоянием, на которое переместилась его
ось.
Заключение
Динамика твердого тела на данном этапе используется для тел, движущихся
в сплошной среде.
В задаче о полете тела с тремя несущими поверхностями при наличии
динамической асимметрии определены условия, при которых проявляются
синхронизмы 1:3. С увеличением угловой скорости вращения тела около
продольной оси даже на поверхности рассеивания заметно ослабление этого
эффекта.
Разработана программа имитационного моделирования комплекса задач по
динамике полета противоградовых ракет. С ее помощью построены таблицы
введения поправок на установочные углы запуска ракет для наилучшей
компенсации вредного влияния ветра.
Создана механико-математическая модель полета бумеранга. Открыта
лаборатория навигации и управления.
Разработан и внедрен на аэродинамической трубе А-8 комплекс
механического оборудования и сопутствующей измерительной аппаратуры для
проведения динамических испытаний моделей. Определены коэффициенты
демпфирования поперечных колебаний осесимметричных оперенных тел различного
удлинения при раскрутке вокруг собственной оси в до- и сверхзвуковом
потоках.
На основе численного решения задачи о плоских движениях
аэродинамического маятника (с несущей поверхностью в виде прямоугольной
пластины) в несжимаемой жидкости с учетом динамики вихрей определены
области существования всех типов движения маятника, включая режимы
автоколебаний и авторотации. Открыта лаборатория сверхзвуковой
аэродинамики.
Также в институте компьютерных исследований проводят значимые
исследования по динамике твердого тела.
Это направление исследований института связано с анализом движения
твердого тела с широким применением компьютерных методов.
Компьютерные исследования в динамике твердого тела относятся к
отдельной области науки - компьютерной динамике, которая устанавливает
общие закономерности движения систем при помощи различных численных методов
и алгоритмов.
В сочетании с аналитическими методами, достижениями топологии, анализа,
теории устойчивости и других методов компьютерная динамика применяется,
главным образом, в исследовании интегрируемых задач, в частности,
динамических проблем теории волчков. Такой подход позволяет получить
достаточно полное представление о движении, разобраться во всем его
многообразии и наглядно представить себе каждое конкретное движение и его
особенности.
Помимо анализа интегрируемых ситуаций в институте начато исследование
случаев хаотического поведения в динамике твердого тела. Эти исследования,
которые ранее почти не проводились, основаны на широком применении
высокоточного компьютерного моделирования. Ожидается, что изучение этой
области динамики твердого тела позволит получить в перспективе много новых
интересных результатов.
Кроме того, в институте проводятся исследования с использованием
методов пуассоновой динамики и геометрии, теории групп и алгебр Ли -
методов, которые во многом возникли из задач динамики твердого тела.
Реферат на тему: Дисперсия света
Содержание
Введение
Глава I. Дисперсия света
1. Преломление светового луча в призме
2. Открытие явления дисперсии
3. Первые опыты с призмами. Представления о причинах возникновения
цветов до Ньютона.
4. Опыты Ньютона с призмами. Ньютоновская теория возникновения цветов
5. Открытие аномальной дисперсии света. Опыты Кундта
Глава II. Дисперсия в природе
2.1. Радуга
Глава III. Экспериментальная установка для наблюдения смешения цветов
3.1. Описание установки
3.2. Устройство экспериментальной установки
Заключение
Литература
Введение.
Дисперсия света. Мы всегда сталкиваемся с этим явлением в жизни, но не
всегда замечаем этого. Но если быть внимательным, то явление дисперсии
всегда нас окружает. Одно из таких явлений это обычная радуга. Наверное,
нет человека, который не любовался бы радугой. Существует старинное
английское поверье, согласно которому у подножия радуги можно найти горшок
с золотом. На первый взгляд радуга это что-то простое, на самом деле при
возникновении радуги происходят сложные физические процессы. Наверное,
поэтому я выбрал тему дисперсия света для того, чтобы глубже понять
физические процессы и явления, происходящие в природе. Это очень интересная
тема и я постараюсь в своей курсовой работе представить все моменты,
происходящие в истории развития науки о свете и показать опыты на своей
экспериментальной установке, разработанной специально для наблюдения
дисперсии света. При конструировании данной установки я опирался на так
называемый круг Ньютона, который нужно было приготовить к семинару по
физике и понять “принцип работы“ данного устройства. Также необходимо было
1. изучить литературу по этой теме, изучить различные демонстрационные
установки, используемые на уроках физики и учитывая условия
теоретической и материальной базы,
2. была изготовлена демонстрационная установка для наблюдения
сложения цветов, которая впоследствии может быть использована на
уроках физики при изучении дисперсии света.
