|
Реферат: Математическое моделирование (Математика)
МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ СТАЛИ И СПЛАВОВ
кафедра инновационного проектирования
В . М . КЛЕМПЕРТ
Методические указания
по выполнению курсовой работы в
курсе "Математическое моделирование"
Москва
1998
СОДЕРЖАНИЕ
1. Тематика курсовой работы
3
2. Задание на выполнение курсовой работы
17
3. Состав, объем и содержание курсовой работы
18
4. Оформление курсовой работы
18
5. Защита курсовой работы
19
1. ТЕМАТИКА КУРСОВОЙ РАБОТЫ
ВВЕДЕНИЕ
Различают четыре типа зависимостей между переменными:
1)Зависимость между неслучайными переменными, не требующую для
своего изучения применения статистических методов;
2) 1)Зависимость случайной переменной y от неслучайных переменных,
исследуемую методами регрессионного анализа;
3) 1)Зависимость между случайными переменными y и xi, изучаемую
методами корреляционного анализа;
4) 1)Зависимость между неслучайными переменными, когда все они
содержат ошибки измерения, требующую для своего изучения применения
конфлюэнтного анализа.
Применение регрессионного анализа для обработки результатов
наблюдений позволяет получить оценку влияния переменных, рассматриваемых в
качестве аргументов (независимых переменных) на переменную, которая
считается зависимой от первых.
Курсовая работа направлена на освоение методов регрессионного
анализа в процессе разработки математического описания исследуемого
процесса или явления. Курсовая работа предусматривает обработку
экспериментальных данных и поиск наиболее удовлетворительной гипотезы
взаимосвязи между функцией и аргументами.
В качестве таких гипотез рассматриваются линейная и нелинейная
регрессионные модели, каждая из которых может быть парной (только две
переменных - функция и аргумент) или множественной (одна функция и
несколько аргументов).
Относительно закона изменения независимых переменных x i не делается
никаких ограничений -
ЛИНЕЙНАЯ ПАРНАЯ РЕГРЕССИЯ
Для нахождения теоретической линии регрессии по данным
производственных замеров или специально поставленных экспериментов
применяется метод наименьших квадратов, с помощью которого путем
определенных вычислений находится уравнение y = f(x), соответствующее
взаимосвязи рассматриваемых параметров. А именно, отыскивается
теоретическая линия регрессии у по х, занимающая в корреляционном поле
такое положение, при котором выполняется требование, чтобы сумма квадратов
расстояний от этой линии до каждой точки в корреляционном поле являлась
минимальной.
При изображении корреляционного поля на графике по оси у
откладывают значения функции, а по оси х — значения аргумента .
Теоретическая линия регрессии у по х должна быть внесена в корреляционное
поле таким образом, чтобы соблюдался принцип наименьших квадратов:
m
S2 = ( (yj2 = ( ( yj ( y' j)2
( 1 )
j = 1
где j— порядковый номер точки в исходном числовом материале:
у j—измеренное значение функции для определенного значения аргумента
(х);
y'/--расчетное значение функции при заданной величине аргумента (х) в
соответствии с теоретической их взаимосвязью. В случае линейной
зависимости
y'j = a + b x j.
(2)
Задача сводится к отысканию коэффициентов регрессии а и b уравнения
(2), т. е. заранее установлено, что рассматриваемые параметры у и х связаны
линейной зависимостью по уравнению (2).
Величина (yj представляющая собой расстояние от каждой точки
корреляционного поля до теоретической линии регрессии, определяется из
уравнения
(yj = yj ( ( a + b x j )
(3)
где x j— параметр х, соответствующий измеренному значению у j.
Для определения численных значений коэффициентов регрессии a и b,
исходя из принципа наименьших квадратов отклонений, нужно приравнять нулю
частные производные функции S 2 по a и b:
(S 2/ ( a = ( ( ( (yj ) 2 / ( a = 0,
( 4 )
(S 2/ ( b = ( ( ( (yj ) 2 / ( b = 0
( 5 )
Выполнив необходимые преобразования, получим систему двух уравнений с
двумя неизвестными для определения a и b:
( y = m a + b ( x
( yx = a ( x + b (x 2
. ( 6 )
Решая систему уравнений относительно a и b, находим численные
знаяения коэффициентов регрессии. Величины (y, (x, (yx, (x2 находятся
непосредственно по данным производственных измерений, которые заданы в
курсовой работе.
Величина свободного члена уравнения регрессии (2), или коэффициента а
равна функции у при x = 0.
Коэффициент b в уравнении регрессии характеризует изменение функции у
при изменении аргумента х на единицу. и графически отражает угол наклона
линии уравнения регрессии
При решении практических задач регрессионного анализа возникает вопрос
об оценке тесноты исследуемой взаимосвязи, т. е. насколько полученные на
основе обработки производственных или лабораторных данных уравнения
регрессии достоверны. В случае парной линейной корреляции в качестве оценки
тесноты связи используют обычно коэффициент корреляции, который
рассчитывается по формуле:
r = ( XY ( X * Y ) / ( ( x *
( y ). ( 7 )
Числитель выражения для коэффициента корреляции r представляет собой
разность между средним значением произведения XY и произведением
средних значений X * Y измеренных значений параметров x и y исходной
информации. Знаменатель равен произведению средних квадратических
отклонений значений параметров у и х от своих средних. Средние
квадратические отклонения (стандартные отклонения) рассчитываются по
формулам:
( x = { [ ( ( x j ( X ) 2 ] / m }1/2
( 8 )
( y = { [ ( ( y j ( Y ) 2 ] / m }1/2 .
( 9 )
Квадраты средних квадратических отклонений y и х (( x 2 и ( y 2 )
называются дисперсиями
D x = [ ( ( x j ( X ) 2 ] / m
( 10 )
Dy = [ ( ( y j ( Y ) 2 ] / m
( 11 )
и являются важными статистическими оценками рассеяния значений какой-либо
величины около ее среднего значения.
Величина коэффициента корреляции r может изменяться от 0 при полном
отсутствии связи до ±1 при наличии линейной функциональной связи х с у.
Если r > 0, между х и у имеет место положительная корреляционная связь, т.
