|
Реферат: Лекции по ТОЭ (Физика)
Лекции по ТОЭ
Введение 1. Элементы электрических цепей. 2. Топология электрических цепей. 3. Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных. 4. Элементы цепи синусоидального тока, векторные диаграммы и комплексные соотношения для них. 5. Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов. 6. Основы матричных методов расчета электрических цепей. 7. Мощность в электрических цепях. 8. Резонансные явления в цепях синусоидального тока. 9. Векторные и топографические диаграммы. Преобразование линейных электрических цепей. 10. Анализ цепей с индуктивно связанными элементами. 11. Особенности составления матричных уравнений при наличии индуктивных связей и ветвей с идеальными источниками. 12. Методы расчета, основанные на свойствах линейных цепей. 13. Метод эквивалентного генератора. Теорема вариаций. 14. Пассивные четырехполюсники. 15. Электрические фильтры. 16. Трехфазные электрические цепи: основные понятия и схемы соединения. 17. Расчет трехфазных цепей. 18. Применение векторных диаграмм для анализа несимметричных режимов. Мощность в трехфазных цепях. 19. Метод симметричных составляющих. 20. Теорема об активном двухполюснике для симметричныхсоставляющих. 21. Вращающееся магнитное поле. Принцип действия асинхронного и синхронного двигателей. 22. Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах. 23. Резонансные явления в цепях несинусоидального тока. Высшие гармоники в трехфазных цепях. 24. Переходные процессы в линейных электрических цепях. Классический метод расчета переходных процессов. 25. Методика и примеры расчета переходных процессов классическим методом. 26. Определение постоянной времени. Переходные процессы в R-L-C-цепи. 27. Операторный метод расчета переходных процессов. 28. Последовательность расчета переходных процессов операторным методом. Формулы включения. Переходные проводимость и функция по напряжению. 29. Интеграл Дюамеля. Метод переменных состояния. 30. Нелинейные цепи постоянного тока. Графические методы расчета. 31. Расчет нелинейных цепей методом эквивалентного генератора. Аналитические и итерационные методы расчета цепей постоянного тока. 32. Нелинейные магнитные цепи при постоянных потоках. 33. Общая характеристика задач и методов расчета магнитных цепей. 34. Особенности нелинейных цепей переменного тока. Графический метод расчета с использованием характеристик для мгновенных значений. 35. Графические методы расчета с использованием характеристик по первым гармоникам и действующим значениям. Феррорезонанс. Аналитические методы расчета. 36. Метод кусочно-линейной аппроксимации. Метод гармонического баланса. 37. Понятие об эквивалентном эллипсе, заменяющем петлю гистерезиса. Потери в стали. Катушка и трансформатор с ферромагнитными сердечниками. 38. Переходные процессы в нелинейных цепях. Аналитические методы расчета. 39. Понятие о графических методах анализа переходных процессов в нелинейных цепях. Методы переменных состояния и дискретных моделей. 40. Цепи с распределенными параметрами в стационарных режимах: основные понятия и определения. 41. Линия без искажений. Уравнения линии конечной длины. Определение параметров длинной линии. Линия без потерь. Стоячие волны. 42. Входное сопротивление длинной линии. Переходные процессы в цепях с распределенными параметрами. 43. Сведение расчета переходных процессов в цепях с распределенными параметрами к нулевым начальным условиям. Правило удвоения волны. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ [pic] Ивановский государственный энергетический университет Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии Доктор техн. наук, профессор А.Н. Голубев
Введение
Теоретические основы электротехники (ТОЭ) являются базовым общетехническим курсом для электротехнических и электроэнергетических специальностей вузов. Курс ТОЭ рассчитан на изучение в течение трех семестров и состоит из двух основных частей: теории цепей (два семестра) и теории электромагнитного поля (один семестр). Данный лекционный курс посвящен первой из указанных частей ТОЭ -теории линейных и нелинейных электрических и магнитных цепей. Содержание курса и последовательность изложения материала в нем в целом соответствуют программе дисциплины ТОЭ для электротехнических и электроэнергетических специальностей вузов. Цель данного курса состоит в том, чтобы дать студентам достаточно полное представление об электрических и магнитных цепях и их составных элементах, их математических описаниях, основных методах анализа и расчета этих цепей в статических и динамических режимах работы, т.