Глава I
Дисперсия света
1.1. Преломление светового луча в призме
Проходя через призму, луч солнечного света не только преломляется, но
и разлагается на различные цвета. Рассмотрим преломление луча в призме.
Строго говоря, это означает, что световой луч предполагается здесь
одноцветным, или, как принято называть в физике, монохроматическим
(от греческих «моно» — один и «хромое»— цвет). На рис.1 показан свето-
Рис.1
вой луч, проходящий через призму с преломляющим углом ( и показателем
преломления n; показатель преломления окружающей среды (воздуха) примем
равным единице. Изображенный на рисунке луч падает на левую грань призмы
под углом (1.
1.2. Открытие явления дисперсии
Дисперсия света. В яркий солнечный день закроем окно в комнате плотной
шторой, в которой сделаем маленькое отверстие. Через это отверстие будет
проникать в комнату узкий солнечный луч, образующий на противоположной
стене светлое пятно. Если на пути луча поставить
[pic]
Рис. 2.
стеклянную призму, то пятно на стене превратится в разноцветную полоску, в
которой будут представлены все цвета радуги—от фиолетового до красного
(рис. 2: Ф – фиолетовый, С — синий, Г — голубой, 3 — зеленый, Ж —желтый, О
—оранжевый, К — красный).
Дисперсия света – зависимость показателя преломления n вещества от
частоты f (длины волны () света или зависимость фазовой скорости световых
волн от частоты. Следствие дисперсии света - разложение в спектр пучка
белого света при прохождении сквозь призму. Изучение этого спектра привело
И. Ньютона (1672) к открытию дисперсии света. Для веществ, прозрачных в
данной области спектра, n увеличивается с увеличением f (уменьшением (),
чему и соответствует распределение цветов в спектре, такая зависимость n от
f называется нормальной дисперсией света. Разноцветная полоска на рис. 2
есть солнечный спектр.
1.3. Первые опыты с призмами. Представления о причинах возникновения
цветов до Ньютона
Описанный опыт является, по сути дела, древним. Уже в I в. н. э. было
известно, что большие монокристаллы (шестиугольные призмы, изготовленные
самой природой) обладают свойством разлагать свет на цвета. Первые
исследования дисперсии света в опытах со стеклянной треугольной призмой
выполнил англичанин Хариот (1560—1621). Независимо от него аналогичные
опыты проделал известный чешский естествоиспытатель Марци (1595 — 1667),
который установил, что каждому цвету соответствует свой угол преломления.
Однако до Ньютона подобные наблюдения не подвергались достаточно серьезному
анализу, а делавшиеся на их основе выводы не перепроверялись
дополнительными экспериментами. В результате в науке тех времен долго
господствовали представления, неправильно объяснявшие возникновение цветов.
Говоря об этих представлениях, следует начать с теории цветов
Аристотеля (IV в. до н. э.). Аристотель утверждал, что различие в цвете
определяется различием в количестве темноты, «примешиваемой» к солнечному
(белому) свету. Фиолетовый цвет, по Аристотелю, возникает при наибольшем
добавлении темноты к свету, а красный — при наименьшем. Таким образом,
цвета радуги — это сложные цвета, а основным является белый свет.
Интересно, что появление стеклянных призм и первые опыты по наблюдению
разложения света призмами не породили сомнений в правильности аристотелевой
теории возникновения цветов. И Хариот, и Марци оставались последователями
этой теории. Этому не следует удивляться, так как на первый взгляд
разложение света призмой на различные цвета, казалось бы, подтверждало
представления о возникновении цвета в результате смешения света и темноты.