е. с ростом параметра х увеличивается параметр у, если r < 0, между х и
у имеет место отрицательная связь. С коэффициентом регрессии b в
уравнении (2) коэффициент корреляции связан соотношением
r = b ( x
/ ( y . ( 12 )
Угловой коэффициент регрессии b представляет собой тангенс угла
наклона линии регрессии к оси абсцисс . Следовательно, чем больше наклон
линии регрессии к оси абсцисс, тем больше значение коэффициента корреляции,
т. е. тем значительнее будет изменение функции у при изменении на единицу
аргумента х.
Малая величина коэффициента корреляции указывает на отсутствие
линейной связи, однако криволинейная связь между рассматриваемыми
параметрами при этом может быть достаточно тесной. Коэффициент корреляции
отражает не только величину приращения у при изменении х, но и тесноту
связи функции и аргумента. Чем больше разброс точек относительно линии
регрессии, тем меньше коэффициент корреляции. Это свойство коэффициента
корреляции отражено в его формуле в виде соотношения стандартных
отклонений.
Для оценки надежности полученного результата используют иногда
критерий надежности (, который учитывает как величину коэффициента
корреляции, так и число пар измерений. Критерий надежности (
рассчитывается по формуле
( = r * [m ( 1] 1/2 / (1 ( r 2
), ( 13)
где r— коэффициент корреляции;
т—число пар измерений.
Как видно из формулы критерия надежности, чем выше коэффициент
корреляции и большее число пар измерений, тем больше показатель надежности.
При (, > 2,6 связь считается статистически достоверной.
Располагая данными можно выполнить анализ взаимосвязи аргумента и
функции : построить график с корреляционным полем рассматриваемых
показателей, определить теоретическую линию регрессии, оценить тесноту
связи для выбранных параметров. Однако, проанализировав конфигурацию
корреляционного поля, построенного по исходным данным, можно усмотреть
что описание взаимосвязи рассматриваемых параметров с помощью прямой линии
не является наилучшей аппроксимацией. Иногда в данное поле корреляции
значительно лучше впишется некоторая кривая.
Таким образом из технологического опыта может следовать, что связь
между аргументом и функцией имеет криволинейный характер. Возможно, что
аппроксимация производственных данных в виде кривой точнее отражала бы
существующую взаимосвязь.
КРИВОЛИНЕЙНАЯ ПАРНАЯ РЕГРЕССИЯ
Аппроксимация кривой выполняется тем же путем с использованием метода
наименьших квадратов, что и выравнивание по прямой линии . Линия регрессии
должна удовлетворять условию минимума суммы квадратов расстояний до каждой
точки корреляционного поля. В данном случае в уравнении (1) у представляет
собой расчетное значение функции, определенное при помощи уравнения
выбранной криволинейной связи по фактическим значениям х j. Например, если
для аппроксимации связи выбрана парабола второго порядка, то
y = а + b x + cx2,
( 14 )
.а разность между точкой, лежащей на кривой, и данной точкой
корреляционного поля при соответствующем аргументе можно записать
аналогично уравнению (3) в виде
(yj = yj ( ( a + bx + cx2)
( 15 )
При этом сумма квадратов расстояний от каждой точки корреляционного
поля до новой линии регрессии в случае параболы второго порядка будет иметь
вид:
S 2 = ( (yj 2 = ( [yj ( ( a + bx + cx2)] 2
( 16 )
Исходя из условия минимума этой суммы, частные производные S 2 по а,
b и с приравниваются к нулю. Выполнив необходимые преобразования, получим
систему трех уравнений с тремя неизвестными для определения a, b и с.
, ( y = m a + b ( x + c ( x 2
( yx = a ( x + b ( x 2 + c ( x 2.
( yx2 = a ( x 2 + b( x 3 + c ( x4 .
( 17 ).
Решая систему уравнений относительно a, b и с, находим численные
значения коэффициентов регрессии. Величины (y, (x, (x2, (yx, (yx2, (x3,
(x4.находятся непосредственно по данным производственных измерений.
Оценкой тесноты связи при криволинейной зависимости служит
теоретическое корреляционное отношение ( xу , представляющее собой корень
квадратный из соотношения двух дисперсий: среднего квадрата (р2 отклонений
расчетных значений y' j функции по найденному уравнению регрессии от
среднеарифметического значения Y величины y к среднему квадрату
отклонений (y2 фактических значений функции y j от ее
среднеарифметического значения :
( xу = { (р2 / ( y2 } 1/2 = { ( (y' j - Y)2 / ( (y j - Y)2 } 1/2
( 18 )
Квадрат корреляционного отношения (xу2 показывает долю полной
изменчивости зависимой переменной у, обусловленную изменчивостью аргумента
х. Этот показатель называется коэффициентом детерминации. В отлично от
коэффициента корреляции величина корреляционного отношения может принимать
только положительные значения от 0 до 1. При полном отсутствии связи
корреляционное отношение равно нулю, при наличии функциональной связи оно
равно единице, а при наличии регрессионной связи различной тесноты
корреляционное отношение принимает значения между нулем и единицей. Выбор
типа кривой имеет большое значение в регрессионном анализе, поскольку от
вида выбранной взаимосвязи зависит точность аппроксимации и статистические
оценки тесноты связи. Наиболее простой метод выбора типа кривой состоит в
построении корреляционных полей и в подборе соответствующих типов
регрессионных уравнений по расположению точек на этих полях. Методы
регрессионного анализа позволяют отыскивать численные значения
коэффициентов регрессии для сложных видов взаимосвязи параметров,
описываемых, например, полиномами высоких степеней. Часто вид кривой может
быть определен на основе физической сущности рассматриваемого процесса или
явления. Полиномы высоких степеней имеет смысл применять для описания
быстро меняющихся процессов в том случае, если пределы колебания параметров
этих процессов значительные.
Применительно к исследованиям металлургического процесса достаточно
использовать кривые низших порядков, например параболу второго порядка.
Эта кривая может иметь один экстремум, что, как показала практика,
вполне достаточно для описания различных характеристик металлургического
процесса.
Результаты расчетов параметров парной корреляционной взаимосвязи были
бы достоверны н представляли бы практическую ценность в том случае, если бы
используемая информация была получена для условий широких пределов
колебаний аргумента при постоянстве всех прочих параметров процесса.
