|
Реферат: Макаронные изделия, производство, ассортимент, условия хранения (Технология)
Тема: “Макаронные изделия. Производство. Ассортимент. Условия хранения.”
Санкт-Петербург
1999 г.
ПЛАН
Введение
1. Формирование качества макаронных изделий в процессе производства.
2. Производство макаронных изделий.
3. Ассортимент макаронных изделий.
4. Требования к качеству макаронных изделий.
5. Хранение макаронных изделий.
ВВЕДЕНИЕ
Макаронные изделия представляют собой продукты, отформованные из
пшеничного теста в виде трубочек, нитей ленточек и фигурок и высушенные до
влажности 13%. Они характеризуются хорошей сохраняемостью,
транспортабельностью, быстротой и простотой приготовления из них пищи , а
также высокой питательной ценностью и хорошей усвояемостью.
Биологическая ценность макаронных изделий значительно повышается
при обогащении их различными добавками (яйца и яичные продукты, молоко и
молочные продукты и др.)
При хранении макаронные изделия не черствеют, как хлеб, и менее
гигроскопичны по сравнению с сухарями, хорошо транспортируются и
сохраняются (до года и более) без ухудшения вкусовых и питательных свойств.
Макаронные изделия по пищевой ценности превосходят пшеничный хлеб, так как
изготовляют их из пшеничной муки с максимальным содержанием белковых
веществ. В них содержится 9 - 13% белков, 75 -79 усвояемых углеводов, 0,9
жиров, 0,6 % минеральных веществ и витамины В1, В2, РР и др. Калорийность
макаронных изделий составляет 360 ккал/100 г. Усвояемость их организмом
человека выше усвояемости крупы. Белки макаронных изделий усваиваются на
85 %, углеводы - на 98 % и жиры на 95 %. Из них можно быстро приготовить
блюдо, так как продолжительность их варки равна 5 - 15 мин.
На предприятиях общественного питания макаронные изделия являются
кулинарным полуфабрикатом для приготовления первых (мясных, молочных,
вегетарианских) и вторых блюд (запеканок, гарниров). Разнообразная форма
этих продуктов позволяет красиво комбинировать их с другими продуктами и
готовить широкий ассортимент вкусных и питательных блюд: с мясом, сладкими
подливками, сыром, творогом, в отварном виде как гарнир и т.д.
Формирование качества макаронных изделий в процессе производства.
Важнейшие показатели качества муки для макаронных изделий - цвет,
крупность, количество и качество сырой клейковины. Из муки с низким
содержанием клейковины получаются непрочные, крошащиеся изделия. Качество
сырой клейковины должно быть не ниже второй группы. Выше ценится
крупитчатая мука, так как она медленнее поглощает воду и образует
пластичное тесто. Мука, используемая в макаронном производстве, не должна
содержать в значительных количествах свободные аминокислоты, редуцирующие
сахара и активную полифенолоксидазу (тирозиназу), вызывающую потемнение
теста и ухудшение качества готовых изделий.
Вода является составной частью макаронного теста. Она обусловливает
биохимические и физико - химические свойства теста. Используют
водопроводную питьевую воду, которая должна быть умеренно жесткой и
отвечать требованиям ГОСТ-Р на питьевую воду.
Дополнительное сырьё, применяемое в макаронном производстве
делится: на обогатительное, повышающее белковую ценность макаронных
изделий; на вкусовые и ароматические добавки; улучшители; витаминные
препараты.
Основным видом обогатительных добавок являются белковые
обогатители, к которым относятся свежие яйца, яйцепродукты (меланж, яичный
порошок), клейковина пшеничной муки, казеин, цельное и сухое молоко,
молочная сыворотка и др.
Яйцепродукты добавляют из расчета 260 - 400 яиц или 10 - 15 кг
меланжа на 100 кг. муки.
Пищевая ценность макаронных изделий с добавкой 10% сухого молока
почти такая же, как изделий, обогащенных яичными продуктами.
При использовании пшеничной клейковины содержание белковых веществ
в изделиях может увеличиваться на 30 - 40%. Клейковина является отходом при
производстве пшеничного крахмала и использовании её в качестве обогатителя
экономически целесообразно.
Применяются также белковые изоляты, получаемые из шротов сои,
подсолнечника и других масличных культур. Они могут служить заменителями
яичных продуктов.
В качестве вкусовых добавок при производстве макаронных изделий
используют овощные и фруктовые соки натуральные, концентрированные или
сухие. Чаще всего применяют томатную пасту и порошки из томатов.
Улучшителями служат поверхностно - активные вещества. Они
способствуют повышению качества макаронных изделий, которые меньше
слипаются при сушке и лучше сохраняют форму при варке.
С целью обогащения макаронных изделий можно использовать
термоустойчивые водорастворимые витамины В1, В2, РР.
Качество макаронных изделий во многом зависит от проведения
технологического процесса.
Современное макаронное производство представляет собой единую
автоматическую поточную линию. Оно состоит из следующих основных операций:
подготовки сырья, приготовления теста, формования макаронных изделий,
сушки, упаковки.
Производство макаронных изделий.
Макаронные изделия вырабатываются из крупчатки, макаронной муки
высшего и первого сортов ( при недостатке макаронной муки используют
хлебопекарную муку высшего и первого сортов ). При выработке макаронных
изделий с обогатителями в тесто добавляют яйца, меланж, томат-пасту, сухое
молоко, овощные и мясные порошки, витамины. В состав теста изделий из муки
1 - го сорта без обогатителей допускается вводить до 5 % (от веса муки)
соевой дезодорированной обезжиренной муки. В муке из лучших
высокостекловидных пшениц допускается содержание клейковины 28-30 %.
Макаронная мука из твёрдых пшениц даёт значительно лучшую макаронную
продукцию. Процессы производства макаронных изделий состоят из подготовки
сырья, замеса и обработки теста, формовки изделий, их сушки, охлаждения и
упаковки.
Подготовка сырья заключается в просеивании муки, очистке её от
Металлопримесей, составлении валки муки, подогреве питьевой воды.
Изготовление макаронных изделий на многих предприятиях ведут на непрерывных
линиях с применением прессов-автоматов. Замес теста , его обработку и
формовку производят в шнековом прессе, состоящем из дозаторов муки и воды,
тестосмесителя, прессующего цилиндра со шнеком и прессующей головки. В
тестосмеситель пресса из дозаторов подаются мука и подогретая вода. В нем
замешивается крутое тесто (с влажностью около 30 %). В результате
механической обработки шнеком тесто становится однородным, пластичным, без
пузырьков воздуха. Механическая обработка теста оказывает большое влияние
на качество изделий: из хорошо приготовленного теста получаются изделия с
гладкой поверхностью и большей механической прочностью. Из тестосмесителя
нагнетающим шнеком тесто подается в прессовый цилиндр, заканчивающийся
прессующей головкой с матрицей. Матрицы делают с круглыми отверстиями, в
которые помещен вкладыш для изготовления трубчатых изделий, а также с
продлговатыми отверстиями для выпрессовывания через них лапши и с круглыми
отверстиями - для вермишели. Тесто выпрессовывается через матрицу в виде
трубочек, палочек или ленточек (в зависимости от вида отверстий в матрице).
Сырые изделия, выходящие из пресса, разрезают на части определенной длины,
раскладывают на рамки (кассеты) и направляют на сушку.
