|
Реферат: Курсовая работа по численным методам (Математика)
1. Методом Крылова развернуть характеристический определитель матрицы
А=[pic]. Исходную систему линейных уравнений решить методом Жордана-Гаусса.
Решение. Метод Крылова основан на свойстве квадратной матрицы
обращать в нуль свой характеристический многочлен.
Согласно теореме Гамильтона-Кали, всякая квадратная матрица является
корнем своего характеристического многочлена и, следовательно, обращает его
в нуль.
Пусть
[pic] – (1)
характеристический многочлен.
Заменяя в выражении (1) величину [pic] на [pic], получим
[pic]. (2)
Возьмем произвольный ненулевой вектор
[pic]. (3)
Умножим обе части выражения (2) на [pic]:
[pic] (4)
Положим
[pic], (5)
т.е.
[pic] (6)
Учитывая (5), выражение (4) запишем в виде
[pic], (7)
или в виде
[pic]
Решаем систему (7). Если эта система имеет единственное решение, то
ее корни [pic] являются коэффициентами характеристического многочлена (1).
Если известны коэффициенты [pic] и корни [pic] характеристического
многочлена, то метод Крылова дает возможность найти соответствующие
собственные векторы по следующей формуле:
[pic] (8)
Здесь [pic] – векторы, использованные при нахождении коэффициентов
[pic] методом Крылова, а коэффициенты [pic] определяются по схеме Горнера
[pic] (9)
Используя все выше сказанное, развернем характеристический
определитель матрицы А=[pic] методом Крылова.
Выберем в качестве начального следующий вектор:
[pic], [pic]
Вычислим
[pic][pic][pic]
Составим матричное уравнение
[pic], или [pic]
Полученную систему уравнений решим методом Жордана-Гаусса.
| |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |
|1|9 |2 |0 |-72 |-61 |-61 |
| |-1 |1 |0 |-3 |-3 |-3 |
| |30 |5 |1 |-167 |-131 |-131 |
|2|1 |2/9 |0 |-8 |-61/9 |-61/9 |
|3|1 |0 |0 |-6 |-5 |-5 |
| |0 |1 |0 |-9 |-8 |-8 |
| |0 |1 |0 | | | |
| |0 |0 |1 | | | |
Исходя из результатов таблицы, имеем [pic].
Таким образом характеристическое уравнение матрицы [pic] имеет вид
[pic]
2. Для определения собственных чисел матрицы [pic] необходимо решить
полученное характеристическое уравнение третьей степени
[pic]
Данное кубическое уравнение невозможно решить стандартными
средствами. Воспользуемся для этой цели числовыми методами, а точнее
методами приближенного вычисления.
2.1 Исследование функции.
Вычислим первую и вторую производные данной функции
[pic]
[pic]
Необходимо выбрать интервал, на котором будем находить решение.
Для отделения корней существует несколько способов. Наиболее
популярные из них – графический и аналитический.
В литературе рассматриваются эти способы по отдельности. По заданию
курсовой работы требуется отделить корни каждым из этих способов. Рискну
нарушить это требование, и объединить эти два способа в один. То есть
исследовать функцию аналитически и по результатам исследования построить
приблизительный график функции.
Областью значений исходного уравнения является вся ось [pic].
Приравняв первую производную к нулю, мы можем получить критические
точки данной функции (точки минимумов и максимумов, или же точки, в которых
функция не определена).
[pic]
[pic]
[pic]
Стоит отметить, что для вычисления квадратного корня, также применимы
числовые методы, на которых и основаны микрокалькуляторы и программы для
ЭВМ. Данные методы основаны на логарифмировании корня и последующего
вычисления.
[pic]
[pic] вычисляется при помощи числового ряда
[pic]
Уравнение [pic] имеет решение [pic], [pic]. Изменив знак равенства на
знак неравенства (< или >), можем найти промежутки возрастания и убывания
функции.
Функция возрастает на промежутке [pic] и убывает на промежутке [pic].
Подставив в исходное уравнение значения критических точек, имеем в
результате для [pic] и для [pic].
Приравняв вторую производную к нулю, мы можем найти точку перегиба и,
соответственно, найти интервал, на котором функция выпуклая и вогнутая.
[pic]
[pic]
[pic]
Далее необходимо найти, интервалы, в которых график функции
пересекает ось [pic].
Сразу можно определиться, что так при [pic] значение функции больше
нуля, а при [pic] - меньше нуля, то одна из точек пересечения, будет лежать
на данном интервале. Произведя не хитрые математические вычисления значения
функции для [pic], сузим интервал до [pic].
Далее рассмотрим оставшиеся два интервала.
Известно, что при [pic] - значение функции отрицательно, а в первой
критической точке положительно, то будем сужать этот промежуток. В данном
случае применим метод половинного деления.
|[pic]|[pic] |
|0 |58 |
|-100 |-1059042 |
|-50 |-139492 |
|-25 |-19092 |
|-12 |-2426 |
|-6 |-320 |
|-3 |4 |
|-5 |-172 |
|-4 |-66 |
|[pic] |[pic] |
|4 |-10 |
|100 |939158 |
|50 |109608 |
|25 |11708 |
|12 |814 |
|6 |4 |
|5 |-12 |
Таким образом получили еще один интервал [pic].
Следующий будет от [pic] и до бесконечности.