Следовательно, методы исследования парной корреляционной взаимосвязи
параметров могут быть использованы для решения практических задач лишь
тогда, когда существует уверенность в отсутствии других серьезных влияний
на функцию, кроме анализируемого аргумента. В производственных условиях
вести процесс таким образом продолжительное время невозможно. Однако если
иметь информацию об основных параметрах процесса, влияющих на его
результаты, то математическим путем можно исключить влияние этих параметров
и выделить в «чистом виде» взаимосвязь интересующей нас функции и
аргумента. Такая связь называется частной, или индивидуальной. Для ее
определения используется метод множественной регрессии.
МНОЖЕСТВЕННАЯ ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ
Множественной регрессией называется взаимосвязь трех и более
переменных, или влияние двух и более аргументов на функцию
y = f ( x1 , x2, .... xn).
( 19 )
Для простоты рассмотрим случай, когда функция у сопоставляется с
двумя аргументами x 1 и x 2 . Такую зависимость графически можно
представить в трехмерном пространстве {у, x 1 , x 2} Совокупность всех т
точек представляет собой корреляционное пространство. Задача определения
связи у от x 1 и x 2 состоит в том, чтобы подобрать такую плоскость,
например плоскость Р , которая наилучшим образом вписалась бы в данное
корреляционное пространство:
y = a + b 1 x 1 + b 2 x 2 .
( 20 )
При этом под словами «наилучшим образом» понимается удовлетворение
требованию наименьших квадратов, т. е. сумма квадратов расстояний каждой
точки корреляционного поля от искомой плоскости [уравнение y = a + b 1 x
1 + b 2 x 2 ] должна быть минимальной. Это расстояние определяется
выражением
(yj = yj ( ( a + b 1 x 1 + b 2 x 2)
( 21 )
Требуется найти значения коэффициентов a, b 1 и b 2.
Выполнив необходимые преобразования, получим систему трех уравнений с
тремя неизвестными:
, ( y = m a + b1 ( x1 + b2 ( x2
( yx1 = a ( x1 + b 1 ( x 12 + b2 ( x 1 x 2.
( yx 2 = a ( x2 + b 1 ( x1 x2 + b 2 ( x22.
( 22 )
Решение системы уравнений относительно коэффициентов a, b 1 и b 2,
позволяет определить их численные значения. Величины (y, (x1, (x12, (
yx1, (y x2, (x2, (x22, (x1 x2 .находятся непосредственно по данным
производственных измерений.
Таким образом, найденное уравнение регрессии описывает совместное
влияние x 1 и x2 на функцию у. Коэффициенты a, b 1 и b 2 при этом
имеют математический смысл.
Коэффициент а равен функции у при нулевых значениях аргументов x 1 и x
2. В геометрической интерпретации коэффициент а соответствует ординате
точки пересечения плоскости регрессии Р с осью y.
Коэффициент b 1 равен изменению функции у при изменении первого аргумента
х 1 на единицу при неизменном втором аргументе x 2. Аналогично коэффициент
регрессии b 2 равен изменению функции у при изменении второго аргумента
x 2 на единицу при неизменном первом аргументе x 1.
Из уравнения множественной линейной регрессии могут быть получены
уравнения частной регрессии аргументов x 1 и x 2 на функцию у:
у = a' 1 + b 1 х 1
( 23 a )
у = a' 2 + b 2 х 2
( 23 b )
При этом угловые коэффициенты регрессии b 1 и b 2 сохраняют те же
числовые значения, что и в уравнении множественной регрессии. Свободные
члены уравнений для y можно подсчитать следующим образом:
a' 1 = а + b 2 X 2,
( 24 a )
a' 2 = а + b 1 X 1,
( 24 b )
где а— свободный член в уравнении множественной регрессии ;
X 1, X 2—средние значения соответствующих аргументов.
х.
Закономерности и выводы, используемые при исследовании
взаимосвязи трех переменных (в трехмерном пространстве), применимы и для
взаимосвязи большего числа переменных, .т. е. для многомерного
пространства типа
y= f ( x1 , x2, .... xn)
( 25 )
В этом случае расчет уравнения множественной линейной регрессии типа
y = a+ b 1 x 1 + b 2 x 2 +. b 3 x 3 + + b n x n
( 26 )
ведется для определения коэффициентов a, b 1, b 2, b n.
Чтобы определить численные значения этих величин, необходимо решить
систему уравнений: аналогичную приведенной выше для двух аргументов и
функции.
Определив коэффициенты регрессии решением системы уравнений , получим
уравнение множественной линейной регрессии , из которого могут быть
получены уравнения частной взаимосвязи функции с каждым аргументом:
у = a' i + b i х i ,
(27)
где a' i—свободный член частного уравнения регрессии;
i - порядковый номер анализируемого аргумента.
Так же как и в случае трехмерной задачи, угловой коэффициент регрессии
b i сохраняет то же численное значение, что и в уравнении множественной
линейной регрессии . Свободный член частного уравнения регрессии
рассчитывается по формуле
n
a' i = а + ( b i X i ( b e X e
( 28 )
i = 1
где а — свободный член множественного линейного уравнения регрессии;
n — количество -аргументов;
X i—средние значения аргументов;
X e —среднее значение одного из -аргументов.
Оценкой тесноты связи при множественной линейной регрессии служит
коэффициент множественной корреляции R, определяемый по формуле:
R = { b 1 [ ( x1 / ( y ] r yx1 + ... + b n [ ( x n / ( y ] r yx n }
1/2 ( 29 )
Величина коэффициента множественной корреляции всегда положительна и
может меняться от 0 (при отсутствии связи) до 1 (при функциональной связи).
С помощью коэффициента множественной корреляции оценивают совместное
влияние на зависимую переменную всех включенных в расчет аргументов.
Квадрат величины коэффициента множественной корреляции показывает долю
изменчивости зависимой переменной, обусловленную изменением всех
рассматриваемых аргументов, и называется коэффициентом множественной
детерминации.