Радужная полоска возникает как раз на переходе от теневой полосы к
освещенной, т. е. на границе темноты и белого света. Из того факта, что
фиолетовый луч проходит внутри призмы наибольший путь по сравнению с
другими цветными лучами, немудрено сделать вывод, что фиолетовый цвет
возникает при наибольшей утрате белым светом своей «белизны» при
прохождении через призму. Иначе говоря, на наибольшем пути происходит и
наибольшее примешивание темноты к белому свету.
Ложность подобных выводов нетрудно было доказать, поставив
соответствующие опыты с теми же призмами. Однако до Ньютона никто этого не
сделал.
1.4. Опыты Ньютона с призмами. Ньютоновская теория возникновения
цветов
Великий английский ученый Исаак Ньютон выполнил целый комплекс
оптических экспериментов с призмами, подробно описав их в «Оптике», «Новой
теории света и цветов», а также в «Лекциях по оптике». Ньютон убедительно
доказал ложность представлений о возникновении цветов из смешения темноты и
белого света. На основании проделанных опытов он смог заявить: «Никакого
цвета не возникает из белизны и черноты, смешанных вместе, кроме
промежуточных темных; количество света не меняет вида цвета». Ньютон
показал, что белый свет не является основным, его надо рассматривать как
составной (по Ньютону, «неоднородный»; по современной терминологии,
«немонохроматический»); основными же являются различные цвета («однородные»
лучи или, иначе, «монохроматические» лучи). Возникновение цветов в опытах с
призмами есть результат разложения составного (белого) света на основные
составляющие (на различные цвета). Это разложение происходит по той
причине, что каждому цвету соответствует своя степень преломляемости.
Таковы основные выводы, сделанные Ньютоном; они прекрасно согласуются с
современными научными представлениями.
Выполненные Ньютоном оптические исследования представляют большой
интерес не только с точки зрения полученных результатов, но также и с
методической точки зрения. Разработанная Ньютоном методика исследований с
призмами (в частности, метод скрещенных призм) пережила века и вошла в
арсенал современной физики.
Приступая к оптическим исследованиям, Ньютон ставил перед собой задачу
«не объяснять свойства света гипотезами, но изложить и доказать их
рассуждениями и опытами». Проверяя то или иное положение, ученый обычно
придумывал и ставил несколько различных опытов. Он подчеркивал, что
необходимо использовать разные способы «проверить то же самое, ибо
испытующему обилие не мешает».
Рассмотрим некоторые наиболее интересные опыты Ньютона с призмами и те
выводы, к которым пришел ученый на основании полученных результатов.
Большая группа опытов была посвящена проверке соответствия между цветом
лучей и степенью их преломляемости (иначе говоря, между цветом и величиной
показателя преломления). Выделим три таких опыта.
Опыт 1. Прохождение света через скрещенные призмы. Перед отверстием А,
пропускающим в затемненную комнату узкий пучок солнечных лучей, помещают
призму с горизонтально ориентированным преломляющим ребром (рис. 4.3,а).
[pic]
На экране возникает вытянутая по вертикали цветная полоска КФ, крайняя
нижняя часть которой окрашена в красный цвет, а крайняя верхняя — в
фиолетовый. Обведем карандашом контуры полоски на экране. Затем поместим
между рассматриваемой призмой я экраном еще одну такую же призму, но при
этом преломляющее ребро второй призмы должно быть ориентировано
вертикально, т. е. перпендикулярно к преломляющему ребру первой призмы.