Произведем аналогичные вычисления и получим промежуток [pic]
На основании произведенного анализа построим график исходной функции.
[pic]
2.2 Метод хорд.
Сразу необходимо заметить, что существуют два случая (варианта) при
решении методом хорд.
Случай первый. Первая и вторая производные функции имеют одинаковые
знаки, т.е. [pic].
В этом случае итерационный процесс осуществляем по формуле
[pic]
Случай второй. Первая и вторая производные функции имеют разные
знаки, т.е. [pic].
В этом случае итерационный процесс осуществляем по формуле
[pic]
Для оценки точности приближение можно воспользоваться формулой
[pic],
где [pic] при [pic], [pic] – точное значение корня.
Итак решим наше уравнение [pic] методом хорд с точностью [pic].
2.2.1 Интервал [pic].
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Так как первая и вторые производные в точке, от которой мы начинаем
работать имеют различные знаки, то работаем по второму варианту.
Результаты вычисления приведены в таблице.
|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |
|-4,0000000 |-3,0000000 |-66,0000000 |4,0000000 |0,0740741 |
|-4,0000000 |-3,1142857 |-66,0000000 |-2,3688397 |0,0438674 |
|-4,0000000 |-3,0440850 |-66,0000000 |1,5901736 |0,0294477 |
|-4,0000000 |-3,0901012 |-66,0000000 |-0,9879693 |0,0182957 |
|-4,0000000 |-3,0610770 |-66,0000000 |0,6456578 |0,0119566 |
|-4,0000000 |-3,0798611 |-66,0000000 |-0,4086778 |0,0075681 |
|-4,0000000 |-3,0678974 |-66,0000000 |0,2640772 |0,0048903 |
|-4,0000000 |-3,0755972 |-66,0000000 |-0,1684077 |0,0031187 |
|-4,0000000 |-3,0706743 |-66,0000000 |0,1083107 |0,0020058 |
|-4,0000000 |-3,0738353 |-66,0000000 |-0,0692833 |0,0012830 |
|-4,0000000 |-3,0718112 |-66,0000000 |0,0444729 |0,0008236 |
|-4,0000000 |-3,0731096 |-66,0000000 |-0,0284836 |0,0005275 |
|-4,0000000 |-3,0722776 |-66,0000000 |0,0182690 |0,0003383 |
|-4,0000000 |-3,0728111 |-66,0000000 |-0,0117068 |0,0002168 |
|-4,0000000 |-3,0724692 |-66,0000000 |0,0075061 |0,0001390 |
|-4,0000000 |-3,0726884 |-66,0000000 |-0,0048109 |0,0000891 |
|-4,0000000 |-3,0725479 |-66,0000000 |0,0030843 |0,0000571 |
|-4,0000000 |-3,0726380 |-66,0000000 |-0,0019770 |0,0000366 |
[pic]
2.2.2 Интервал [pic].
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Так как первая и вторые производные в точке, от которой мы начинаем
работать имеют различные знаки, то работаем по второму варианту.
Результаты вычисления приведены в таблице.
|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |
|3,0000000 |4,0000000 |4,0000000 |-10,0000000 |-0,2222222 |
|3,0000000 |3,2857143 |4,0000000 |-0,8746356 |-0,0485909 |
|3,0000000 |3,2344498 |4,0000000 |-0,0423087 |-0,0023505 |
|3,0000000 |3,2319959 |4,0000000 |-0,0019734 |-0,0001096 |
|3,0000000 |3,2318815 |4,0000000 |-0,0000919 |-0,0000051 |
[pic]
2.2.3 Интервал [pic].
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Так как первая и вторые производные в точке, от которой мы начинаем
работать имеют одинаковые знаки, то работаем по первому варианту.
Результаты вычисления приведены в таблице.
|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |
|5,0000000 |6,0000000 |-12,0000000 |4,0000000 |0,6666667 |
|5,7500000 |6,0000000 |-2,0156250 |4,0000000 |0,3359375 |
|5,8337662 |6,0000000 |-0,1613014 |4,0000000 |0,0268836 |
|5,8402098 |6,0000000 |-0,0120198 |4,0000000 |0,0020033 |
|5,8406885 |6,0000000 |-0,0008909 |4,0000000 |0,0001485 |
|5,8407240 |6,0000000 |-0,0000660 |4,0000000 |0,0000110 |
[pic]
Итак, корнями уравнения [pic] будут [pic], [pic], [pic].
2.3 Метод касательных (метод Ньютона).
В век повальной компьютеризации не есть хорошо считать при помощи
логарифмической линейки. Поэтому, разработаем алгоритм и прикладную
программу для решения кубических уравнений методом Ньютона.
Ниже приведена блок-схема алгоритма и листинг программы, реализующей
данный алгоритм на языке С++. Также привожу текст, которая выдает данная
программа при решении исходного уравнения.
[pic]
//метод Ньютона длЯ решениЯ кубических уравнений
#include
#include
double a[4]={0},
b[3]={0},
c[2]={0},
prec=0.00000;
double minim=0, maxim=0;
void Hello(void);
void Input();
void Derivative();
void Calculation();
double Calc_Fun(double);
double Calc_First(double);
double Calc_Second(double);
main(void)
{
Hello();
Input();
Derivative();
Calculation();
return 0;
}
void Hello(void)
{
cout | |
