|
Реферат: Высшая математика (Математика)
Государственный университет управления
Институт заочного обучения
Специальность – менеджмент
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине: Высшая математика.
Вариант № 1.
Выполнил студент Ганин Д.Ю.
Студенческий билет № 1211
Группа № УП4-1-98/2
Москва, 1999 г.
Содержание
Часть I. 3
Задание №2. Вопрос №9. 3
Задание №3. Вопрос №1. 3
Задание №12. Вопрос №9. 5
Задание №13. Вопрос №2. 5
Задание №18. Вопрос №9 6
Часть II. 9
Задание №8. Вопрос №8. 9
Задание №12. Вопрос №9. 10
Задание №14. Вопрос №2. 10
Задание №15. Вопрос №6. 11
Задание №18. Вопрос №9. 12
Дополнительно Часть I. 13
Задание №7. Вопрос №1. 13
Задание №9. Вопрос №8. 13
Задание №11. Вопрос №6. 14
Задание №15. Вопрос №1. 15
Дополнительно Часть II. 15
Задание №7. Вопрос №1. 15
Задание №9. Вопрос №8. 16
Задание №11. Вопрос №6. 18
Задание №15. Вопрос №1. 18
Часть I.
Задание №2. Вопрос №9.
В штате гаража числится 54 водителя. Сколько свободных дней может
иметь каждый водитель в месяц (30 дней), если ежедневно 25% автомашин из
имеющихся 60 остаются в гараже для профилактического ремонта.
Решение:
|[pic] |машин ежедневно остается в гараже на |
| |профилактическом ремонте. |
|[pic] |машин с водителями ежедневно уходят в рейс. |
|[pic] |водителей из штата гаража ежедневно не выходит в |
| |рейс из-за профилактического ремонта автомашин. |
|[pic] |количество водителей в течение месяца, не |
| |выходящих в рейс из-за профилактического ремонта |
| |автомашин. |
|[pic] |дней в месяц каждый водитель из штата гаража не |
| |выходит в рейс из-за профилактического ремонта |
| |автомашин. |
|Ответ: |Каждый водитель из штата гаража в течение месяца |
| |может иметь [pic] свободных дней. |
Задание №3. Вопрос №1.
Построить график функции спроса Q=QD(P) и предложения Q=QS(P) и
найдите координаты точки равновесия, если [pic], [pic].
Решение:
Построим в плоскости POQ график функции спроса Q=QD(P) и предложения
Q=QS(P). Для этого найдем координаты пересечения с осями координат:
|С осью OP (Q=0): |С осью OQ (P=0): |
|Для Q=QS(P): |Для Q=QD(P): | |
|[pic] |[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |[pic] |
| |[pic] | |
Т.к. функции QS(P) и QD(P) – линейные функции, то их графиками являются
прямые, для построения которых достаточно определить их точки пересечения с
осями координат. Они найдены, значит можно производить построение графика
(рис.1).
Найдем точку равновесия графиков функции спроса и предложения (М), в
которой спрос равен предложению. Для этого решим систему:
[pic], из этой системы получаем: [pic]
[pic]
[pic]
[pic], тогда [pic], значит координаты т.M[pic].
|Ответ: |Координаты точки равновесия равны [pic], [pic] |
Задание №12. Вопрос №9.
Используя правила вычисления производных и таблицу, найдите
производные следующих функций:
[pic]
Решение:
[pic]
|Ответ: |Производная заданной функции равна [pic] |
Задание №13. Вопрос №2.
Используя дифференциал функции, найдите приближенное значение
|числа: |[pic] |
Решение:
[pic]
|Ответ: |Приближенное значение заданного числа равно 1,975. |
Задание №18. Вопрос №9
|Исследуйте функцию и постройте ее график: |[pic] |
Решение:
1. Область определения данной функции: [pic].