Световой пучок, выходящий из отверстия А, проходит последовательно через
две скрещенные призмы. На экране возникает полоска спектра К'Ф', смещенная
относительно контура КФ по оси Х. При этом фиолетовый конец полоски
оказывается смещенным в большей мере, нежели красный, так что полоска
спектра выглядит наклоненной к вертикали. Ньютон приходит к выводу: если
опыт с одиночной призмой позволяет утверждать, что лучам с разной степенью
преломляемости соответствуют разные цвета, то опыт со скрещенными призмами
доказывает также и обратное положение — лучи разного цвета обладают разной
степенью преломляемости. Действительно, луч, наиболее преломляющийся в
первой призме, есть фиолетовый луч; проходя затем через вторую призму, этот
фиолетовый луч испытывает наибольшее преломление. Обсуждая результаты опыта
со скрещенными призмами, Ньютон отмечал: «Из этого опыта следует также, что
преломления отдельных лучей протекают по тем же законам, находятся ли они в
смеси с лучами других родов, как в белом свете, или преломляются порознь
или предварительном обращении света в цвета».
На рис. 4.4 представлен еще один вариант опыта со скрещенными
призмами: через призмы проходят два одинаковых световых пучка. Оба пучка
формируют на экране одинаковые полоски спектра, несмотря на то, что в
первой призме лучи одного и того же цвета (но из разных пучков) проходят
пути разной длины.
[pic]
Рис. 4.4.
Тем самым опровергалось отмеченное выше предположение, что цвет
зависит от длины пути луча внутри призмы.
Опыт 3. Прохождение света через систему, состоящую из двух
призм и отражающего зеркала.
[pic]
Рис. 4.5.
Пучок солнечных лучей, выходя из отверстия А, проходит через призму 1
и затем попадает на зеркало 2. Ориентируем зеркало таким образом, чтобы
послать на призму 3 только ту часть лучей, которые преломляются в
наибольшей степени. Преломившись в призме 3, эти лучи попадают на экран в
районе точки В. Затем передвинем зеркало 2, поместив его теперь так, чтобы
оно посылало на призму 3 те лучи, которые преломляются в наименьшей степени
(см. штриховое изображение). Испытав преломление в призме 3, эти лучи
попадут на экран в районе точки С. Ясно видно, что те лучи, которые
преломляются в наибольшей степени в первой призме, будут наиболее сильно
преломляться и во второй призме.
Все эти опыты позволили Ньютону сделать уверенное заключение: «Опытами
доказывается, что лучи, различно преломляемые, имеют различные цвета;
доказывается и обратное, что лучи, разно окрашенные, есть лучи, разно
преломляемые».
Далее Ньютон ставит вопрос: «Возможно ли изменить цвет лучей какого-
либо рода в отдельности преломлением?» Выполнив серию тщательно продуманных
опытов, ученый приходит к отрицательному ответу на поставленный вопрос.
Рассмотрим один из таких опытов.
[pic]
[pic]
Опыт 4. Прохождение света через призмы и экраны со щелями
Рис. 4.6.
Пучок солнечных лучей разлагается на цвета призмой 1. Через отверстие
В в экране, поставленном за призмой, проходит часть лучей некоторого
определенного цвета. Эти лучи затем проходят через отверстие С во втором
экране, после чего попадают на призму 2. Поворачивая призму 1, можно при
помощи экранов с отверстиями выделять из спектра лучи того или иного цвета
и исследовать их преломление в призме 2. Опыт показал, что преломление в
призме 2 не приводит к изменению цвета лучей.
Окончательный вывод Ньютон сформулировал следующим образом: «Вид цвета
и степень преломляемости, свойственные каждому отдельному сорту лучей, не
изменяются ни преломлением, ни отражением, ни какой-либо иной причиной,
которую я мог наблюдать. Если какой-нибудь сорт лучей был хорошо отделен от
лучей другого рода, то после этого он упорно удерживал свою окраску,
несмотря на мои крайние старания изменить ее».
1.5. Открытие аномальной дисперсии света. Опыты Кундта
До второй половины XIX века считали, что этот вывод справедлив всегда.
Но вот в 1860 г. французский физик Леру, проводя измерения показателя
преломления для ряда веществ, неожиданно обнаружил, что пары йода
преломляют синие лучи в меньшей степени, нежели красные. Леру назвал
обнаруженное им явление аномальной дисперсией света. Если при обычной
(нормальной) дисперсии показатель преломления с ростом длины волны
уменьшается, то при аномальной (необычной) дисперсии показатель
преломления, наоборот, увеличивается. Явление аномальной дисперсии было
детально исследовано немецким физиком Кундтом в 1871—1872 гг. При этом
Кундт воспользовался методом скрещенных призм, который был предложен в свое
время Ньютоном.