Кроме прессовых, вырабатываются также штампованные и резанные
макаронные изделия. Формовка изделий штампованием заключается в том, что
из тестовой ленты высекают специальным штампом квадратики, ушки и другие
изделия. Резанные изделия получают из тестовой ленты.
Макаронные изделия сушат нагретым воздухом в различных типах
сушилок. Температура и время сушки определяются видом изделий. Макароны
сушат при температуре 30 -40о в течении 24 - 40 часов, остальные изделия -
при температуре 50-70о в течении 0,5 - 1,5 ч. При нарушении режима сушки
снижается качество изделий. Высушивание изделий при пониженной температуре
увеличивает время сушки, при этом возможны вспучивание и прокисание изделий
в результате развития микроорганизмов, а также перезревание и потемнение
теста из-за ферментативных процессов. Чрезмерно интенсивное высушивание
изделий, особенно макарон, вызывает образование на поверхности мелких
трещин, потерю прочности и образование при их хранении значительного
количества крошки и лома. После сушки изделия медленно охлаждают, чтобы
предупредить их растрескивание .
Макаронные изделия выпускаются расфасованными и развесными. Изделия
расфасовывают весом до 1 кг в коробки и пакеты из бумаги, целлофана и
полимерных пленок. Коробки и пакеты упаковываются в ящики. Развесные
изделия упаковывают в выстланные внутри бумагой ящики фанерные, картонные
и дощатые, весом до 32 кг.
Ассортимент макаронных изделий.
Макаронные изделия в зависимости от формы подразделяют на следующие
типы: трубчатые, вермишель, лапша и фигурные изделия. В свою очередь каждый
тип изделий делят на виды в зависимости от их размера. Виды макаронных
изделий подразделяются на сорта в зависимости от сорта муки и добавления
обогатителей.
К трубчатым изделиям относятся макароны, перья и рожки.
М а к а р о н ы - размерные изделия в виде трубочек длиной 15, 22,
30 и 40 см. Они изготовляются следующих видов: соломка - с внешним
диаметром до 4 мм, особые и особые гофрированные - 4 - 5,5 мм, обыкновенные
и обыкновенные гофрированные - 5,5-7 мм, любительские и любительские
гофрированные - более 7 мм. На поверхности гофрированных изделий имеются
продольные бороздки.
П е р ь я - трубки со скошенными срезами длиной 10-15 см. Они
вырабатываются тех же видов что и макароны, за исключением соломки.
Р о ж к и - трубки, изогнутые в виде дуги, длиной 1 - 5 см. Они
бывают следующих видов: соломка - диаметром до 4 мм, особые и особые
гофрированные- 4-5.5мм, обыкновенные - 5-7мм, многогранны - размером грани
не более 7 мм.
Толщина стенок трубчатых изделий должна быть не более 1,5 мм (у
гофрированных 2 мм.)
В е р м и ш е л ь - изделия в виде нитей. В зависимости от толщины
нити вырабатывается вермишель паутинка диаметром до 0,8 мм.; тонкая 1,2 ,
обыкновенная - до 1,5 и любительская -до 3 мм. По длине нити вермишель
делится на короткую длиной не менее 1,5 см. длинную - не менее 20 см,
длинную гнутую - длиной не менее 20 см, согнутую пополам. Вермишель
паутинку и тонкую изготавливают также в виде бантиков и мотков весом до 30
гр.
Л а п ш а - изделия в виде лент. Вырабатывают лапшу узкую шириной
до 3 мм, толщиной до 2 мм, длиной не менее 1,5см; широкую - шириной 3,7 мм,
толщиной до 1,5 мм, длиной не менее 2 см; длинную и длинную гнутую -
шириной до 7 мм, толщиной до 2 мм, длиной не менее 20 мм; овальную
волнообразную, пилообразную - шириной от 3 до 20 мм, толщиной до 2 мм и
длиной не менее 2 мм ( короткую) и 20 мм (длинную). Лапшу изготовляют также
в виде бантиков и мотков весом до 50 г.
Ф и г у р н ы е и з д е л и я - выпускаются в виде плоских и
объемных фигур определенных размеров. Они подразделяются на следующие виды:
ракушки, ушки, зерна, звездочки, буквы алфавита и др.
Промышленность выпускает макаронные изделия следующих сортов: из
муки крупчатки - сорт экстра и экстра яичный с добавлением на 1т муки 100 -
152 кг меланжа; из муки высшего сорта - высший (без добавлений), высший
яичный с добавлением меланжа или яиц, высший молочный с добавлением сухого
цельного или обезжиренного молока (5-10% веса муки), высший томатный с
добавлением на 100 кг муки 15 кг томата - пасты (содержанием 40 % сухих
веществ) и высший для детского питания с добавлением на 100 кг муки 400 шт
яиц и 3,5 кг сухого молока; из муки 1-го сорта - первый (без добавлений),
первый томатный, первый молочный и первый для детского питания.
Требования к качеству макаронных изделий
Показателями качества макаронных изделий являются: внешний вид,
вкус и запах, наличие ломаных, деформированных изделий, а также крошки,
влажность продуктов, их кислотность, Развариваемость, прочность отсутствие
в них амбарных вредителей и металлопримесей.
Внешний вид макаронных изделий. Макаронные изделия должны иметь
правильную форму. Но допускаются небольшие изгибы и искривления изделий.
Поверхность изделий сортов экстра яичный и высший яичный должна быть
гладкой, у остальных сортов допускается шероховатость (для сорта экстра -
слабо ощутимая шероховатость). Излом изделий должен быть стекловидным. Цвет
изделий - однотонный, соответствующий сорту муки (кремовый - для сорта
экстра, белый - для высшего сорта, белый с желтоватым или сероватым
оттенком - для первого, светло - оранжевый для изделий с добавлением томата
- пасты). В изделиях не допускаются следы непромеса (белые полосы и пятна),
а также частички отрубей в виде темных точек и пятен.
Вкус и запах макаронных изделий. Изделия должны иметь свойственный
им вкус и запах, без горечи, кисловатости и других посторонних привкусов,
затхлости, плесени и других посторонних запахов. Вкус и запах изделий
определяют до и после варки. Несвойственные изделиям вкус и запах могут
возникать в результате порчи их при хранении, сушки (прокисания теста) или
при использовании недоброкачественной муки.
Содержание деформированных изделий, лома и крошки. Прочность
макарон на излом нормируется в зависимости от диаметра изделий и сорта в
пределах от 70 до 800 гс. В макаронных изделиях стандартом нормируется
содержание деформированных изделий (несвойственных данному виду изделий по
форме или смятых, разорванных) лома (ломом считаются макароны прямые или
согнутые длиной 5-13,5 см) и крошки. К крошке относятся макароны и перья
длиной менее 5 см, рожки - менее 1 см, вермишель - длиной менее 1,5 см,
лапша - менее 1,5-2 см.
Деформированные изделия получаются при нарушении технологии
производства или использовании муки, дающей неэластичное тесто. Лом и
крошка образуются при механических воздействиях на изделия при упаковке,
перевозке и хранении, а также при промораживании изделий, нарушении режима
сушки, использование муки, бедной клейковиной.