2. Найдем точки пересечения с осями координат:
|С осью OY [pic]: |С осью OX [pic]: |
|[pic] |[pic], дробь равна нулю, если ее числитель|
| |равен нулю, т.е. |
| |[pic] |
| |[pic] |
| |[pic] |
|Точка пересечения: [pic] |Точки пересечения: [pic], [pic] |
3. Т.к. все точки входят в область значений функции, то точек разрыва НЕТ.
4. Вертикальных асимптот у графика функции нет, т.к. нет точек разрыва.
Правая и левая наклонные асимптоты имеют уравнение: [pic], где:
[pic][pic]т.к. правая и левая наклонные асимптоты совпадают, то уравнение
имеет вид: [pic], т.е. [pic]- уравнение горизонтальной асимптоты.
5. Найдем точки экстремума заданной функции. Для этого найдем ее первую
производную:
[pic]
Т.к. если у функции есть точка экстремума, то в этой точке первая
производная функции равна нулю, т.е. [pic]:
[pic], дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е. [pic], отсюда
[pic], следовательно [pic], значит точка [pic] - точка экстремума функции.
На участке[pic] производная [pic] > 0, значит, при [pic], заданная функция
возрастает.
На участке[pic] производная [pic] < 0, значит, при [pic], заданная функция
убывает (рис 2.).
Следовательно [pic] - точка максимума заданной функции [pic].
6. Найдем участки выпуклости/вогнутости заданной функции. Для этого найдем
ее вторую производную:
[pic]
Т.к. если у функции есть точка перегиба, то в этой точке вторая производная
функции равна нулю, т.е. [pic]:
[pic], дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е. [pic], значит
[pic], тогда [pic], отсюда [pic]
Отсюда [pic], [pic].
На участке[pic] производная [pic]>0, значит это участок вогнутости графика
функции.
На участке [pic] производная [pic] >0,
значит это тоже участок вогнутости графика функции.
Следовательно, при[pic] график заданной функции является вогнутым.
На участке[pic] производная [pic] 0, то экстремум есть, а т.к.
[pic]< 0, то это максимум. Следовательно, при объемах выпуска [pic]и [pic],
достигается максимальная прибыль равная:
[pic]
|Ответ: |[pic] и достигается при объемах выпуска [pic]и [pic]. |
Задание №12. Вопрос №9.
|Вычислить неопределенный интеграл: |[pic] |
Решение:
[pic]
|Ответ: |[pic] |
Задание №14. Вопрос №2.
Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходимость)
[pic].
Решение:
[pic]
|Ответ: |Данный несобственный интеграл – расходящийся. |
Задание №15. Вопрос №6.
|Решить уравнение |[pic] |
Решение:
[pic]. Разделив обе части на [pic], получим [pic]. Проинтегрируем
полученное уравнение [pic]. Представим [pic], как [pic], тогда
[pic]
[pic]
[pic]
|Ответ: |Решением данного уравнения является [pic]. |
Задание №18. Вопрос №9.
|Найти общее решение уравнения: |[pic] |
Решение:
Найдем корни характеристического уравнения: [pic], тогда [pic],
следовательно [pic], [pic], тогда
фундаментальную систему решений образуют функции:
[pic], [pic]
Т.к. действительные и мнимые решения в отдельности являются решениями
уравнения, то в качестве линейно независимых частей решений [pic] и [pic],
возьмем [pic], [pic], тогда общее решение однородного уравнения будет иметь
вид: [pic]
Представим правую часть уравнения, как [pic] и сравним с выражением,
задающим правую часть специального вида:
[pic]. Имеем [pic], [pic], тогда т.к. [pic] - многочлен второй степени, то
общий вид правой части: [pic]. Найдем частные решения:
[pic], [pic], [pic]
[pic]
[pic]
Сравним коэффициенты при [pic] слева и справа, найдем [pic], решив систему:
[pic], отсюда [pic].