е. в создании научной базы для последующего изучения различных специальных электротехнических дисциплин. Задачи курса заключаются в освоении теории физических явлений, положенных в основу создания и функционирования различных электротехнических устройств, а также в привитии практических навыков использования методов анализа и расчета электрических и магнитных цепей для решения широкого круга задач. В результате изучения курса студент должен знать основные методы анализа и расчета установившихся процессов в линейных и нелинейных цепях с сосредоточенными параметрами, в линейных цепях несинусоидального тока, в линейных цепях с распределенными параметрами, основные методы анализа и расчета переходных процессов в указанных цепях и уметь применять их на практике. Знания и навыки, полученные при изучении данного курса, являются базой для освоения таких дисциплин, как: математические основы теории автоматического управления, теория автоматического управления, электропривод, промышленная электроника, электроснабжение промышленных предприятий, переходные процессы в электрических системах, электрические измерения и т. д. При изучении дисциплины предполагается, что студент имеет соответствующую математическую подготовку в области дифференциального и интегрального исчислений, линейной и нелинейной алгебры, комплексных чисел и тригонометрических функций, а также знаком с основными понятиями и законами электричества и магнетизма, рассматриваемыми в курсе физики. Курс рассчитан на 86 лекционных часов и включает в себя следующие основные разделы: -теория линейных цепей синусоидального и, как частный случай, постоянного тока; -основы теории пассивных четырехполюсников и фильтров; -трехфазные электрические цепи; -линейные цепи при периодических несинусоидальных токах; -переходные процессы в линейных электрических цепях; -нелинейные электрические и магнитные цепи при постоянных и переменных токах и магнитных потоках в стационарных режимах; -переходные процессы в нелинейных цепях; -установившиеся и переходные процессы в цепях с распределенными параметрами. При подготовке лекционного курса были использованы известные учебники, сборники и пособия [1…12], а также методические разработки кафедры ТОЭЭ ИГЭУ. Рекомендуемая учебно-методическая литература по дисциплине: 1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с. 2. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с. 3. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. М.:Энергия, 1972. –240с. 4. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.2. Жуховицкий Б.Я., Негневицкий И.Б. Линейные электрические цепи (продолжение). Нелинейные цепи. –М.: Энергия- 1972. –200с. 5. Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи: Учеб. для электротехн. и радиотехн. спец. вузов. –3-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1990. –400 с. 6. Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Нелинейные цепи: Учеб. для электротехн. спец. вузов. –2-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1986. –352 с. 7. Каплянский А.Е. и др. Теоретические основы электротехники. Изд. 2-е. Учеб. пособие для электротехнических и энергетических специальностей вузов. –М.: Высш. шк., 1972. -448 с. 8. Теоретические основы электротехники. Т. 1. Основы теории линейных цепей. Под ред. П.А. Ионкина. Учебник для электротехн. вузов. Изд. 2- е, перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1976. –544 с. 9. Теоретические основы электротехники. Т. 2. Нелинейные цепи и основы теории электромагнитного поля. Под ред. П.А. Ионкина. Учебник для электротехн. вузов. Изд. 2-е, перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1976. –383 с. 10. Сборник задач и упражнений по теоретическим основам электротехники: Учеб. пособие для вузов/ Под. ред. проф. П.А.Ионкина. –М.: Энергоиздат, 1982. –768 с. 11. Сборник задач и упражнений по теоретическим основам электротехники: Учеб. пособие для вузов/ Под. ред. проф. П.А.Ионкина. –М.: Энергоиздат, 1982. –768 с. 12. Сборник задач и упражнений по теоретическим основам электротехники: Учеб. пособие/ Бессонов Л.А., Демидова И.Г., Заруди М.Е. и др.; Под ред. Бессонова Л.А. . –2-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1980. –472 с. 13. Основы анализа и расчета линейных электрических цепей: Учеб. пособие/ Н.А.Кромова. –2-е изд., перераб. и доп.; Иван. гос. энерг. ун-т. –Иваново, 1999. -360 с. 14. Голубев А.Н. Методы расчета нелинейных цепей: Учеб. пособие/ Иван. гос. энерг. ун-т. –Иваново, 2002. -212 с.