На рис. 4.10, а воспроизведена уже знакомая картина: при прохождении
через две скрещенные стеклянные призмы свет дает на экране наклоненную
полоску спектра. Теперь предположим, что одна из стеклянных призм заменена
полой призматической кюветой, заполненной раствором органического
соединения, называемого цианином; именно такую призму использовал Кундт в
одном из своих опытов. Схема опыта Кундта
[pic]
представлена на рис. 4.10, где 1 — стеклянная призма, а 2 — призма,
заполненная раствором цианина. Стеклянная призма дает нормальную дисперсию.
Так как ее преломляющее ребро ориентировано вниз, то ось длин волн для
пучка лучей, выходящих из данной призмы, также направлена вниз (ось ( на
экране). Вдоль перпендикулярного направления на экране (вдоль оси n)
откладываются значения показателя преломления вещества, заполняющего вторую
призму. На экране наблюдается весьма специфическая картина спектра,
качественно отличающаяся от той, какую наблюдал в своих опытах Ньютон.
Видно, что n((1) < n((2), хотя (1 < (2. Заслуга Кундта заключается не
только в том, что он убедительно продемонстрировал явление аномальной
дисперсии, но и в том, что он указал на связь этого явления с поглощением
света в веществе. Указанная на рисунке длина волны (о есть длина волны,
вблизи которой наблюдается сильное поглощение света в растворе цианина.
Последующие исследования аномальной дисперсии света показали, что
наиболее интересные экспериментальные результаты получаются, когда вместо
двух скрещенных призм используется, например, призма и интерферометр. Такая
экспериментальная методика была применена известным русским физиком Д. С.
Рождественским в начале XX в. Рис. 4.11, воспроизведенный с фотографии,
полученной Д. С. Рождественским, демонстрирует явление аномальной дисперсии
в парах натрия. Внеся в используемую методику существенные
усовершенствования, ученый разработал так называемый «метод крюков», широко
применяемый в современной экспериментальной оптике.
[pic]
Рис. 4.11
Согласно современным представлениям и нормальная, и аномальная
дисперсии рассматриваются как явления единой природы, описываемые в рамках
единой теории. Эта теория основывается на электромагнитной
теории света, с одной стороны, и на электронной теории вещества, — с
другой. Строго говоря, термин «аномальная дисперсия» сохраняет сегодня лишь
исторический смысл. С сегодняшних позиций, нормальная дисперсия — это
дисперсия вдали от длин волн, при которых происходит поглощение
Рис. 4.12
света данным веществом, тогда как аномальная дисперсия — это дисперсия в
области полос поглощения света веществом. На рис. 4.12 показана характерная
зависимость показателя преломления от длины волны света для некоторого
вещества, сильно поглощающего вблизи (о. В незаштрихованной области
наблюдается нормальная дисперсия, а в заштрихованной — аномальная.
Эту призму называют призмой Лове. Мы говорили, что в данной призме
разложение света на цвета не наблюдается на практике вследствие того, что
все лучи выходят из призмы параллельно друг другу и исходный пучок имеет
некоторую ширину.
Глава II
2.1. РАДУГА
Радуга — это оптическое явление, связанное с преломлением световых
лучей на многочисленных капельках дождя. Однако далеко не все знают, как
именно преломление света на капельках дождя приводит к возникновению на
небосводе гигантской многоцветной дуги. Поэтому полезно подробнее
остановиться на физическом объяснении этого эффектного оптического явления.