Тогда общее решение заданного неоднородного линейного уравнения имеет вид:
[pic].
|Ответ: |[pic]. |
Дополнительно Часть I.
Задание №7. Вопрос №1.
Найти предел: [pic].
Решение:
[pic].
|Ответ: |Заданный предел равен [pic]. |
Задание №9. Вопрос №8.
Найдите уравнение асимптот и постройте их графики:
[pic].
Решение:
1. Область определения данной функции: [pic].
2. Т.к. точка [pic] не входят в область значений функции, то это точка
разрыва, а т.к. [pic] и [pic], следовательно, уравнение [pic] – уравнение
вертикальной асимптоты.
3. Уравнения правой и левой наклонных асимптот имеют вид: [pic], где:
[pic]
[pic]
т.к. правая и левая наклонные асимптоты совпадают, то уравнение наклонной
асимптоты имеет вид: [pic].
Для построения графиков асимптот (см. рис. 5), найдем
точки пересечения наклонной асимптоты [pic] с осями
координат:
С осью OX: точка[pic],
с осью OY: точка[pic]
|Ответ: |[pic] и [pic] – уравнения асимптот заданной функции.|
Задание №11. Вопрос №6.
Исходя из определения производной, докажите: [pic].
Решение:
Т.к. по определению производная функции [pic] в точке [pic] вычисляется
по формуле [pic], тогда приращение [pic] в точке [pic]: [pic].
Следовательно [pic].
|Ответ: |[pic]. |
Задание №15. Вопрос №1.
Найдите пределы, используя правило Лопиталя: [pic].
Решение:
[pic].
|Ответ: |Заданный предел равен [pic]. |
Дополнительно Часть II.
Задание №7. Вопрос №1.
Написать в точке [pic] уравнение касательной плоскости к поверхности,
заданной уравнением: [pic].
Решение:
Уравнение касательной плоскости к графику функции [pic] в точке [pic]
имеет вид: [pic]. Поэтому, продифференцируем заданное уравнение
поверхности: [pic]. Подставив в полученное уравнение координаты точки [pic]
вместо значений переменных, и заменив дифференциалы переменных на их
приращения, получим:
[pic]
[pic].
|Ответ: |Уравнение касательной плоскости к заданной |
| |поверхности в заданной точке [pic] имеет вид [pic]. |
Задание №9. Вопрос №8.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции [pic] в области:
[pic].
Решение:
Т.к. заданная функция дифференцируется в замкнутой ограниченной
области, то свое наибольшее/наименьшее значение она достигает или в
стационарной точке внутри области дифференцирования, или на границе
области.
Найдем стационарные точки заданной функции, для этого решим систему:
[pic], точка [pic] не принадлежит заданной области дифференцирования,
значит стационарных точек внутри области нет, следовательно,
наибольшее/наименьшее значение функцией достигается на границе области
дифференцирования. Граница области ограничена окружностями [pic] и [pic].
Найдем наибольшее/наименьшее значение на границах области
дифференцирования. Для этого составим функцию Лагранжа:
1. [pic], тогда [pic], [pic], следовательно, система уравнений для
определения координат экстремальной точки имеет вид:
[pic]
Эта система имеет четыре решения:
|[pic], [pic], |Точка [pic] – точка условного максимума, при этом |
|[pic] |функция [pic]. |
|[pic], [pic], |Точка [pic] – точка условного максимума, при этом |
|[pic] |функция [pic]. |
|[pic], [pic], |Точка [pic] – точка условного минимума, при этом |
|[pic] |функция [pic]. |
|[pic], [pic], |Точка [pic] – точка условного минимума, при этом |
|[pic] |функция [pic]. |
2. [pic], тогда [pic], [pic],
следовательно, система уравнений для определения координат экстремальной
точки имеет вид:
[pic]
Эта система также имеет четыре решения:
|[pic], [pic], |Точка [pic] – точка условного максимума, при этом |
|[pic] |функция [pic]. |
|[pic], [pic], |Точка [pic] – точка условного максимума, при этом |
|[pic] |функция [pic]. |
|[pic], [pic], |Точка [pic] – точка условного минимума, при этом |
|[pic] |функция [pic]. |
|[pic], [pic], |В точке [pic] – точка условного минимума, при этом |
|[pic] |функция [pic]. |
Следовательно, заданная функция [pic] в заданной области дифференцирования
достигает наибольшего значения в точках [pic] и [pic] и наименьшего в
точках [pic] и [pic] при этом графики функций [pic] и [pic] касаются
окружности [pic] в точках [pic], [pic] и [pic], [pic] соответственно (см.