|Теория / ТОЭ / Лекция N 1. Элементы электрических цепей. |
|Электромагнитные процессы, протекающие в электротехнических устройствах, как правило,| |достаточно сложны. Однако во многих случаях, их основные характеристики можно описать| |с помощью таких интегральных понятий, как: напряжение, ток, электродвижущая сила | |(ЭДС). При таком подходе совокупность электротехнических устройств, состоящую из | |соответствующим образом соединенных источников и приемников электрической энергии, | |предназначенных для генерации, передачи, распределения и преобразования электрической| |энергии и (или) информации, рассматривают как электрическую цепь. Электрическая цепь | |состоит из отдельных частей (объектов), выполняющих определенные функции и называемых| |элементами цепи. Основными элементами цепи являются источники и приемники | |электрической энергии (сигналов). Электротехнические устройства, производящие | |электрическую энергию, называются генераторами или источниками электрической энергии,| |а устройства, потребляющие ее – приемниками (потребителями) электрической энергии. | |У каждого элемента цепи можно выделить определенное число зажимов (полюсов), с | |помощью которых он соединяется с другими элементами. Различают двух –и многополюсные | |элементы. Двухполюсники имеют два зажима. К ним относятся источники энергии (за | |исключением управляемых и многофазных), резисторы, катушки индуктивности, | |конденсаторы. Многополюсные элементы – это, например, триоды, трансформаторы, | |усилители и т.д. | |Все элементы электрической цепи условно можно разделить на активные и пассивные. | |Активным называется элемент, содержащий в своей структуре источник электрической | |энергии. К пассивным относятся элементы, в которых рассеивается (резисторы) или | |накапливается (катушка индуктивности и конденсаторы) энергия. К основным | |характеристикам элементов цепи относятся их вольт-амперные, вебер-амперные и | |кулон-вольтные характеристики, описываемые дифференциальными или (и) алгебраическими | |уравнениями. Если элементы описываются линейными дифференциальными или | |алгебраическими уравнениями, то они называются линейными, в противном случае они | |относятся к классу нелинейных. Строго говоря, все элементы являются нелинейными. | |Возможность рассмотрения их как линейных, что существенно упрощает математическое | |описание и анализ процессов, определяется границами изменения характеризующих их | |переменных и их частот. Коэффициенты, связывающие переменные, их производные и | |интегралы в этих уравнениях, называются параметрами элемента. | |Если параметры элемента не являются функциями пространственных координат, | |определяющих его геометрические размеры, то он называется элементом с | |сосредоточенными параметрами. Если элемент описывается уравнениями, в которые входят | |пространственные переменные, то он относится к классу элементов с распределенными | |параметрами. Классическим примером последних является линия передачи электроэнергии | |(длинная линия). | |Цепи, содержащие только линейные элементы, называются линейными. Наличие в схеме хотя| |бы одного нелинейного элемента относит ее к классу нелинейных. | |Рассмотрим пассивные элементы цепи, их основные характеристики и параметры. | |1. Резистивный элемент (резистор) | |Условное графическое изображение резистора приведено на рис. 1,а. Резистор – это | |пассивный элемент, характеризующийся резистивным сопротивлением. Последнее | |определяется геометрическими размерами тела и свойствами материала: удельным | |сопротивлением ? (ОмЧ м) или обратной величиной – удельной проводимостью [pic](См/м).| | | |В простейшем случае проводника длиной [pic]и сечением S его сопротивление | |определяется выражением | |[pic]. | |В общем случае определение сопротивления связано с расчетом поля в проводящей среде, | |разделяющей два электрода. | |Основной характеристикой резистивного элемента является зависимость [pic](или [pic]),| |называемая вольт-амперной характеристикой (ВАХ). Если зависимость [pic]представляет | |собой прямую линию, проходящую через начало координат (см.