Влажность и кислотность макаронных изделий. Влажность изделий не
должна превышать 13% (в изделиях для детского питания 12%). Для макаронных
изделий, направляемых в отдаленные районы (Крайний Север, Сахалин и др.),
содержание влаги должно быть не более 11%. Кислотность изделий должна быть
не более 3,5-4 (. Повышенная кислотность изделий возникает при нарушении
режима сушки, использовании недоброкачественной муки.
Развариваемость и прочность макаронных изделий. Важными
показателями качества изделий являются их развариваемость и прочность.
Макаронные изделия после варки в течение 10-20 мин. (в зависимости от вида)
до готовности должны увеличиться в объеме не менее чем в два раза
(фактически они увеличиваются в 3-4 раза), быть эластичными, не липкими, не
образовывать комьев. Развариваемость изделий несколько понижается с
увеличением их срока хранения. При варке до готовности изделия не должны
терять форму , склеиваться, образовывать комья, разваливаться по швам.
Ломкость (прочность) определяется только у размерных макарон. С
этой целью макаронную трубку кладут на две стойки - опоры, а середину
трубки подвергают нагрузке до излома. Ломкость соломки 1-го сорта должна
быть не менее 200 г, а макарон любительских 1-го сорта-800г.
Развариваемость и прочность макаронных изделий зависят от количества и
качества клейковины. Хорошая прочность макарон позволяет лучше сохранить
их целостность при перевозке.
Зараженность макаронных изделий амбарными вредителями не
допускается. Металлопримесей в изделиях может быть не более 3 мг.
Хранение макаронных изделий
При транспортировании макаронных изделий необходимо помнить об их
способности поглощать влагу и посторонние запахи, легко поражаться
амбарными вредителями.
Макаронные изделия нужно хранить в сухих, чистых складках без
резких температурных колебаний, при относительной влажности воздуха до
70%. Их необходимо хранить изолированно от остропахнущих и скоропортящихся
товаров. Помещение должно быть хорошо вентилируемым и обязательно
продезинфицированным. В нём должна поддерживаться постоянная температура
без резких колебаний - от -15 до 5о С , но не выше 18о С . Хранение
макаронных изделий при отрицательной температуре не влияет на их качество.
Опасны резкие температурные перепады., которые могут вызвать увлажнение или
растрескивание изделий. При таких условиях они могут сохранять свое
качество более года. Хранение изделий при высокой относительной влажности
воздуха вызывает их увлажнение, плесневение, они легко поражаются амбарными
вредителями. При резких температурных колебаниях и промораживании изделий
на их поверхности образуются трещины, которые способствуют образованию лома
и крошки. При хранении макаронных изделий в воздухе с относительной
влажностью ниже 50% происходит их усушка, образуется много лома.
Продолжительность хранения макаронных изделий неодинакова. Срок
хранения изделий без добавок в указанных выше условиях установлен в один
год. Изделия, обогащенные яйцом, молоком и другими продуктами, хранятся
меньше (2 - 6мес.), они лучше сохраняются при более низких температурах.
Макаронные изделия как и мука и крупа легко подвергаются порче
грызунами (мыши, крысы) и другими вредителями (жуки, бабочки, клещи).
Поэтому при закладке на хранение эти продукты тщательно проверяют на
зараженность вредителями.. Партии макаронных изделий, зараженные
вредителями, к использованию и хранению не допускаются.
Изделия с обогатителями хранятся хуже, так как в них происходит
порча жира.
Для макаронных изделий, хранящихся в розничной сети, установлены
нормы естественной убыли. Так, при хранении изделий в магазинах в холодный
период времени норма убыли равна 0,39% ; в теплый период времени для 1 -
зоны норма убыли составляет 0,39%, а для 2-й - 0,44%.
В период хранения в макаронных изделиях протекают различные
процессы, снижающие их качество. В результате автоокисления липидов в них
накапливаются различные вещества, придающие продукту посторонний привкус и
запах. При длительном хранении изделия могут светлеть за счет окисления
пигментов и темнеть в результате образования меланоидов. Изменяются
свойства белков, что приводит к снижению гидрофильности и податливости их
протеолитическим ферментам.
Повышенная температура и относительная влажность воздуха в
складских помещениях активизируют нежелательные процессы, происходящие в
макаронных изделиях при хранении.
Список использованной литературы.
1. Слепнев А. С. “Товароведение плодовоовощных, зерномучных,
кондитерских и вкусовых товаров.” Экономика. 1987 г.
2. Смирнова Н. А. , Надеждина Л. А. “ Товароведение зерномучных и
кондитерских товаров.” Москва 1990 г.
3. В. И. Теплов, В. Е. Боряев “Товароведение продовольственных
товаров.” Экономика 1989 г.
Реферат на тему: Математическая теория обработки результатов экспериментов (На примере машиностроения )
[pic]
ВВЕДЕНИЕ
При исследовании технических систем могут использоваться
теоретические и эмпирические методы познания. Каждое из этих направлений
обладает относительной самостоятельностью, имеет свои достоинства и
недостатки. В общем случае, теоретические методы в виде математических
моделей позволяют описывать и объяснять взаимосвязи элементов изучаемой
системы или объекта в относительно широких диапазонах изменения переменных
величин. Однако при построении теоретических моделей неизбежно введение
каких-либо ограничений, допущений, гипотез и т.п. Поэтому возникает задача
оценки достоверности ( адекватности ) полученной модели реальному процессу
или объекту. Для этого проводится экспериментальная проверка разработанных
теоретических моделей. Практика является решающей основой научного
познания. В ряде случаев именно результаты экспериментальных исследований
дают толчок к теоретическому обобщению изучаемого явления.
Экспериментальное исследование дает более точное соответствие между
изучаемыми параметрами. Но не следует и преувеличивать результаты
экспериментальных исследований, которые справедливы только в пределах
условий проведенного эксперимента.
Таким образом, теоретические и экспериментальные исследования
дополняют друг друга и являются составными элементами процесса познания
окружающего нас мира.
Как правило, результаты экспериментальных исследований нуждаются в
определенной математической обработке. В настоящее время процедура
обработки экспериментальных данных достаточно хорошо формализована и
исследователю необходимо только ее правильно использовать. Круг вопросов,
решаемых при обработке результатов эксперимента, не так уж велик. Это (
вопросы подбора эмпирических формул и оценка их параметров, вопросы оценки
истинных значений измеряемых величин и точности измерений, вопросы
исследования корреляционных зависимостей и некоторые другие.
Настоящее учебное пособие не претендует на оригинальность. Оно
содержит некоторые результаты фундаментальных и прикладных работ в области
обработки результатов экспериментальных исследований [1...13(. Пособие
может служить практическим руководством по обработке результатов
эксперимента как студентам, так и научным сотрудникам и инженерам.
1. ОШИБКИ ИЗМЕРЕНИЙ
Основой всего естествознания является наблюдение и эксперимент.
Наблюдение ( это систематическое, целенаправленное восприятие того или
иного объекта или явления без воздействия на изучаемый объект или явление.
Наблюдение позволяет получить первоначальную информацию по изучаемому
объекту или явлению.
Эксперимент ( метод изучения объекта, когда исследователь активно и
целенаправленно воздействует на него путем создания искусственных условий
или использует естественные условия, необходимые для выявления
соответствующих свойств. Достоинствами эксперимента по сравнению с
наблюдением реального явления или объекта является:
1. Возможность изучения в «чистом виде», без влияния побочных
факторов, затемняющих основной процесс;
2. В экспериментальных условиях можно получить результат более быстро
и точно;
3. При эксперименте можно проводить испытания столько раз, сколько это
необходимо.