рис.6).
|Ответ: |Заданная функция [pic] при условии [pic] имеет [pic]|
| |и [pic]. |
Задание №11. Вопрос №6.
Вычислить неопределенный интеграл: [pic].
Решение:
[pic]
|Ответ: |Заданный неопределенный интеграл равен [pic]. |
Задание №15. Вопрос №1.
Решить уравнение: [pic].
Решение:
[pic]. Разделив обе части на [pic], получим [pic]. Проинтегрируем
полученное уравнение:
[pic]
[pic].
|Ответ: |Решением данного уравнения является [pic]. |
-----------------------
Рисунок 2.
[pic]
Исследование на экстремум.
Рисунок 1.
[pic]
График функции спроса и предложения.
Рисунок 4.
[pic]
|График заданной функции |[pic] |
Рисунок 3.
[pic]
Исследование на выпуклость.
Рисунок 5.
[pic]
Графики асимптот функции[pic]
Рисунок 6.
[pic]
График наибольших/наименьших значений функции [pic] при [pic].
Реферат на тему: Высшая математика, интегралы (шпаргалка)
Равномерная непрерывность
Определение 28.7: Функция [pic]называется равномерно непрерывной на
множестве [pic], если: [pic]. (в отличие от критерия Коши: [pic]).
Пояснение: [pic] Пусть: [pic]. Тогда: [pic] Т.е. функция [pic]не является
равномерно непрерывной на множестве [pic].
Теорема 28.3: Непрерывная на отрезке функция – равномерно непрерывна на
нём.
Классы интегрируемых функций
Теорема 28.4: Непрерывная на отрезке функция – интегрируема на нём.
Теорема 28.5: Монотонная на отрезке функция – интегрируема на нём.
Теорема 28.5: Если функция [pic]определена и ограничена на отрезке [pic], и
если [pic]можно указать конечное число интервалов, покрывающих все точки
разрыва этой функции на [pic]. Причём общая длина этих интервалов меньше
[pic]. То [pic]- интегрируема на [pic].
Замечание: Очевидно, что если [pic]- интегрируема на [pic], а
[pic]отличается от [pic]только в конечном числе точек, то [pic]-
интегрируема на [pic]и [pic].
Существование первообразной
Определение 28.9: Пусть [pic]- интегрируема на [pic], [pic], тогда:
[pic]функция [pic]интегрируема на [pic]и функция [pic]называется интегралом
с переменным верхним пределом, аналогично функция [pic]- интеграл с
переменным нижним пределом.
Теорема 28.6: Если функция [pic]- непрерывна на [pic], то у неё существует
на [pic]первообразная, одна из которых равна: [pic], где [pic].
Замечание 1: Из дифференцируемости функции [pic]следует её непрерывность,
т.е. [pic]
Замечание 2: Поскольку [pic]- одна из первообразных [pic], то по
определению неопределённого интеграла и теореме о разности первообразных:
[pic]. Это связь между определённым и неопределённым интегралами
Интегрирование подстановкой
Пусть для вычисления интеграла [pic]от непрерывной функции сделана
подстановка [pic].