рис. 1,б), то резистор | |называется линейным и описывается соотношением | |[pic] | |или | |[pic], | |где [pic]- проводимость. При этом R=const. | |Нелинейный резистивный элемент, ВАХ которого нелинейна (рис. 1,б), как будет показано| |в блоке лекций, посвященных нелинейным цепям, характеризуется несколькими | |параметрами. В частности безынерционному резистору ставятся в соответствие | |статическое [pic]и дифференциальное [pic]сопротивления. | |2. Индуктивный элемент (катушка индуктивности) | |Условное графическое изображение катушки индуктивности приведено на рис. 2,а. Катушка| |– это пассивный элемент, характеризующийся индуктивностью. Для расчета индуктивности | |катушки необходимо рассчитать созданное ею магнитное поле. | |[pic] | |Индуктивность определяется отношением потокосцепления к току, протекающему по виткам | |катушки, | |[pic]. | |В свою очередь потокосцепление равно сумме произведений потока, пронизывающего витки,| |на число этих витков [pic], где [pic]. | |Основной характеристикой катушки индуктивности является зависимость [pic], называемая| |вебер-амперной характеристикой. Для линейных катушек индуктивности зависимость | |[pic]представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат (см. рис. | |2,б); при этом | |[pic]. | |Нелинейные свойства катушки индуктивности (см. кривую [pic]на рис. 2,б) определяет | |наличие у нее сердечника из ферромагнитного материала, для которого зависимость | |[pic]магнитной индукции от напряженности поля нелинейна. Без учета явления магнитного| |гистерезиса нелинейная катушка характеризуется статической [pic]и дифференциальной | |[pic]индуктивностями. | |3. Емкостный элемент (конденсатор) | |Условное графическое изображение конденсатора приведено на рис. 3,а. | |[pic] | |Конденсатор – это пассивный элемент, характеризующийся емкостью. Для расчета | |последней необходимо рассчитать электрическое поле в конденсаторе. Емкость | |определяется отношением заряда q на обкладках конденсатора к напряжению u между ними | |[pic] | |и зависит от геометрии обкладок и свойств диэлектрика, находящегося между ними. | |Большинство диэлектриков, используемых на практике, линейны, т.е. у них относительная| |диэлектрическая проницаемость[pic] =const. В этом случае зависимость | |[pic]представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат, (см. рис. | |3,б) и | |[pic]. | |У нелинейных диэлектриков (сегнетоэлектриков) диэлектрическая проницаемость является | |функцией напряженности поля, что обусловливает нелинейность зависимости [pic](рис. | |3,б). В этом случае без учета явления электрического гистерезиса нелинейный | |конденсатор характеризуется статической [pic]и дифференциальной [pic]емкостями. | | | |Схемы замещения источников электрической энергии | |Свойства источника электрической энергии описываются ВАХ [pic], называемой внешней | |характеристикой источника. Далее в этом разделе для упрощения анализа и | |математического описания будут рассматриваться источники постоянного напряжения | |(тока). Однако все полученные при этом закономерности, понятия и эквивалентные схемы | |в полной мере распространяются на источники переменного тока. ВАХ источника может | |быть определена экспериментально на основе схемы, представленной на рис. 4,а. Здесь | |вольтметр V измеряет напряжение на зажимах 1-2 источника И, а амперметр А – | |потребляемый от него ток I, величина которого может изменяться с помощью переменного | |нагрузочного резистора (реостата) RН. | |[pic] | |В общем случае ВАХ источника является нелинейной (кривая 1 на рис. 4,б). Она имеет | |две характерные точки, которые соответствуют: | |а – режиму холостого хода [pic]; | |б – режиму короткого замыкания [pic]. | |Для большинства источников режим короткого замыкания (иногда холостого хода) является| |недопустимым. Токи и напряжения источника обычно могут изменяться в определенных | |пределах, ограниченных сверху значениями, соответствующими номинальному режиму | |(режиму, при котором изготовитель гарантирует наилучшие условия его эксплуатации в | |отношении экономичности и долговечности срока службы). Это позволяет в ряде случаев | |для упрощения расчетов аппроксимировать нелинейную ВАХ на рабочем участке m-n (см. | |рис. 4,б) прямой, положение которой определяется рабочими интервалами изменения | |напряжения и тока. Следует отметить, что многие источники (гальванические элементы, | |аккумуляторы) имеют линейные ВАХ. | |Прямая 2 на рис. 4,б описывается линейным уравнением | |[pic], | |(1) | | | |где [pic]- напряжение на зажимах источника при отключенной нагрузке (разомкнутом | |ключе К в схеме на рис. 4,а); [pic]- внутреннее сопротивление источника. | |Уравнение (1) позволяет составить последовательную схему замещения источника (см. | |рис. 5,а). На этой схеме символом Е обозначен элемент, называемый идеальным | |источником ЭДС. Напряжение на зажимах этого элемента [pic]не зависит от тока | |источника, следовательно, ему соответствует ВАХ на рис. 5,б. На основании (1) у | |такого источника [pic]. Отметим, что направления ЭДС и напряжения на зажимах | |источника противоположны. | |[pic] | |Если ВАХ источника линейна, то для определения параметров его схемы замещения | |необходимо провести замеры напряжения и тока для двух любых режимов его работы. | |Существует также параллельная схема замещения источника. Для ее описания разделим | |левую и правую части соотношения (1) на [pic]. В результате получим | |[pic] | |или | |[pic], | |(2) | | | |где [pic]; [pic]- внутренняя проводимость источника. | |Уравнению (2) соответствует схема замещения источника на рис. 6,а. | |[pic] | |На этой схеме символом J обозначен элемент, называемый идеальным источником тока. Ток| |в ветви с этим элементом равен [pic]и не зависит от напряжения на зажимах источника, | |следовательно, ему соответствует ВАХ на рис. 6,б. На этом основании с учетом (2) у | |такого источника [pic], т.е. его внутреннее сопротивление [pic]. | |Отметим, что в расчетном плане при выполнении условия [pic]последовательная и | |параллельная схемы замещения источника являются эквивалентными. Однако в | |энергетическом отношении они различны, поскольку в режиме холостого хода для | |последовательной схемы замещения мощность равна нулю, а для параллельной – нет. | |Кроме отмеченных режимов функционирования источника, на практике важное значение | |имеет согласованный режим работы, при котором нагрузкой RН от источника потребляется | |максимальная мощность | |[pic], | |(3) | | | |Условие такого режима | |[pic], | |(4) | | | |В заключение отметим, что в соответствии с ВАХ на рис. 5,б и 6,б идеальные источники | |ЭДС и тока являются источниками бесконечно большой мощности. | |Литература | |Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, | |С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с. | |Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для | |студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей | |вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с. | |Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. | |К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными | |постоянными. –М.: Энергия, 1972. –240 с. | |Каплянский А.Е. и др. Теоретические основы электротехники. Изд. 2-е. Учеб. пособие | |для электротехнических и энергетических специальностей вузов. –М.: Высш. шк., 1972. | |–448 с. | |Контрольные вопросы и задачи | |Может ли внешняя характеристик источника проходить через начало координат? | |Какой режим (холостой ход или короткое замыкание) является аварийным для источника | |тока? | |В чем заключаются эквивалентность и различие последовательной и параллельной схем | |замещения источника? | |Определить индуктивность L и энергию магнитного поля WМкатушки, если при токе в ней | |I=20А потокосцепление ? =2 Вб. | |Ответ: L=0,1 Гн; WМ=40 Дж. | |Определить емкость С и энергию электрического поля WЭконденсатора, если при | |напряжении на его обкладках U=400 В заряд конденсатора q=0,2Ч 10-3 Кл. | |Ответ: С=0,5 мкФ; WЭ=0,04 Дж. | |У генератора постоянного тока при токе в нагрузке I1=50Анапряжение на зажимах U1=210 | |В,а притоке, равном I2=100А, оно снижается до U2=190 В. | |Определить параметры последовательной схемы замещения источника и ток короткого | |замыкания. | |Ответ: [pic] | |Вывести соотношения (3) и (4) и определить максимальную мощность, отдаваемую | |нагрузке, по условиям предыдущей задачи. | |Ответ: [pic] |
|Теория / ТОЭ / Лекция N 2. Топология электрической цепи. |
|Электрическая цепь характеризуется совокупностью элементов, из которых она состоит, и| |способом их соединения. Соединение элементов электрической цепи наглядно отображается| |ее схемой. Рассмотрим для примера две электрические схемы (рис. 1, 2), введя понятие | |ветви и узла. | |[pic] | |Рис.1 | |Рис.2 | | | |Ветвью называется участок цепи, обтекаемый одним и тем же током. | |Узел – место соединения трех и более ветвей. | |Представленные схемы различны и по форме, и по назначению, но каждая из указанных | |цепей содержит по 6 ветвей и 4 узла, одинаково соединенных. Таким образом, в смысле | |геометрии (топологии) соединений ветвей данные схемы идентичны. | |Топологические (геометрические) свойства электрической цепи не зависят от типа и | |свойств элементов, из которых состоит ветвь. Поэтому целесообразно каждую ветвь