Результат эксперимента или измерения всегда содержит некоторую
погрешность. Если погрешность мала, то ею можно пренебречь. Однако при этом
неизбежно возникают два вопроса: во(первых, что понимать под малой
погрешностью, и, во(вторых, как оценить величину погрешности. То есть, и
результаты эксперимента нуждаются в определенном теоретическом осмыслении.
1.1. Цели математической обработки результатов эксперимента
Целью любого эксперимента является определение качественной и
количественной связи между исследуемыми параметрами, либо оценка численного
значения какого-либо параметра.
В некоторых случаях вид зависимости между переменными величинами
известен по результатам теоретических исследований. Как правило, формулы,
выражающие эти зависимости, содержат некоторые постоянные, значения которых
и необходимо определить из опыта.
Другим типом задачи является определение неизвестной функциональной
связи между переменными величинами на основе данных эксперимента. Такие
зависимости называют эмпирическими.
Однозначно определить неизвестную функциональную зависимость между
переменными невозможно даже в том случае, если бы результаты эксперимента
не имели ошибок. Тем более не следует этого ожидать, имея результаты
эксперимента, содержащие различные ошибки измерения.
Поэтому следует четко понимать, что целью математической обработки
результатов эксперимента является не нахождение истинного характера
зависимости между переменными или абсолютной величины какой-либо константы,
а представление результатов наблюдений в виде наиболее простой формулы с
оценкой возможной погрешности ее использования.
1.2. Виды измерений и причины ошибок
Под измерением понимают сравнение измеряемой величины с другой
величиной, принятой за единицу измерения.
Различают два типа измерений: прямые и косвенные. При прямом измерении
измеряемая величина сравнивается непосредственно со своей единицей меры.
Например, измерение микрометром линейного размера, промежутка времени при
помощи часовых механизмов, температуры ( термометром, силы тока (
амперметром и т.п. Значение измеряемой величины отсчитывается при этом по
соответствующей шкале прибора.
При косвенном измерении измеряемая величина определяется (вычисляется)
по результатам измерений других величин, которые связаны с измеряемой
величиной определенной функциональной зависимостью. Например, измерение
скорости по пройденному пути и затраченному времени, измерение плотности
тела по измерению массы и объема, температуры при резании по
электродвижущей силе, величины силы ( по упругим деформациям и т.п.
При измерении любой физической величины производят проверку и
установку соответствующего прибора, наблюдение их показаний и отсчет. При
этом никогда истинного значения измеряемой величины не получить. Это
объясняется тем, что измерительные средства основаны на определенном методе
измерения, точность которого конечна. При изготовлении прибора задается
класс точности. Его погрешность определяется точностью делений шкалы
прибора. Если шкала линейки нанесена через 1 мм , то точность отсчета
[pic]0,5 мм не изменить если применим лупу для рассматривания шкалы.
Аналогично происходит измерение и при использовании других измерительных
средств.
Кроме приборной погрешности на результат измерения влияет еще ряд
объективных и субъективных причин, обуславливающих появление ошибки
измерения ( разности между результатом измерения и истинным значением
измеряемой величины. Ошибка измерения обычно неизвестна, как неизвестно и
истинное значение измеряемой величины. Исключение составляют измерения
известных величин при определении точности измерительных приборов или их
тарировке. Поэтому одной из важнейших задач математической обработки
результатов эксперимента и является оценка истинного значения измеряемой
величины по данным эксперимента с возможно меньшей ошибкой.
1.3. Типы ошибок измерения
Кроме приборной погрешности измерения (определяемой методом измерения)
существуют и другие, которые можно разделить на три типа:
1. Систематические погрешности обуславливаются постоянно действующими
факторами. Например, смещение начальной точки отсчета, влияние нагревания
тел на их удлинение, износ режущего лезвия и т.п. Систематические ошибки
выявляют при соответствующей тарировке приборов и потому они могут быть
учтены при обработке результатов измерений.
2. Случайные ошибки содержат в своей основе много различных причин,
каждая из которых не проявляет себя отчетливо. Случайную ошибку можно
рассматривать как суммарный эффект действия многих факторов. Поэтому
случайные ошибки при многократных измерениях получаются различными как по
величине, так и по знаку. Их невозможно учесть как систематические, но
можно учесть их влияние на оценку истинного значения измеряемой величины.
Анализ случайных ошибок является важнейшим разделом математической
обработки экспериментальных данных.
3. Грубые ошибки (промахи) появляются вследствие неправильного отсчета
по шкале, неправильной записи, неверной установки условий эксперимента и
т.п. Они легко выявляются при повторном проведении опытов.
В дальнейшем будем считать, что систематические и грубые ошибки из
результатов эксперимента исключены.
1.4. Свойства случайных ошибок
Случайные ошибки бывают как положительные, так и отрицательные разной
величины, не превосходящей определенного предела. Если обозначить через Х
истинное значение измеряемой величины, а результат первого измерения ( а1,
то разность
Х ( а1 = х1 или а1 ( Х = х1
называют истинной абсолютной ошибкой одного измерения. Одновременно она
является случайной (при исключении систематических и грубых ошибок).
Если измерения провести многократно в одних и тех же условиях, то
результаты отдельных измерений одинаково надежны. Такую совокупность
измерений а1, а2 ...аn называют равноточными измерениями. Если
проанализировать достаточно большую серию равноточных измерений и
соответствующих случайных ошибок измерений, то можно выделить 4 свойства
случайных ошибок:
1. Число положительных ошибок почти равно числу отрицательных;
2. Мелкие ошибки встречаются чаще, чем крупные;
Величина наиболее крупных ошибок не превосходит некоторого определенного
предела, зависящего от точности измерения. Самую большую ошибку в ряду
равноточных измерений называют предельной ошибкой;
4. Частные от деления алгебраической суммы всех случайных ошибок на
их общее близко к нулю, т.е.
[pic].
На основе указанных свойств при учете некоторых допущений
математически достаточно строго выводится закон распределения ошибок,
описываемый следующей функцией:
[pic],
где ( ( дисперсия измерений (см. ниже);
е ( основание натуральных логарифмов;
х ( истинная абсолютная ошибка измерений.
Иначе эту зависимость называют формулой случайных ошибок, формулой
Гаусса. На рис.1 приведены кривые Гаусса с различной величиной (.
Рис. 1. Кривая случайных ошибок
Закон распределения случайных ошибок является основным в
математической теории погрешностей. Иначе его называют нормальным законом
распределения. Особое значение в пользу широкого использования закона
Гаусса имеет следующее обстоятельство: если суммарная ошибка измерения
появляется в результате совместного действия ряда причин, каждая их которых
вносит малую долю в общую ошибку (т.е. нет доминирующих причин), то по
какому бы закону не были распределены ошибки, вызываемые каждой из причин,
результат их совместного действия приведет
к нормальному распределению ошибок. Эта закономерность является следствием
так называемой центральной предельной теоремы Ляпунова и хорошо соотносится
с введенным понятием случайной ошибки.
Наряду с нормальным законом распределения ошибок могут встречаться и
другие.
1.5. Наиболее вероятное значение измеряемой величины
Допустим, что для определения истинного значения Х измеряемой величины
было сделано n равноточных измерений с результатами а1, а2 .. .аn.