Теорема. Если 1. Функция [pic]и ее производная [pic]непрерывны при [pic]
2. множеством значений функции [pic] при [pic]является отрезок [a;b]
3. [pic], то [pic]=[pic].
Док-во: Пусть F(x) есть первообразная для f(x) на отрезке [a;b]. Тогда по
формуле Ньютона-Лейбница [pic]=[pic]. Т.к. [pic], то [pic]является
первообразной для функции [pic], [pic]. Поэтому по формуле Ньютона-Лейбница
имеем
[pic]=[pic][pic].
Формула замены переменной в определенном интеграле.
1. при вычислении опред. интег-ла методом подстановки возвращаться к
старой переменной не требуется;
2. часто вместо подстановки [pic]применяют подстановку t=g(x)
3. не следует забывать менять пределы интегрирования при замене
переменных.
Интегрирование заменой переменной.
а). Метод подведения под знак дифференциала
Пусть требуется вычислить интеграл [pic]. Предположим, что существуют
дифференцируемая функция [pic]и функция [pic]такие, что подынтегральное
выражение [pic]может быть записано в виде:
[pic].
Тогда: [pic]. Т.е. вычисление интеграла [pic]сводится к вычислению
интеграла [pic](который может оказаться проще) и последующей подстановке
[pic].
Пример: Вычислить [pic].
[pic].
Подстановка: [pic].
б). Метод подстановки
Пусть требуется вычислить интеграл [pic], где [pic]. Введём новую
переменную формулой: [pic], где функция [pic]дифференцируема на [pic]и
имеет обратную [pic], т.е. отображение [pic]на [pic]- взаимно-однозначное.
Получим: [pic]. Тогда [pic]. Т.е. вычисление интеграла [pic]сводится к
вычислению интеграла [pic](который может оказаться проще) и последующей
подстановке [pic].
Пример: Вычислить [pic].
[pic], откуда: [pic].
Интегрирование по частям. Пусть [pic]- дифференцируемые функции, тогда
справедлива формула: [pic], или короче: [pic]. Эта формула используется в
тех случаях, когда подынтегральное выражение [pic]можно так представить в
виде [pic], что интеграл [pic]вычисляется проще исходного.
Пример: Вычислить [pic].
Положим [pic]. Тогда [pic]. В качестве [pic]выберем первообразную при
[pic]. Получим [pic]. Снова [pic]. Тогда [pic]. Окончательно получим:
[pic].
Замечание 26.5: Иногда при вычислении интеграла [pic]методом интегрирования
по частям получается зависимость: [pic]. Откуда можно получить выражение
для первообразной: [pic].
Интегрирование рациональных функций
Постановка задачи:[pic][pic] [pic]
|1). [pic] |2). [pic] |
|3). [pic] |
т.е. все задачи сводятся к задаче B.2).
Теорема 1: Пусть [pic], тогда, если: [pic], где [pic], то [pic][pic]Из этой
теоремы следует, что для интегрирования любой рациональной функции
необходимо уметь интегрировать следующие функции:
|1. [pic] |2. [pic] |3. [pic] |4. [pic] |5. [pic] |
|6. [pic] |7. [pic] |8. [pic] |9. [pic] |10. [pic]. |
Интегрирования дробно-линейных и квадратичных иррациональностей
[pic]
Сделав подстановку: [pic], получим: [pic].
тогда [pic]
[pic]
a). Подстановки Эйлера.
1). Корни многочлена [pic]- комплексные, сделав подстановку: [pic],
получим: [pic].
2). Корни многочлена [pic]- действительные: [pic]. Подстановка: [pic],
получаем: [pic].
b). Подстановка: [pic], далее, если:
|1). [pic]подстановка - [pic] |2). [pic]подстановка - [pic] |
|3). [pic]подстановка - [pic] |
c).