Для оценки тесноты частной взаимосвязи функции и каждого аргумента
служит коэффициент частной корреляции. Этот статистический показатель
учитывает тесноту взаимосвязи функции и одного из показателей-аргументов
при условии, что остальные аргументы закреплены на уровне своих средних
значений и не влияют на функцию. Коэффициент частной корреляции
обозначается индексом r yx i, где i—порядковый номер оцениваемого
аргумента) и рассчитывается по формуле
{ 1 ( R 2 n } } 1/2
r yx i = { 1 - ----------------}
( 30 )
{ 1 ( R 2 n - 1 }
где R 2 n — квадрат коэффициента множественной корреляции для п аргументов;
R 2 n - 1 —-квадрат коэффициента множественной корреляции для n—1
аргументов без i-того^. Как видно из формулы ( 30 ), коэффициент частной
корреляции позволяет выделить уменьшение изменчивости фактических значений
функции вокруг расчетных, связанное с введением в расчет уравнения
множественной регрессии i -того аргумента. Коэффициент r yx i принимает
значения от 0 ( при отсутствии связи) до 1 (при наличии функциональной
связи). Из формулы (30 ) невозможно определить знак коэффициента частной
корреляции, поэтому его определяют по знаку углового коэффициента регрессии
b i для данного аргумента. Значение коэффициента частной корреляции может
отличаться от коэффициента парной корреляции не только по величине, но и по
знаку для одной и той же задачи. При этом нужно помнить, что коэффициент
частной корреляции является более объективной оценкой действительной
взаимосвязи.
Оценка тесноты индивидуальной связи функции и аргумента при
множественной регрессии с помощью коэффициента частной корреляции является
более достоверной. Это соображение подтверждается уменьшением рассеяния
точек относительно линии частной регрессии по сравнению с линией парной
регрессии. Следовательно, даже при уменьшении коэффициента частной
корреляции по сравнению с парным при частной регрессии наблюдается более
тесная связь между функцией и аргументом.
Для расчета по формуле (30) необходимо рассчитать коэффициенты
регрессии с помощью систем уравнений отдельно для п и п—1 аргументов.
При этом значения коэффициентов будут различными.
Итак, в результате решения уравнения множественной регрессии , можно
найти численные значения коэффициентов а, b 1, b 2, b 3, ..., b п. ,
определить показатели тесноты связи, а именно коэффициент множественной
корреляции R, коэффициент детерминации , коэффициенты частной корреляции
r' ух i.
Несмотря на то что уравнения частной линейной регрессии характеризуют
реальную взаимосвязь функции и i-того аргумента с большей достоверностью,
чем уравнения парной регрессии, они во многих случаях не удовлетворяют
исследователей. Недостаток уравнений частной линейной регрессии заключается
в том, что анализируемая зависимость представляется в виде прямой. В
действительности, большинство взаимосвязей параметров металлургических
процессов имеет криволинейный характер. Любое техническое мероприятие тем
эффективней, чем хуже абсолютные исходные показатели.
Для повышения достоверности взаимосвязей параметров технологического
процесса необходимо определить уравнения частной криволинейной регрессии.
Рассмотрим несколько способов такого определения.
ЧАСТНАЯ КРИВОЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ НА ОСНОВЕ МНОЖЕСТВЕННОЙ ЛИНЕЙНОЙ
РЕГРЕССИИ
Для упрощения рассмотрим задачу, в которой фигурируют два аргумента
( x 1 и x 2) и функция у. Рассчитаем уравнение множественной линейной
регрессии, т. е. определим численные значения коэффициентов а, b 1 и b 2
Найдем уравнения частной криволинейной регрессии. Например, чтобы
получить уравнение частной регрессии у по x 2, нужно исключить влияние на у
аргумента x 1. Для этого можно использовать следующий прием: каждое
значение функции у в таблице исходной информации нужно скорректировать на
величину отклонения первого аргумента от своего среднего, пользуясь для
этого найденным угловым коэффициентом регрессии bi. Тогда каждое
скорректированное значение функции у' будет равно:
y' j = y j ( (x 1j ( X j ) b 1 ,
( 31 )
где y j —значение функции в таблице исходной информации
x 1j —значение первого аргумента в таблице исходной информации;
X j - среднее значение первого аргумента
Таким образом, скорректированное значение функции представляет
собой фактическое значение функции скорректированное на влияние первого
аргумента. В результате получаем ряд скорректированных значений функции,
который не имеет регрессионной связи с рядом значений первого аргумента
(коэффициент корреляции между скорректированной функцией и первым
аргументом равен нулю).
Если в задаче имеется, например, п аргументов, то корректировка
исходных значений функции должна быть выполнена по всем аргументам, кроме
одного, частную связь которого с функцией предполагается определить. Для
этого скорректированные значения функции у по всем аргументам, кроме
второго, можно рассчитать по уравнению:
y' j = y j ( (x 1 j ( X 1j ) b 1( (x 3 j ( X j ) b 3( (x n j ( X n )
b n ( 32 )
гловой коэффициент регрессии из Таким:
^ == 523,0— 0,00493 Шл + 0,0001155 Шл".
. Расчет парной криволинейной связи между у' j и х 2j может быть
выполнен по методике, рассмотренной выше с использованием метода
наименьших квадратов. Например, если для аппроксимации связи выбрана
парабола второго порядка, то уравнение частной криволинейной регрессии
следующее
у** j = а** + b**2 x2 + c**2 x22
( 33) .
а разность между точкой, лежащей на кривой, и данной точкой корреляционного
поля
(yj = y'j ( у** j = y'j ( (а** + b**2 x2 + c**2 x22)
(34 )
При этом сумма квадратов расстояний от каждой точки корреляционного
поля до новой линии регрессии в случае параболы второго порядка будет иметь
вид:
S 2 = ( (yj 2 = ([ y'j ( (а** + b**2 x2 + c**2 x22)] 2
( 35 )
Исходя из условия минимума этой суммы, частные производные S 2 по
а**, b** 2 и с** 2 приравниваются к нулю. Выполнив необходимые
преобразования, получим систему трех уравнений с тремя неизвестными для
определения a**, b** и с**.
, ( y' = m a** + b**2 ( x 2 + c**2 ( x2 2
( y'x 2 = a** ( x2 + b**2 ( x2 2+ c** 2 ( x2 3
( y'x22 = a** ( x 22 + b**2 ( x2 3 + c**2 ( x2 4.
( 36 )
Решая систему уравнений (36) относительно a **, b**2 и с**2, находим
численные значения коэффициентов регрессии
Определяется парное корреляционное отношение для связи между
скорректированными значениями функции у' и соответствующим аргументом x i.