Радуга глазами внимательного наблюдателя. Прежде всего заметим, что
радуга может наблюдаться только в стороне, противоположной Солнцу. Если
встать лицом к радуге, то Солнце окажется сзади. Радуга возникает, когда
Солнце освещает завесу дождя. По мере того как дождь стихает, а затем
прекращается, радуга блекнет и постепенно исчезает. Наблюдаемые в радуге
цвета чередуются в такой же последовательности, как и в спектре, получаемом
при пропускании пучка солнечных лучей через призму. При этом внутренняя
(обращенная к поверхности Земли) крайняя область радуги окрашена в
фиолетовый цвет, а внешняя крайняя область — в красный. Нередко над
основной радугой возникает еще одна (вторичная) радуга — более широкая и
размытая. Цвета во вторичной радуге чередуются в обратном порядке: от
красного (крайняя внутренняя область дуги) до фиолетового (крайняя внешняя
область).
Для наблюдателя, находящегося на относительно ровной земной
поверхности, радуга появляется при условии, что угловая высота Солнца над
горизонтом не превышает примерно 42°. Чем ниже Солнце, тем больше угловая
высота вершины радуги и тем, следовательно, больше наблюдаемый участок
радуги. Вторичная радуга может наблюдаться, если высота Солнца над
горизонтом не превышает примерно 52.
Радуга может рассматриваться как гигантское колесо, которое как на ось
надето на воображаемую прямую линию, проходящую через Солнце и наблюдателя.
На рис. 5.1.
[pic]
эта прямая обозначена как прямая OO1; O — наблюдатель, ОСD —
плоскость земной поверхности, (AOO1 = ( — угловая высота Солнца над
горизонтом. Чтобы найти tg((), достаточно разделить рост наблюдателя на
длину отбрасываемой им тени. Точка O1 называется противосолнечной точкой,
она находится ниже линии горизонта СD. Из рисунка видно, что радуга
представляет собой окружность основания конуса, ось которого есть ОO1; ( -
угол, составляемый осью конуса с любой из его образующих (угол раствора
конуса). Разумеется, наблюдатель видит не всю указанную окружность, а
только ту часть ее (на рисунке участок СВD), которая находится над линией
горизонта. Заметим, что (АОВ = Ф есть угол, под которым наблюдатель видит
вершину радуги, а (АОD = ( — угол, под которым наблюдатель видит каждое из
оснований радуги (где, по английскому поверью, закопан горшок с золотом).
Очевидно, что
Ф + ( = (
(2.1)
Таким образом, положение радуги по отношению к окружающему ландшафту
зависит от положения наблюдателя по отношению к Солнцу, а угловые размеры
радуги определяются высотой Солнца над горизонтом. Наблюдатель есть вершина
конуса, ось которого направлена по линии, соединяющей наблюдателя с
Солнцем. Радуга есть находящаяся над линией горизонта часть окружности
основания этого конуса. При передвижениях наблюдателя указанный конус, а
значит, и радуга, соответствующим образом перемещаются; поэтому бесполезно
охотиться за обещанным горшком золота.
Здесь необходимо сделать два пояснения. Во-первых, когда мы говорим о
прямой линии, соединяющей наблюдателя с Солнцем, то имеем в виду не
истинное, а наблюдаемое направление на Солнце. Оно отличается от истинного
на угол рефракции. Во-вторых, когда мы говорим о радуге над линией
горизонта, то имеем в виду относительно далекую радугу — когда завеса дождя
удалена от нас на несколько километров. Можно наблюдать также и близкую
радугу, на пример, радугу, возникающую на фоне большого фонтана. В этом
случае концы радуги как бы уходят в землю. Степень удаленности радуги от
наблюдателя не влияет, очевидно, на ее угловые размеры.
Из (2.1) следует, что Ф = ( - (. Для основной радуги угол у равен
примерно 42° (для желтого участка радуги) а для вторичной этот угол
составляет 52°. Отсюда ясно, почему земной наблюдатель не может любоваться
основной радугой, если высота Солнца над горизонтом превышает 42°, и не
увидит вторичную радугу при высоте Солнца, превышающей 52°. Если
наблюдатель находится в самолете, то замечания относительно высоты Солнца
требуют пересмотра; кстати говоря, наблюдатель в самолете может увидеть
радугу в виде полной окружности.
Однако где бы ни находился наблюдатель (на поверхности Земли или над
нею), он всегда есть центр ориентированного на Солнце конуса с углом
раствора 42° (для основной радуги) и 52° (для вторичной).