Естественно, что ряд этих чисел будет больше Х, другие меньше Х и неясно,
какое из этих чисел ближе всего подходит к Х.
Представим результаты измерений в виде очевидных равенств:
а1 = Х ( (х1; а2 = Х ( (х2; ... ; аn = Х ( (хn.
Естественно, что истинные абсолютные ошибки (хi могут принимать как
положительные, так и отрицательные значения.
Суммируя левые и правые стороны равенств получим
[pic].
Поделим обе части равенства на число измерений n и получим
[pic].
Величина [pic] является среднеарифметическим величины Х. Если число n
достаточно велико ( при n((), то согласно четвертому свойству случайных
ошибок
[pic].
Это же видно и по кривой Гаусса (рис. 1), где всякой положительной
погрешности соответствует равная ей отрицательная.
Из изложенного следует, что
Х = а при n ( (,
т.е. при бесконечном числе измерений истинное значение измеряемой величины
равно среднеарифметическому значению результатов всех измерений. При
ограниченном числе измерений истинное значение будет отличаться от
среднеарифметического и необходимо оценить величину этого расхождения: Х =
а ( (х.
Следует еще раз подчеркнуть, что среднеарифметическое значение,
принимаемое за истинное значение измеряемой величины, является наиболее
вероятным значением. Среди значений аi могут оказаться значения, которые в
действительности ближе к истинному значению.
Отклонение (х вероятнейшего значения а от его истинного значения Х
называют истинной абсолютной ошибкой.
1.6. Оценка точности измерений
Для ряда равноточных измерений а1, а2 ...аn определим его
среднеарифметическое значение а и составим разности (а ( а1), (а ( а2),
..., (а ( аn).
Каждую из этих разностей называют вероятнейшей ошибкой отдельного измерения
(Vi). Вероятнейшие ошибки, как и истинные ошибки (хi = (Х ( аi), бывают
положительные и отрицательные, нулевые. Рассмотрим [pic] т.е.
алгебраическая сумма вероятнейших ошибок равна нулю при любом числе
измерений. Истинные случайные ошибки таким свойством не обладают.
Вероятнейшие ошибки Vi лежат в основе математической обработки
результатов измерений: именно по ним вычисляют предельную абсолютную ошибку
(аi среднеарифметического а и тем самым оценивают точность результата
измерений.
Средняя истинная случайная ошибка (иначе ( среднее отклонение
отдельного измерения) определяется выражением ((х1+(х2+...+(хn)(n.
Величина (((х1)2+((х2)2+...+((хn)2((n представляет средний квадрат
случайной ошибки или дисперсию S2 выборки (при ограниченном n) или
генеральной совокупности (2 (при бесконечном n). Средняя квадратичная
ошибка отдельного измерения S = [pic] является лучшим критерием точности,
чем средняя случайная ошибка, т.к. не происходит компенсации положительных
и отрицательных ошибок (хi и сильнее учитывается действие крупных ошибок.
Поскольку истинное значение Х измеряемой величины неизвестно, то
неизвестны и истинные случайные ошибки [pic]хi. Для определения средней
квадратичной ошибки S используется положение теории случайных ошибок, что
при большом числе измерений n справедливо равенство
[pic].
Различный знаменатель объясняется тем, что величины [pic]хi являются
независимыми, а из n величин Vi независимыми являются n(1, т.к. в величину
Vi входит а, само определяемое из этих же n измерений.
Важно, что не зная самих истинных случайных ошибок удается вычислить
среднюю квадратичную ошибку определенного измерения:
S = ([pic].
Оценим теперь погрешность результата всей серии эксперимента, т.е.
определим величину (х = Х ( а.
Для этого проведем преобразование выражения
Sn2 = [pic]
= [pic]
= [pic] [pic].
[pic] Если повторить серии по n измерений в каждой N раз, можно
получить средние значения а1, а2, ... , аN и погрешности результатов
измерений
((х)1 = (Х ( а1); ((х)2 = (Х ( а2); ... ; ((х)N = (Х ( аN)
и среднюю среднеквадратичную погрешность серии
[pic] Sa2 = [pic].[pic]
При большом числе N S2a ( (2a
[pic].
Усредняя выражение S2n по числу серий N, получаем
[pic][pic] Sa2 = ((x)2 = Sn2 ( [pic].
Учитывая что при большом n S2n ( (2 и S2 ( (2 получаем искомую
связь между дисперсиями всего опыта (2a и отдельного эксперимента (2
[pic],
т.е. дисперсия (2a результата серии из n измерений в n раз меньше дисперсии
отдельного измерения. При ограниченном числе n измерений приближенным
выражением (2a будет S2a
[pic].
Выражения (2a и S2a отражают фундаментальный закон возрастания
точности при росте числа наблюдений. Из него следует, что желая повысить
точность измерений в 2 раза мы должны сделать вместо одного ( четыре
измерения; чтобы повысить точность в 3 раза, нужно увеличить число
измерений в 9 раз и т.д.
7. Понятие доверительного интервала и доверительной вероятности
Как установлено ранее, истинное значение измеряемой величины Х
отличается от среднеарифметического a на некоторую величину (x. На рис. 2
представлено расположение истинного значения Х и а, полученного из
некоторых измерений а1, а2, а3.
Ясно, что случайные величины а1, а2, а3 обусловят случайный характер
абсолютной погрешности (x результата серии измерений, которая будет
распределена по закону Гаусса:
[pic].
Рис. 2. Взаимное расположение Х и а, полученных
из трех измерений а1, а2, а3
Тогда вместо выражения Х = а ( (х можно записать а ( (х ( Х ( а + (.
Интервал (а ( (х; а + (х), в который по определению попадает истинное
значение X называют доверительным интервалом. Надежностью (уровнем
значимости( результата серии измерений называется вероятность ( того, что
истинное значение X измеряемой величины попадет в доверительный интервал.
Вероятность ( выражается в долях единицы или процентах. Графически
надежность отражается площадью под кривой нормального распределения в
пределах доверительного интервала, отнесенной к общей площади. Выбор
надежности определяется характером производимых измерений. Например, к
деталям самолета предъявляются более жесткие требования, чем к лодочному
мотору, а к последнему значительно больше, чем к ручной тачке. При обычных
измерениях ограничиваются доверительной вероятностью 0,90 или 0,95. Для
любой величины доверительного интервала (выраженного в долях ( ( по формуле
Гаусса может быть просчитана соответствующая доверительная вероятность. Эти
вычисления проделаны и сведены в таблицу, имеющуюся практически во всей
литературе по теории вероятности. На рис. 3 представлены значения
надежности ( при величине доверительного интервала ((, (2(, (3(. Эти
значения доверительной вероятности рекомендуется запомнить.
По рис. 3 видно, что величина абсолютной погрешности (x может быть
представлена в виде К((а, где К некоторый численный коэффициент, зависящий
от надежности (. Однако это справедливо лишь для большого (бесконечного(
числа n. При малых n этим коэффициентом пользоваться нельзя, т.к. величина
(а неизвестна. Для того, чтобы получить оценки границ доверительного
интервала при малом n вводится новый коэффициент ((. Этот коэффициент
предложен английским математиком и химиком В.С. Госсетом, публиковавшим
свои работы под псевдонимом ( Стьюдент (.