Парное корреляционное отношение является частным корреляционным отношением
для связи между фактическими исходными значениями функции у и
соответствующим аргументом к. В отличие от парного частное корреляционное
отношение будем обозначать индексом (** уx i , где i— -порядковый номер
аргумента, теснота связи с которым оценивается данным корреляционным
отношением. Значение частного корреляционного отношения то же, что и
коэффициента частной корреляции в случае множественной линейной корреляции.
Частное корреляционное отношение (** уx i :, определяется аналогично
парному корреляционному отношению.
(** уx i ={ ( (y** j ( Y)2 / ( (y' j ( Y)2 } 1/2
( 37 )
Аналогичным путем рассчитываются частные взаимосвязи функции со
всеми остальными аргументами.
Рассмотрим еще одну методику определения частной криволинейной
регрессии, которая лишена этого недостатка.
ЧАСТНАЯ КРИВОЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ НА ОСНОВЕ МНОЖЕСТВЕННОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ
РЕГРЕССИИ
Для определения уравнения множественной криволинейной регрессии также
используется метод наименьших квадратов.
Рассмотрим случай, когда функция зависит от двух аргументов ( x 1
и x 2) аналогично примеру, рассмотренному при oписании множественной
линейной корреляции. В системе координат у— X 1— Х2 располагается некое
корреляционное пространство, образованное множеством точек , каждая из
которых соответствует результатам измерения параметров процесса. Задача
состоит в том, чтобы вписать в данное корреляционное пространство некую
поверхность, которая удовлетворяла бы условию наименьших квадратов
отклонений. Условию наименьших квадратов удовлетворяет поверхность для
которой сумма квадратов расстояний до точек корреляционного поля
минимальна:
Уравнение такой поверхности наилучшим образом
опишет взаимосвязь у, X 1 и Х2.
y = a + b1 x1 + c1 x12 + b 2 x 2 + c 2 x22 .
( 38 ) ,
Для определения коэффициентов такого уравнения используем систему
пяти уравнений с пятью неизвестными.
( y = m a + b1 (x1 + с1 (x12 + b2 (x2 + с2 (x22
( yx1 = a (x1 + b1 (x12 + с1 (x13 + b2 (x1 x2 + с2 (x22 x1
( yx1 2 = a (x12 + b1 (x13 + с1 (x14 + b2 (x2. x12 +с2 (x 22 x12
( yx2 = a (x2 + b1 (x1 x2+ с1 (x12 x 2 + b2 (x22 + с2 (x23
( yx22 = a (x22 + b1 (x1 x22 + с1 (x12 x22+ b2 (x23. + с2 (x24 (39)
Если все точки корреляционного пространства находятся на расчетной
поверхности, то множественное корреляционное отношение будет равно
единице. При этом связь между функцией у и аргументами x 1 и x2 будет
функциональной. По мере удаления точек от расчетной поверхности этот
показатель будет уменьшаться, приближаясь к нулю.
При переходе к анализу криволинейных связей возникает проблема выбора
типа кривой, с помощью которой выполняется аппроксимация каждой пары
рассматриваемых переменных. Для монотонно меняющегося процесса в
сравнительно небольших интервалах изменения параметров, каким является
металлургический процесс, можно без значительной ошибки аппроксимировать
все существующие связи Xi—Хе и у—Xi с помощью полиномов второй степени.
Такое допущение намного упрощает методику расчета, , но в то же время
сохраняет рассмотренные выше преимущества, присущие криволинейной
аппроксимации. На основе сделанного допущения можно рассчитать уравнение
множественной криволинейной регрессии вида:
y = a + ( b i x i + ( c i xi 2
( 40 )
где b и c— коэффициенты регрессии при i-том аргументе (1 =1,
2,...,п);
n—число аргументов в регрессионной модели;
а—свободный член уравнения регрессии.
Коэффициенты а, b и c, так же как и прежде, находятся методом
наименьших квадратов из системы уравнений, которая в данном случае будет
большей по сравнению с системой для определения коэффициентов множественной
линейной регрессии. Количество неизвестных (а, b и c), равное числу
уравнений в случае множественной криволинейной регрессии, составит z = 2 n
+ 1, где п—число аргументов в корреляционной модели. Таким образом, если
для определения уравнения множественной линейной корреляции с десятью
аргументами необходимо решить систему из 11 уравнений с 11 неизвестными {а
и 10 x), то для нахождения уравнения с десятью аргументами необходимо
решить систему из 21 уравнения с 21 неизвестным .
Частное уравнение регрессии в этом случае имеет вид
уx i = а' + b i x i + c i xi2,
(41) .
причем свободный член этого уравнения а ' для каждой связи у— x i имеет
свое численное значение, отличное от свободного члена а в уравнении
множественной регрессии ( ), ( ), а значения коэффициенты регрессии b i и
c i те же. Свободный член частного уравнения регрессии в данном случае
рассчитывается по формуле
a 'i = a + ( b 1- (n - i ) X 1- (n - i ) + (c 1- (n - i )
X 21- (n - i ) ( 42 )
где a — свободный член уравнения множественной регрессии.
Второй член правой части уравнения представляет собой сумму произведений
средних значений каждого аргумента, кроме 1-того, на его коэффициент
регрессии b i, а третий член правой части уравнения представляет собой
сумму произведений квадратов средних значений каждого аргумента, кроме t-
того, на его коэффициент регрессии c i. Коэффициенты регрессии b и c
взяты из уравнения множественной регрессии . Таким образом, из уравнения
множественной регрессии может быть получен ряд уравнений частной регрессии
(по числу аргументов п в корреляционной модели), с помощью которых
определяются характер индивидуальных взаимосвязей функции и каждого
аргумента.
Оценкой тесноты частной корреляционной связи в данном случае служит
частное корреляционное отношение. Этот показатель рассчитывается аналогично
парному корреляционному отношению .
ЗАДАНИЕ НА ВЫПОЛНЕНИЕ КУРСОВОЙ
РАБОТЫ
Задание на выполнение курсовой работы состоит из краткого текста,
поясняющего существо приводимых в задании групп исходных данных и самих
групп исходных данных. Среди этих данных имеется несколько аргументов и
одна функция. В задача курсовой работы входит проверка гипотез возможных
связей между аргументами и функцией. Критерием правильности одной из
гипотез является показатель тесноты связи. Это либо коэффициент парной или
частной корреляции, либо парное или частное корреляционное отношение.