Глава III
Экспериментальная установка для наблюдения смешения цветов
3.1. Описание установки
Ньютон провел обычный опыт со стеклянной призмой и заметил разложение
света на спектр. (рис. 1)
[pic]
Рис.1
Направив луч дневного света на призму, он увидел на экране различные
цвета радуги. После увиденного он выделил из них семь основных цветов. Это
были такие цвета как: красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий и
фиолетовый (каждый охотник желает знать где сидит фазан). Ньютон выбрал
лишь семь цветов по той причине, что были наиболее яркие, он также говорил,
что в музыке всего семь нот, но сочетание их, различные вариации позволяют
получить совершенно различные мелодии. Проведя обратный опыт, т.е.
полученный спектр он направил на грань другой призмы и в результате опыта
Ньютон снова получил белый свет. На основе этих простых опытов Ньютону
пришла в голову мысль о создании круга состоящего из семи секторов и
закрашенных определенными цветами в результате вращения которого произойдет
их смешение и мы получим белую раскраску этого круга. В последствии этот
круг стали называть кругом Ньютона.
Попробуем повторить опыт Ньютона. Возьмем банку из под кофе и,
предварительно ее обработав, закрепим в ней двигатель и понижающий
напряжение трансформатор.
Рис.2
Трансформатор и мотор соединен по схеме:
[pic]
М - мотор, VD - выпрямительный диод, Т - понижающий трансформатор
В результате при включении двигателя в розетку сети питания
семицветный круг, закрепленный на валу двигателя, начнет вращаться, и мы
увидим сероватую окраску круга. Окраска круга при вращении серая по двум
причинам:
1) скорость вращения круга очень низкая по сравнению со скоростью
света;
2) круг окрашен с резкими цветовыми переходами, если сравнивать со
спектром разложения белого света.
3.2. Устройство экспериментальной установки
Трансформатор.
Напряжение первичной обмотки: переменное напряжение 220 V.
Напряжение вторичной обмотки: переменное напряжение 12 V.
Мотор.
Рабочее напряжение: постоянное напряжение 9 – 15 вольт.
Частота вращения: 1200 об/мин.
Диод.
Кремниевый диод КД216.
Заключение.
В заключении я хочу сказать, что в целом поставленная цель об изучении,
более глубоком понимании такого явления как дисперсия света в итоге
достигнута. Для достижения этой цели пришлось постараться. Теперь, увидев
радугу или гало, мы можем не только любоваться этим красивым явлением, но и
объяснить причину их возникновения на “физическом“ языке, а не просто
поверхностное понимание. Для того чтобы глубже понять такое свойство света
как дисперсия, была изучена дополнительная литература по световым явлениям,
был изготовлен круг Ньютона, а также установка для вращения данного круга с
некоторой скоростью. В результате проведенных опытов и экспериментов в
данной работе были выявлены два вида дисперсии (нормальная и аномальная) и
явление смешения цветов, были рассмотрены основные причины возникновения
радуги. Таким образом, посредством теоретического изучения данной темы и ее
практического подтверждения и была достигнута основная цель.
Литература:
1. Гершензон Е.М., Малов Н.Н., Мансуров А.Н. «Курс общей физики» М.
«Просвещение»,1992.
2. Королев Ф.А. «Курс физики» М., «Просвещение», 1974.
3. Тарасов Л.В., Тарасова А.Н. «Беседы о преломлении света» /под ред. В.А.
Фабриканта, изд. «Наука», 1982.
-----------------------
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ШАДРИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
КАФЕДРА ФИЗИКИ
Курсовая работа
по физике
Дисперсия света
Выполнил:
студент 303 группы
Физико-математического факультета
Чистяков Алексей Юрьевич
Руководитель(
Суханова Ида Александровна
Доцент, кандидат
физико-математических наук
г. Шадринск
-2002-
Соединительные проводники
М
N
AD1 ( MO
BD ( ON
Понижающий
трансформатор
Мотор постоянного тока
Выпрямительный диод
| |