Рис. 3. Значения надежности ( при различных значениях (x((
И коэффициент (( назвали коэффициентом Стьюдента. Коэффициент Стьюдента
отражает распределение случайной величины t = [pic][pic]при различном n.
При n(( ( практически при n ( 20 ( распределение Стьюдента переходит в
нормальное распределение. Значения коэффициента Стьюдента также приводятся
практически во всей литературе по теории вероятности.
Зная величину (( можно определить величину абсолютной погрешности (х
= t(Sa . Следует отметить, что величина абсолютной погрешности еще не
определяет точность измерений. Точность измерений характеризует
относительная погрешность, равная отношению абсолютной погрешности (x
результата измерений к результату измерений а: ( = ( (х ( а.
.
8. Обнаружение промахов
Если в ряду измерений встречаются результаты, резко отличающиеся от
большей части ряда, то возникает вопрос принадлежности ( выскакивающих (
значений этому ряду измерений. Большие ошибки имеют малую вероятность
возникновения. Поэтому следует объективно оценить, является ли данное
измерение промахом ( тогда его исключают из ряда ( или же это результат
случайного, но совершенно закономерного отклонения. Можно считать каждое
измерение промахом, если вероятность случайного появления такого значения
является достаточно малой.
Если известно точное значение (, то вероятность появления значения,
отличающегося от среднеарифметического а более чем на 3( ( 0,003 и все
измерения, отличающиеся от а на 3( ( и больше ( могут быть отброшены, как
маловероятные.
Следует иметь в виду, что для совокупности измерений вероятность
появления измерения ( 3( от а всегда больше 0,003. Действительно,
вероятность того, что результат каждого измерения не будет отличаться от
истинного более чем 3( составляет 1( 0,003 ( 0,997. Вероятность того, что
все n измерений не будут отличаться от среднего более чем на 3( по правилу
умножения вероятностей составит ( 1 ( 0,003 (n. Для не слишком большого n
(1 ( 0,003)n ( 1 ( 0,003(n.
Это значит, что вероятность того, что из 10 измерений хотя бы одно
будет случайно отличаться от среднего более чем на 3( будет уже не 0,003, а
0,03 или 3%. А при 100 измерениях вероятность такого события составит уже
около 30%.
Обычно число измерений не очень велико. При этом точное значение ( не
известно, следовательно, отбрасывать измерения, отличающиеся от среднего
более чем на 3(, нельзя.
Для оценки вероятности ( случайного появления (выскакивающих(
значений в ряду n измерений составлены соответствующие таблицы.
Для применения таблицы вычисляется среднее арифметическое а и средняя
квадратичная погрешность (n из всех измерений, включая и подозреваемое
значение а(. Затем вычисляется уклонение подозреваемого значения а( от
среднего арифметического в долях среднеквадратичной ошибки
Vмакс = [pic].[pic]
По таблице определяется какой вероятности ( соответствует полученное
значение Vмакс.
Если вероятность появления данного измерения в ряду лежит в диапазоне
0,1 ( ( ( 0,01, то представляется одинаково правильным ( оставить это
измерение или отбросить. В случае же, когда ( выходит за указанные пределы,
вопрос об отбрасывании решается практически однозначно. Решая вопрос об
отбрасывании полезно посмотреть, как сильно оно меняет окончательный
результат по а и (n.
1.9. Ошибки косвенных измерений
Часто измеряется не непосредственно интересующая нас величина, а
другая, зависящая от нее некоторым образом. Например, при резании металлов
часто непосредственно измеряются деформации, ЭДС, по которым судят о
возникающих силах и температурах. При этом также необходимо оценить ошибку
измерения.
При косвенных измерениях значение y измеряемой величины находят по
некоторой формуле
y = ( (х1, х2, ... , хm),
где x1, x2, ... xm ( средние арифметические измеряемые (непосредственно(
величины. Рассмотрим функцию общего вида
y = ( (х1, х2, ... , хm)
где x1, x2, ... , xm ( независимые переменные, для определения которых
производятся n прямых независимых измерений по каждой xi.
Обозначим значения переменных через среднее значение и отклонения
y ( (y = ( (x1 ( (x1, x2 ( (x2, ... , xm ( (xm).
Эту функцию представим рядом Тейлора, ограничив его первыми членами ряда (
принимая (xi (( xi )
y ( (y = ((х1, х2, ... , хn) ( [pic],[pic]
где
[pic] ( производная функции по xi, взятая в точке xi.
Учитывая, что y = ( (x1, x2, ... , xm) получаем
(y = [pic].
Чтобы учесть погрешности (xi всех n опытов целесообразно использовать
средние квадратические оценки ( ( xi )2, так как (xi ( 0.
Возведем в квадрат левую и правую части уравнения и разделим на n
[pic].
Здесь суммы удвоенных произведений типа
[pic][pic]
согласно четвертому свойству случайных ошибок ( (xi ( 0 ).
Тогда в левой и правой частях имеем среднеквадратические погрешности
функции и аргументов
S[pic].
Пример. При тарировке динамометра было получено уравнение зависимости
силы от отклонения l луча осциллографа вида P ( 25 l. Точность измерения
отклонения ( l ( 1 мм. Тогда
(P = [pic].
В качестве меры точности лучше выступает не абсолютная, а
относительная погрешность.
([pic].
Рассмотрим ее определение на примере. Пусть
y = cx1((x2((x3(.
Тогда
[pic]; [pic];
[pic].
[pic]
[pic]
[pic]
= [pic].
Аналогично можно определить относительную погрешность и при других
зависимостях. Зная относительную погрешность, можно определить и
абсолютное ее значение:
(y = y((y.
10. Правила округления чисел
Величина погрешности результата измерений физической величины дает
представление о том, какие цифры в числовом значении измеряемой величины
сомнительны. Поэтому результаты измерений следует округлять перед тем, как
производить с ними дальнейшие вычисления.
Округлять числовое значение результата измерений следует в
соответствии с числовым разрядом значащей цифры погрешности. При этом
выполняют общие правила округления.
Лишние цифры в целых числах заменяются нулями, а в десятичных дробях
отбрасываются ( как и лишние нули ). Например, если погрешность измерения (
0,001 мм, то результат 1,07005 округляется до 1,070.
Если первая из изменяемых нулями и отбрасываемых цифр меньше 5,
остающиеся цифры не изменяются. Например, число 148935, точность измерения
( 50, округление( 148900.
Если первая из заменяемых нулями или отбрасываемых цифр равна 5, а за
ней не следует никаких цифр или идут нули, то округление производится до
ближайшего четного числа. Например, число 123,50 округляется до 124.
Если первая из заменяемых нулями или отбрасываемых цифр больше 5 или
равна 5, но за ней следует значащая цифра, то последняя остающаяся цифра
увеличивается на единицу. Например, число 6783,6 округляется до 6784.