После статистической обработки исходных данных проводится сравнение
полученных показателей и делаются выводы о правомерности одного из
предположений о характере связей.
СОСТАВ, ОБЪЕМ И СОДЕРЖАНИЕ КУРСОВОЙ
РАБОТЫ
Курсовая работа включает теоретическую часть, в которой приводится
описание методов регрессионного анализа, применяемых в данной работе.
Следующий раздел предусматривает предварительную статистическую
обработку данных для их последующего рационального использования. Автор
работы указывает на необходимость вычисления средних значений аргументов,
средних квадратов аргументов, средних значений третьей и четвертой степени
и т.д., после чего составляется таблица обработки исходных данных. Вид
таблицы приведен ниже.
NN x1 x1 2 x13 x14 x2 x22 x23 x24 y yx1
yx2 yx12 yx22
--------------------------------------------------------------------------
------------
...... ..... .... ..... ..... ......
..... ..... ..... ..... ...... ...... ......
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------
Средние
значения X1 X1 2 X13 X14 X2 X22 X23 X24 Y YX1 YX2 YX12
YX22
Правильно составленная таблица позволяет легче справляться с вычмслением
различнхы ситуаций в процессе решения разделов регрессионного анализа.
ОФОРМЛЕНИЕ КУРСОВОЙ РАБОТЫ
Курсовая работа офрмляется следующим образом.
- Титульный лист с указанием фамилии , имени, отчества студента и
фамилии преподавателя
- Оригинал задания на выполнение курсовой работы
- Аннотация курсовой работы
- Оглавление работы
Теоретическая часть
Практическая часть работы
Выводы
Список использованной литературы
Приложения
ЗАШИТА КУРСОВОЙ РАБОТЫ
Защита курсовой работы происходит перед комиссией, составленной
из преподавателей кафедры. Студент в течение 5-8 минут докладывает основное
содержание работы, ее резулььаты и выводы, отвечает на вопросы членов
комиссии. Оценка курсовой работы производится членами комиссии по
пятибалльной системе с учетом содержания работы и ответа на вопросы.
Реферат на тему: Математическое моделирование в экономике
Волго-Вятская академия
государственной службы
Кафедра системного анализа
Реферат
по теме:
Математическое моделирование
в экономике.
Автор: Шаталина Юлия Владимировна
Проверил: Лисенкова Е.Е.
г. Нижний Новгород 1996 год
Важнейшим видом формализованного знакового моделирования является
математического моделирование, осуществляемое средствами языка математики и
логики. Для изучения какого-либо класса явлений внешнего мира строится его
математическая модель, т.е. приближенное описание этого класса явлений,
выраженное с помощью математической символики.
Сам процесс математического моделирования можно подразделить на
четыре основных этапа:
I этап: Формулирование законов, связывающих основные объекты модели,
т.е. запись в виде математических терминов сформулированных качественных
представлений о связях между объектами модели.
II этап: Исследование математических задач, к которым приводят
математические модели.
Основной вопрос - решение прямой задачи, т.е. получение в результате
анализа модели выходных данных (теоретических следствий) для дальнейшего их
сопоставления с результатами наблюдений изучаемых явлений.
III этап: Корректировка принятой гипотетической модели согласно
критерию практики, т.е. выяснение вопроса о том, согласуются ли результаты
наблюдений с теоретическими следствиями модели в пределах точности
наблюдений.
Если модель была вполне определена - все параметры ее были даны, - то
определение уклонений теоретических следствий от наблюдений дает решения
прямой задачи с последующей оценкой уклонений.
Если уклонения выходят за пределы точности наблюдений, то модель не
может быть принята. Часто при построении модели некоторые ее характеристики
остаются не определенными.
Применение критерия практики к оценке математической модели позволяет
делать вывод о правильности положений, лежащих в основе подлежащей изучению
(гипотетической) модели.
IV этап: Последующий анализ модели в связи с накоплением данных об
изученных явлениях и модернизация модели.
С появлением ЭВМ метод математического моделирования занял ведущее
место среди других методов исследования. Особенно важную роль этот метод
играет в современной экономической науке. Изучение и прогнозирование какого-
либо экономического явления методом математического моделирования позволяет
проектировать новые технические средства, прогнозировать воздействие на
данное явление тех или иных факторов, планировать эти явления даже при
существовании нестабильной экономической ситуации. Экономические модели,
исходя из общего процесса математического моделирования, строятся следующим
образом:
[pic]
Математические методы, основанные на математическом моделировании,
все шире применяются в промышленно-экономических исследованиях, в
частности, в операционных исследованиях.
Операционные исследования являются методом выработки количественно
обоснованных рекомендаций по принятию управленческих решений. Описание
всякой задачи операционных исследований включает в себя задание факторов
решения, которые являются численными переменными, налагаемых на них
ограничений (отражающих ограниченность ресурсов) и системы целей.
Всякая система факторов решения, удовлетворяющих всем ограничениям,
называется допустимым решением. Каждой из целей соответствует целевая
функция, заданная на множестве допустимых решений, значения которых
выражают меру осуществления цели.
Сущность задачи операционных исследований состоит в нахождении
наиболее целесообразных, оптимальных решений. Поэтому задачи операционных
исследований обычно называются оптимизационными.
Для разработки наиболее важных задач в операционных исследованиях
широко используются математические модели, построенные на статистической
или вероятностной (стохастической) основе. Они помогают учесть даже такие
факторы, просчитать точное изменение которых практически невозможно.
Особенно часто применяются математические модели очередей и
управления запасами.
Теория очередей опирается на разработанную учеными А.Н. Колмогоровым
и А.Л. Ханчиным теорию массового обслуживания.
Теория массового обслуживания.
Данная теория позволяет изучать системы, предназначенные для обслуживания
массового потока требований случайного характера. Случайными могут быть как
моменты появления требований, так и затраты времени на их обслуживание.
Целью методов теории является отыскание разумной организации обслуживания,
обеспечивающей заданное его качество, определение оптимальных (с точки
зрения принятого критерия) норм дежурного обслуживания, надобность в
котором возникает непланомерно, нерегулярно.