Если [pic]подстановка - [pic]
Интегрирование функций, рационально зависящих от тригонометрических
[pic]
Универсальная подстановка: [pic], тогда: [pic]
[pic]подстановка: [pic]
[pic]или [pic]- нечётные: вносим функцию при нечётной степени под знак
дифференциала
Интегрируется по частям
Неопределенный интеграл
Определение 26.1: Функция [pic]называется первообразной для функции [pic]на
[pic], если: [pic].
Пусть [pic]и [pic]- первообразные функции [pic]на [pic]. Тогда: [pic].
Определение 26.2: Неопределённым интегралом от функции [pic]на
[pic]называется объединение всех первообразных [pic]на этом интервале.
Обозначается: [pic].
Замечание 26.1: Если [pic]- одна из первообразных [pic]на [pic], то [pic].
Замечание 26.2: Подынтегральное выражение в определении представляет из
себя полный дифференциал первообразной [pic]на [pic], т.е. [pic].
Замечание 26.3: Два неопределённых интеграла равны “с точностью до
постоянной”.
Св-ва неопределенного интеграла:
1.Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному
выражению, а производная неопред. интегр. равна подынтегр. функции.
Благодаря этому св-ву правильность интегрирования проверяется
дифференцированием.
[pic], [pic]
2. Неопред. интегр. от дифференциала нек-рой функции равен сумме этой
функции и производной постоянной:
[pic]
3. Постоянный множитель м. выносить за знак интеграла:
[pic], где a[pic]0-постоянная.
4. Неопред. интегр. от алгебраич. суммы конечного числа непрерывных функций
равен алгебраич. сумме интегралов от слагаемых функций:
[pic]
5. (Инвариантность формулы интегрирования). Если[pic], то и [pic], где
u=[pic]- произвольн. функция, имеющая непрерывную производную.
Табличные интегралы
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
Определённый интеграл.
Интегрируемость
Определение 28.1: Множество точек отрезка [pic]таких, что: [pic]называют
разбиением отрезка [pic]. Длины частичных отрезков разбиения обозначим:
[pic]. Мелкостью разбиения [pic](читается – “дельта большое”) назовем
максимальнуя из длин отрезков разбиения, т.е. [pic].
Определение 28.2: Пусть в определении 28.1 для всех [pic]точки [pic].
Интегральной суммой функции [pic]на отрезке [pic]с разбиением [pic]будем
называть сумму (зависящую от разбиения [pic]и выбора точек [pic]) вида:
[pic].
Определение 28.3: Пределом интегральных сумм функции [pic]на отрезке
[pic]назовём такое число [pic], что [pic]. Обозначается: [pic].
Определение 28.4: Функция [pic]называется интегрируемой на отрезке [pic],
если существует конечный предел её интегнральных сумм на [pic].
Обозначается: [pic].
Теорема 28.1: Если [pic]интегрируема на отрезке [pic], то она ограничена на
нём.
Замечание 1: Эта теорема является необходимым, но недостаточным условием
интегрируемости функции. Пример – функция Дирихле (ограничена, но
неинтегрируема).
Критерий интегрируемости функций
Теорема 28.2: Для того, чтобы ограниченная на некотором отрезке функция,
была интегрируема на нём, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
условие: [pic].
Следствие 1: Условие Т.2 эквивалентно условию: [pic].
Следствие 2: Если функция интегрируема на , то: [pic].
Определение 28.8: Определённым интегралом функции [pic]на [pic]называется
число [pic], равное пределу интегральных сумм [pic]на [pic]. Условие
интегрируемости эквивалентно существованию определённого интеграла.
Свойства определённого интеграла
1. Если с – постоянное число и функция f(x) интегрируема на [a;b], то
[pic], т.е. пост. множитель с можно выносить за знак определенного интег-
ла.
2. Если функции f(x), g(x) интегрируемы на [a;b], тогда интегрируема на
[a;b] их сумма и разность
[pic], [pic]
3. Если [pic], то: [pic]
4. Если функция f(x) интегрируема на [a;b] и a | |