11. Порядок обработки результатов измерений
При практической обработке результатов измерений можно
последовательно выполнить следующие операции(
1. Записать результаты измерений;
2. Вычислить среднее значение из n измерений
а = [pic]
3. Определить погрешности отдельных измерений Vi ( а ( аi;
4. Вычислить квадраты погрешностей отдельных измерений Vi 2;
Если несколько измерений резко отличаются по своим значениям от остальных
измерений, то следует проверить не являются ли они промахом. При исключении
одного или нескольких измерений п.п.1...4 повторить;
Определяется средняя квадратичная погрешность результата серии измерений
[pic]
7. Задается значение надежности (;
Определяется коэффициент Стьюдента (( (n) для выбранной надежности ( и
числа проведенных измерений n;
9. Находятся границы доверительного интервала
(х = (( (n)(Sa
Если величина погрешности результата измерений (п.9) окажется сравнимой с
величиной ( погрешности прибора, то в качестве границы доверительного
интервала следует взять величину
[pic].
11. Записать окончательный результат
X ( a ( (x ;
12. Оценить относительную погрешность результата серии измерений
( = [pic].[pic]
12. Обработка результатов измерений диаметра цилиндра
Микрометром было сделано десять замеров диаметра цилиндра. Цена
деления микрометра 0,01 мм. Определить диаметр цилиндра с надежностью ( (
0,95 и ( ( 0,99. Оценить влияние числа замеров на точность получаемого
результата.
аi( 14,85; 14,80; 14,84; 14,81; 14,79;
14,81; 14,80; 14,85; 14,84; 14,80.
Для первых пяти измерений определим среднеарифметическое значение и границы
доверительного интервала. Для удобства расчетов выберем произвольное число
ао удобное для расчетов (ао ( 14,80 мм) и определим разности (аi ( ао) и
квадраты этих разностей. Результаты сведены в таблицу.
| i | аi, мм | аi ( ао, мм | (аi ( ао)2, мм2|
| 1 | 14, 85 | 0, 05 | 0, 0025 |
| 2 | 14, 80 | 0, 00 | 0, 0000 |
| 3 | 14, 84 | 0, 04 | 0, 0016 |
| 4 | 14, 81 | 0, 01 | 0, 0001 |
| 5 | 14, 79 | (0, 01 | 0, 0001 |
| [pic] | | |
| |0, 09 |0, 0043 |
Найдем среднее значение а и среднеквадратичное отклонение (а(
[pic]
а ( ао = 0, 018 мм;
[pic]
[pic][pic]( мм2 );
[pic] ( мм ).
Для надежности ( ( 0,95 и n ( 5 (( ( 2,78. Абсолютная погрешность
измерения (х(
(х ( ((( Sа ( 2,78 ( 0,0116 ( 0,0322 мм.
Результат измерения можно представить в виде
(14,818 ( 0,032( мм ( а ( (14,818 ( 0,032( мм
или сохраняя в величине погрешности одну значащую цифру
(14,82 ( 0,03( мм ( а ( (14,82 ( 0,03( мм,
т.е. 14,79 мм ( а ( 14,85 мм или а ( (14,82 ( 0,03( мм.
Относительная погрешность
(а = [pic].
Теперь найдем абсолютную и относительную погрешность этих измерений
при ( ( 0,99.
В этом случае (( ( 4,60. Тогда
(х = (((Sa = 4,60(1,16(10-2 = 5,34(10-2 ( мм ).
Следовательно а ( (14,82 ( 0,05( мм
(а = [pic].
Видно, что с увеличением надежности границы доверительного интервала
возросли, а точность результата уменьшилась.
Проведем расчет погрешностей для этих же пяти измерений, незаконно полагая,
что (2 ( (2n (что при n = 5 ошибочно). Для этого используем распределение
Гаусса (а не Стюарта). При ( ( 0,95 k( = [pic].
Это дает возможность определить
(х = k((Sa = 1,96(1,16(10-2 ( 2(10-2 ( мм ),
т.е. погрешность получилась меньше примерно на 30%. Если по этой величине
погрешности определить величину надежности при (( ( k(, то из таблицы
коэффициентов Стьюдента получим ( ( 0,90 вместо заданной ( ( 0,95.
Следовательно при малом числе измерений n применение закона нормального
распределения с (2 ( S2n вместо распределения Стьюдента приводит к
уменьшению надежности результата измерений.
Найдем средние значения и погрешности следующих пяти измерений
| i | аi, мм | аi ( ао, мм | (аi ( ао)2, мм2|
| 1 | 14, 81 | 0, 01 | 0, 0001 |
| 2 | 14, 80 | 0, 00 | 0 |
| 3 | 14, 85 | 0, 05 | 0, 0025 |
| 4 | 14, 84 | 0, 04 | 0, 0016 |
| 5 | 14, 80 | 0, 00 | 0 |
| [pic] | | |
| |0, 10 |0, 0042 |
ао = 14, 80 мм;
а = ао + [pic] ( мм );
а ( ао = 0, 02 мм;
[pic]
[pic] ( мм2 );
Sa = 1, 05(10-2 мм.
При ( ( 0,95(
(х = (((Sa = ( 2,78(1,05(10-2 = 2,92(10-2 ( мм );
(а = [pic];
Х = 14, 82 ( 0, 03 мм.
При ( ( 0,99(
(х = ( 4,60(1,05(10-2 ( 5(10-2 ( мм );
(а = ( [pic]
Х = 14, 82 ( 0,05 мм.
Результаты практически не отличаются, от результатов полученных из
первой серии.
Найдем теперь погрешность результата всей серии из десяти измерений. В этом
случае [pic] (мм); [pic] (мм2).
Эти величины получаются суммированием последних строк из таблиц частных
серий.
ао = 14, 80 мм;
а = ао + [pic] ( мм );
а ( ао = 0, 019 мм.
Sa2 = [pic]
=[pic] ( мм2 );
Sa = 7, 35(10-3 мм.
При ( ( 0,95 имеем
(х = t((Sa = ( 2,26(7,35(10-3 = ( 1,7(10-2 ( мм );
(а = [pic];
а = 14, 819 ( 0, 017 мм.
При ( ( 0,99 получаем
(х = t((Sa = ( 3,25(7,35(10-2 = ( 2,4(10-2 ( мм );
(а = [pic];
а = 14, 819 ( 0, 024 мм.
Видно, что абсолютная и относительная погрешность результата десяти
измерений стали почти в два раза меньше погрешностей пяти измерений.
Применение нормального распределения с (2 ( S2n дает в случае ( (
0,95 k( ( 1,96 и (х ( 1,4 ( 10(2 мм, а величина надежности понижается до
0,91; в случае ( ( 0,99 получаем k( ( 2,58 и (х ( 1,9 ( 10(2 мм, а величина
надежности понижается до ( ( 0,97.
Как видно, с ростом числа измерений различие между результатами,
вычислениями по распределению Стьюдента и по нормальному распределению
уменьшается.
Контрольные вопросы
1. Цель математической обработки результатов эксперимента;
2. Виды измерений;
3. Типы ошибок измерения;
4. Свойства случайных ошибок;
5. Почему среднеарифметическое значение случайной величины при нормальном
законе ее распределения является вероятнейшим значением?
6. Что такое истинная абсолютная и вероятнейшая ошибки отдельного
измерения?
7. Что такое доверительный интервал случайной величины?
8. Что такое уровень значимости (надежности) серии измерений?
9. Геометрический смысл уровня значимости;
10. Почему при малом числе опытов нельзя погрешность измерений представить
в виде (х ( ( K(а?
11. Что является критерием (случайности( большого отклонения измеряемой
величины?
12. Чем определяется величина случайной ошибки косвенных измерений?
13. Чем определяется точность числовой записи случайной величины?
2. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
При характеристике случайных величин недостаточно указать их
возможные значения. Необходимо еще знать насколько часто возникают
различные значения этой величины. Это характеризуется вероятностью p
отдельных ее значений.
Соотношение, устанавливающее связь между значениями случайной
величины и вероятностями этих значений, называют законом распределения
случайной величины. Различают интегральный и дифференциальный законы
распределения.
1. Виды случайных величин и законы их распределения
Под случайной величиной понимается величина, принимающая в результате
опыта какое либо числовое или качественное значение.
Случайная величина, принимающая конечное число или последовательность
различных значений, называется дискретной случайной величиной. Случайная
величина, принимающая все значения из некоторого интервала, называется
непрерывной случайной величиной.
Под интегральным законом распределения (или функцией распределения) F
(х) случайной величины Х понимают вероятность p того, что случайная
величина Х не превысит некоторого ее значения х
F (х) ( p (Х ( х).
Основным свойством интегрального распределения является монотонное не
убывание в ограниченном диапазоне ( 0( 1 (.
Действительно, если х1 и х2 некоторые значения случайной величины Х.
Причем х2 ( х1, то очевидно, что событие p (Х ( х2) ( p (Х ( х1), т.к.
между значениями х1 и х2 могут быть и промежуточные. Из определения
интегрального закона следует, что F (х2) ( F (х1), что говорит о монотонном
не убывании функции. Очевидно также, что
F (( () ( p (Х ( ( () ( 0;
( F (() ( F (( () ( 1,
F (( () ( p (Х ( () ( 1;
т.е. F (х) изменяется в диапазоне от 0 до 1.
Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан
таблицей или ступенчатой функцией (рис. 4)
Рис. 4. Интегральный закон распределения
дискретной случайной величины
Для дискретной случайной величины
F (x) = P (X ( x) = P ((( ( X ( x) = [pic],
[pic]где суммирование распространяется на хi ( х. В промежутке между двумя
последовательными значениями Х функция F (х) постоянна. При переходе
аргумента х через значение хi F (х) скачком возрастает на величину p (Х (
хi).
Рассмотрим p (х1 ( Х ( х2). Если х2 ( х1, то очевидно, что
p (Х ( х2) ( p (Х ( х1) ( p (х1 ( Х ( х2).
Тогда
p (х1 ( Х ( х2) ( p (Х ( х2) ( p (Х ( х1) ( F (х2) ( F (х1),
т.е. вероятность попадания случайной величины в интервал (х1( х2) равен
разности значений интегральной функции граничных точек.
Последнее условие можно использовать для нахождения вероятности p (Х
( х1) для непрерывной случайной величины. Для этого рассмотрим предел
p (X = x1) = [pic],
т.е. если закон распределения случайной величины есть функция непрерывная,
то вероятность того, что случайная величина примет заранее заданное
значение, равна нулю.
Здесь видно различие между дискретными и непрерывными случайными
величинами. Для дискретных случайных величин, для каждого значения
случайной величины существует своя вероятность. И для него справедливо
утверждение: событие, вероятность которого равна нулю, невозможно. Для
непрерывной случайной величины это утверждение неверно. Как показано,
вероятность того, что Х ( х1 ( где х1( заранее выбранное число) равна нулю,
это событие не является невозможным.
Рассмотрим непрерывную случайную величину Х, интегральный закон
которой предполагается непрерывным и дифференцируемым. Функцию
( (х) ( F( (х)
называют дифференциальным законом распределения или плотностью вероятности
случайной величины Х. Из определения производной можно записать
( (x) = F( (x) = [pic],
т.е. плотность вероятности случайной величины Х в точке х равна пределу
отношения вероятности попадания величины Х в интервал (х; х ( (х) к (х,
когда (х стремится к нулю.
Используя понятия интегральной функции распределения и определенного
интеграла можно записать
( (x) = F( (x) или F (x) = p (x1 < X < x2) = [pic].
Это соотношение имеет простое геометрическое толкование (рис. 5).
Если [pic] определяет заштрихованную область в соответствующих
пределах, то
p (х ( Х ( х ( (х) ( ( (х) (х.
Рис. 5. Геометрический смысл дифференциальной функции распределения
Из свойств интегрального распределения следует
[pic].
Зная дифференциальный закон распределения можно определить
интегральный закон распределения
F (x) = [pic].
2. Числовые характеристики случайных величин, заданных своими
распределениями
Основными характеристиками случайной величины, заданной своими
распределениями, является математическое ожидание ( или среднее значение )
и дисперсия.
Математическое ожидание случайной величины является центром ее
распределения. Дисперсия характеризует отклонение случайной величины от ее
среднего значения.
Если Х дискретная случайная величина, значения хi которой принимают с
вероятностью pi, так, что [pic], то математическое ожидание М (Х) случайной
величины Х определяется равенством
M (X) = [pic],
т.е. суммой произведений всех ее возможных значений на соответствующие
вероятности.
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины является
аналог его дискретного выражения
M (X) = [pic].
Действительно, все значения в интервале (х; х ( (х) можно считать
примерно равными х, а вероятность таких значений равна ( (х) dx (см.
ранее). Поэтому значения хi дискретного распределения заменяются х, а
вероятности pi ( на ( (х) dx, а сумма заменяется интегралом.
Дисперсией или рассеянием случайной величины Х называется
математическое ожидание квадрата разности случайной величины и ее
математического ожидания.
D (Х) ( М (Х ( М (Х)(2 ( М (Х ( х)2 ( (2 (х)
Если случайная величина Х дискретна и принимает значения хi с
вероятностями pi, то случайная величина (Х ( х)2 принимает значения (хi (
х)2 с вероятностями Рi. Поэтому для дискретной случайной величины имеем
D (X) = [pic].
Аналогично для непрерывной случайной величины получаем
D (X) = [pic].
Чем меньше величина дисперсии, тем лучше значения случайной величины
характеризуются ее математическим ожиданием.
3. Основные дискретные и непрерывные законы распределения
Как отмечалось ранее, очень часто случайная величина распределена по
нормальному закону. Но существуют и другие распределения, имеющие
практическое значение. Рассмотрим некоторые из них по условиям
возникновения и основным параметрам их характеризующим.
1. Равномерное распределение вероятностей.
Пусть плотность вероятности А равна нулю всюду, кроме интервала (a;
b), на котором она постоянна (рис. 6). Тогда можно записать
p (a < X < b) = [pic] [pic] A = [pic].
Рис. 6. Дифференциальный и интегральный законы
равномерного распределения
Тогда дифференциальный закон равномерного распределения определяется
( (x) = [pic][pic]
Интегральный закон распределения
F (x) = [pic].
При х ( b имеем
F (x) = [pic]
Таким образом интегральный закон равномерного распределения задается
(рис. 6)
F (x) = [pic]
Основные характеристики распределения
М (X) = [pic];
D(X) = [pic]
= [pic]
= [pic]
[pic].[pic]
2. Биноминальное распределение
Пусть при некотором испытании событие А может наступить или не
произойти (А). Обозначим вероятность А через р, а А через q ( 1 (р ( других
итогов испытания нет ). Тогда исходами двух последовательных независимых
испытаний и их вероятностью будут:
АА ( р2; АА ( рq; АА ( qр; АА ( q2.
Отсюда видно, что двукратное появление события А равно р2,
вероятность однократн | |