С использованием метода математического моделирования можно
определить, например, оптимальное количество автоматически действующих
машин, которое может обслуживаться одним рабочим или бригадой рабочих и
т.п.
Типичным примером объектов теории массового обслуживания могут
служить автоматические телефонные станции (АТС). На АТС случайным образом
поступают “требования” - вызовы абонентов, а “обслуживание” состоит в
соединении абонентов с другими абонентами, поддержание связи во время
разговора и т.д. Задачи теории, сформулированные математически, обычно
сводятся к изучению специального типа случайных процессов.
Исходя их данных вероятностных характеристик поступающего потока
вызовов и продолжительности обслуживания и учитывая схему системы
обслуживания, теория определяет соответствующие характеристики качества
обслуживания (вероятность отказа, среднее время ожидания начала
обслуживания т.п.).
Предположим, что автоматическая линия связи имеет [pic] одинаково
доступных для абонентов каналов. Вызовы поступают в случайные моменты
времени. Если при поступлении очередного вызова все [pic] каналов лини
связи оказываются занятыми, то поступивший вызов получает отказ и теряется.
В противном случае немедленно начинается разговор по одному из свободных
каналов, длящийся случайное время.
Одной из характеристик эффективности работы такой линии связи
является доля вызовов, получающих отказ, т.е. предел [pic]при[pic][pic]
(если он существует) отношения [pic] числа [pic] вызовов, потерянных в
течение времени [pic], к общему числу [pic] вызовов, поступивших за это
время. Этот предел можно назвать вероятностью отказа.
Другим показателем качества работы линии связи может служить
отношение времени ее занятости, т.е. предел [pic] при [pic] (если он
существует) отношения
?? / [pic], где ?? - суммарное время, в течение которого за период [pic]
все [pic] каналов линии связи одновременно заняты. Этот предел можно
назвать вероятностью занятости.
Обозначим [pic] число каналов, занятых в момент [pic]. Тогда можно
показать, что: если , во-первых, моменты поступления вызовов образуют
пуассоновский поток однородных событий, во-вторых, длительности разговоров
последовательных абонентов суть независимые (между собой и от моментов
поступления вызовов) одинаково распределенные случайные величины, то
случайный процесс [pic] , обладает эргодичным распределением, т.е.
существуют [независящие от начального распределения [pic] ] пределы
[pic][pic]
причем
[pic][pic] (*)
где [pic] - произведение интенсивности потока поступлений вызовов на
среднюю длительность разговора отдельного абонента.
Кроме того, в этом случае [pic], и их общее значение равно [pic].
Формулы (*), называемые формулами Эрланга, используются для расчета
минимального количества каналов линии связи, обеспечивающей заданную
вероятность отказа. При отказе от условия, что моменты поступления вызовов
образуют пуассоновский поток однородных событий, равенство [pic]не может
выполняться.
Математическими моделями многочисленных задач технико-экономического
содержания являются также задачи линейного программирования. Линейное
программирование - это дисциплина, посвященная теории и методам решения
задач об экстремумах линейных функций на множествах, задаваемых системами
линейных равенств и неравенств.
Рассмотрим в качестве примера следующую задачу.
Задача планирования работы предприятия.
Для производства однородных изделий необходимо затратить различные
производственные факторы - сырье , рабочую силу, станочный парк, топливо,
транспорт и т.д. Обычно имеется несколько отработанных технологических
способов производства, причем в этих способах затраты производственных
факторов в единицу времени для выпуска изделий различны.
Количество израсходованных производственных факторов и количество
изготовляемых изделий зависит от того, сколько времени предприятие будет
работать по тому или иному технологическому способу.
Ставиться задача рационального распределения времени работы
предприятия по различным технологическим способам, т.е. такого, при котором
будет произведено максимальное количество изделий при заданных ограниченных
затратах каждого производственного фактора.
Формализуем задачу: Пусть имеется [pic] количество технологических
способов производства изделий и [pic] производственных факторов.
Введем обозначения:
[pic] - количество изделий, выпускаемых в единицу времени при работе по j -
му технологическому способу;
[pic] - расход i - го производственного фактора в единицу времени при
работе по j - му технологическому способу;
[pic] - имеющиеся ресурсы i - го производственного фактора;
[pic] - планируемое время работы по j - му технологическому способу.
Величина
[pic]
обозначает общий расход i - го производственного фактора при плане
[pic].
Поскольку ресурсы ограничены величинами [pic], то возникают
естественные условия:
[pic] (1)
[pic] (2)
Ставится задача отыскания такого распределения времени (оптимального
плана) [pic] работы по каждому технологическому способу при котором общий
объем продукции был бы максимальным, т.е. определяется максимум линейной
функции
[pic]
В операционных исследованиях эту функцию принято называть целевой
функцией или критерием эффективности, вектор [pic] - планом, вектор [pic]
- оптимальным планом , а множество, определенное условиями (1) - (2) -
допустимым или множеством планов.
Еще одним ярким примером применения линейного программирования в
экономике является так называемая транспортная задача.
Транспортная задача.
Это задача о наиболее рациональном плане перевозок однородного
продукта из пунктов производства в пункты потребления.
Пусть имеется [pic] пунктов производства некоего однородного продукта
[pic] и [pic] пунктов его потребления [pic]. В пункте [pic] [pic]
производится [pic] единиц, а в пункте [pic] [pic] потребляется [pic] единиц
продукта.
Предполагается, что
[pic].
Транспортные издержки, связанные с перевозкой единицы продукта из
пункта [pic] в пункт [pic] равны [pic] .
Суть задачи состоит в составлении оптимального плана перевозок,
минимизирующего суммарные транспортные издержки, при реализации которого
запросы всех пунктов потребления [pic], [pic][pic], были бы удовлетворены
за счет производство продукта в пунктах [pic] , [pic] .
Пусть [pic] - количество продукта, перевозимого из пункта [pic] в
пункт [pic] . Тогда транспортная задача формулируется так: определить
значения переменных [pic] , [pic] ; [pic], минимизирующих транспортные
издержки.
[pic]
при условиях,
[pic] (1)
[pic] (2)
[pic]. (3)
Множество [pic], удовлетворяющее этим условиям, называется планом
перевозок, а его элементы - перевозками.
На основе метода математического моделирования в операционных
исследованиях решаются также многие важные задачи, требующие специфических
методов решения. К их числу относятся:
1. Задача надежности изделий.
1. Задача замены оборудования.
1. Теория расписаний (так называемая теория календарного планирования).
1. Задача распределения ресурсов.
1. Задача ценообразования.
1. Теория сетевого планирования.
Задача надежности изделий.
Надежность изделий определяется совокупностью показателей. Для
каждого из типов изделий существуют рекомендации по выбору показателей
надежности.
Для оценки изделий , которые могут находиться в двух возможных
состояниях - работоспособном и отказовом, применяются следующие показатели:
[pic] - среднее время работы до возникновения отказа (наработка до первого
отказа);
[pic] - наработка на отказ;
[pic] - интенсивность отказов;
[pic] - параметр потока отказов;
[pic] - среднее время восстановления работоспособного состояния;
[pic]- вероятность безотказной работы за время t ;
[pic] - коэффициент готовности.
Существуют следующие соотношения между показателями надежности:
[pic];
[pic];
[pic].
Для восстановленных изделий вероятность появления [pic] отказов за
время
[pic] в случае простейшего потока отказов определяется законом Пуассона:
[pic].
Из него следует, что вероятность отсутствия отказов за время [pic]
равна
[pic] -
Данная зависимость называется экспоненциальным законом надежности.
Задача распределения ресурсов.
Вопрос распределения ресурсов является одним из основных в процессе
управления производством. Для решения этого вопроса в операционных
исследованиях пользуются построением линейной статистической модели.
Предположим, что предприятие располагает [pic] видов ресурсов и [pic]
видов продукции, производимой с использованием этих ресурсов. Необходимо
так распределить ресурсы, чтобы обеспечить максимальный объем продукции, и
, следовательно, увеличение прибыли от ее реализации.
Введем следующие обозначения:
[pic]- количество ресурсов i-го вида [pic];
[pic]- максимальный объем выпуска продукции j-го вида [pic];
[pic]- количество единиц i-го ресурса, необходимого для производства
единицы продукции j-го вида;
[pic]- прибыль от реализации единицы продукции j-го вида;
[pic]- количество единиц продукции j-го вида.
Совокупная прибыль стремится к максимуму, т.е.
[pic].
Следовательно,
[pic]
Задача ценообразования.
Для предприятия вопрос образования цены на продукцию играет
немаловажную роль. От того, как проводится ценообразование на предприятии,
зависит его прибыль. Кроме того, в существующих сейчас условиях рыночной
экономики цена стала существенным фактором в конкурентной борьбе.
Допустим, что на предприятии производится [pic] видов продукции.
Обозначим за [pic] объем продукции i-го типа, который надо производить ,
Введем следующие обозначения:
[pic] - объем продукции i-го типа, который надо производить ;
[pic]
[pic]- цена продукции i-го типа, которую нужно определить;
[pic] - себестоимость i-го вида продукции.
На рынке цены меняются, но на основе его изучения можно определить
существование усредненной цены [pic].
[pic]
Любое предприятие стремится к получению максимальной прибыли, т.е.
[pic]
Следовательно, можно считать, что [pic].
Надо также учесть , что при образовании цены кадого вида продукции
необходимо учитывать его качество, т.е. учесть зависимость цены от качества
([pic]).
[pic]
Так как [pic] выражает только часть себестоимости i-го вида
продукции, без учета доли общих производственных издержек, ложащихся на
продукцию, то определяем полную себестоимость i-го вида продукции
[pic]
[pic]
[pic]
Так как величины [pic] и [pic] являются постоянными, то данная
задача решается с помощью метода линейного программирования.
Теория сетевого планирования.
Сетевое планирование и управление (СПУ), является системой
планирования управления разработкой крупных хозяйственных комплексов,
конструкторской и технологической подготовкой производства новых видов
товаров, строительством и реконструкцией, капитальным ремонтом основных
фондов путем применения сетевых графиков.
Сущность СПУ состоит в составлении математической модели управляемого
объекта в виде сетевого графика или модели находящейся в памяти ЭВМ, в
которых отражается взаимосвязь и длительность определенного комплекса
работ. Сетевой график после его оптимизации средствами прикладной
математики и вычислительной техники используется для оперативного
управления работами.
Пример сетевого графика:
[pic] Кружочками на сетевом графике обозначается событие, т.е. начало иди
конец работы, а линией со стрелкой - действия, которые надо совершить,
чтобы перейти от предшествующего события к последующему.
Важным элементом разработки сетевого графика является определение
продолжительности путей. Пути представлены линиями, образуемыми стрелками
взаимосвязанных работ, концы которых указывают на начальное и конечное
события. Различают полный и критический пути:
1. Полный путь (Lп) - путь, начало которого совпадает с исходным событием
сети, а конец - с ее завершающим событием.
1. Критический путь (Lкп) - путь, имеющий наибольшую продолжительность и
характеризующий время выполнения всего комплекса работ, всего проекта в
целом, т.е. время достижения конечной цели.
Исходя из этих элементов, при планировании длительности работ с
использованием сетевого графика рассчитываются несколько показателей,
выражающих достоверную оценку времени работы :
1. Оптимальная оценка времени (минимальная продолжительность работ), т.е.
наиболее ранний срок совершения событий при наиболее благоприятных
условиях. Он рассчитывается как сумма всех работ, находящихся на
предшествующем завершающему событию максимальном пути (Тр) [pic]
1. Пессимистическая оценка времени (директивный срок) - максимальная
продолжительность времени, необходимого для выполнения необходимого для
выполнения работы при наиболее неблагоприятных условиях - (Тп) [pic] ;
где [pic] - критический путь.
1. Наиболее вероятная продолжительность времени -Тв, показывает время
выполнения работы в нормальных условиях. Определяется по следующей
формуле: [pic]
1. Резерв времени: [pic] . При [pic] по остальным путям существует резерв
времени.
Решение экономических задач с помощью метода математического
моделирования позволяет осуществлять эффективное управление как отдельными
производственными процессами на уровне прогнозирования и планирования
экономических ситуаций и принятия на основе этого управленческих решений,
так и всей экономикой в целом. Следовательно, математическое моделирование
как метод тесно соприкасается с теорией принятия решений в менеджменте.
| |