схемы| |электрической цепи изобразить отрезком линии. Если каждую ветвь схем на рис. 1 и 2 | |заменить отрезком линии, получается геометрическая фигура, показанная на рис. 3. | |Условное изображение схемы, в котором каждая ветвь заменяется отрезком линии, | |называется графом электрической цепи. При этом следует помнить, что ветви могут | |состоять из каких-либо элементов, в свою очередь соединенных различным образом. | |Отрезок линии, соответствующий ветви схемы, называется ветвью графа. Граничные точки | |ветви графа называют узлами графа. Ветвям графа может быть дана определенная | |ориентация, указанная стрелкой. Граф, у которого все ветви ориентированы, называется | |ориентированным. | |Подграфом графа называется часть графа, т.е. это может быть одна ветвь или один | |изолированный узел графа, а также любое множество ветвей и узлов, содержащихся в | |графе. | |В теории электрических цепей важное значение имеют следующие подграфы: | |1. Путь – это упорядоченная последовательность ветвей, в которой каждые две соседние | |ветви имеют общий узел, причем любая ветвь и любой узел встречаются на этом пути | |только один раз. Например, в схеме на рис. 3 ветви 2-6-5; 4-5; 3-6-4; 1 образуют пути| |между одной и той же парой узлов 1 и 3. Таким образом, путь – это совокупность | |ветвей, проходимых непрерывно. | |2. Контур – замкнутый путь, в котором один из узлов является начальным и конечным | |узлом пути. Например, для графа по рис. 3 можно определить контуры, образованные | |ветвями 2-4-6; 3-5-6; 2-3-5-4. Если между любой парой узлов графа существует связь, | |то граф называют связным. | |3. Дерево – это связный подграф, содержащий все узлы графа, но ни одного контура. | |Примерами деревьев для графа на рис. 3 могут служить фигуры на рис. 4. | |[pic] | |Рис.4 | |4. Ветви связи (дополнения дерева) – это ветви графа, дополняющие дерево до исходного| |графа. | |Если граф содержит m узлов и n ветвей, то число ветвей любого дерева [pic], а числа | |ветвей связи графа [pic]. | |5. Сечение графа – множество ветвей, удаление которых делит граф на два изолированных| |подграфа, один из которых, в частности, может быть отдельным узлом. | |Сечение можно наглядно изобразить в виде следа некоторой замкнутой поверхности, | |рассекающей соответствующие ветви. Примерами таких поверхностей являются для нашего | |графа на рис. 3 S1 иS2 . При этом получаем соответственно сечения, образованные | |ветвями 6-4-5 и 6-2-1-5. | |С понятием дерева связаны понятия главных контуров и сечений: | |главный контур – контур, состоящий из ветвей дерева и только одной ветви связи; | |главное сечение – сечение, состоящее из ветвей связи и только одной ветви дерева. | |Топологические матрицы | |Задать вычислительной машине топологию цепи рисунком затруднительно, так как не | |существует эффективных программ распознавания образа. Поэтому топологию цепи вводят в| |ЭВМ в виде матриц, которые называют топологическими матрицами. Выделяют три таких | |матрицы: узловую матрицу, контурную матрицу и матрицу сечений. | |1. Узловая матрица (матрица соединений) – это таблица коэффициентов уравнений, | |составленных по первому закону Кирхгофа. Строки этой матрицы соответствуют узлам, а | |столбцы – ветвям схемы. | |Для графа на рис. 3 имеем число узлов m=4 и число ветвей n=6. Тогда запишем матрицу | |АН , принимая, что элемент матрицы [pic](i –номер строки; j –номер столбца) равен 1, | |если ветвь j соединена с узлом i и ориентирована от него, -1, если ориентирована к | |нему, и 0, если ветвь j не соединена с узломi . Сориентировав ветви графа на рис. 3, | |получим | | | | | | [pic] | | | |[pic] | |[pic] | |[pic] | | | |.Данная матрица АН записана для всех четырех узлов и называется неопределенной. | |Следует указать, что сумма элементов столбцов матрицы АН всегда равна нулю, так как | |каждый столбец содержит один элемент +1 и один элемент -1, остальные нули. | |Обычно при расчетах один (любой) заземляют. Тогда приходим к узловой матрице А | |(редуцированной матрице), которая может быть получена из матрицы АН путем | |вычеркивания любой ее строки. Например, при вычеркивании строки “4” получим | | | | | | [pic] | | | |[pic] | |[pic] | |[pic] | | | |.Число строк матрицы А равно числу независимых уравнений для узлов [pic], т.е. числу | |уравнений, записываемых для электрической схемы по первому закону Кирхгофа. Итак, | |введя понятие узловой матрицы А, перейдем к первому закону Кирхгофа. | |Первый закон Кирхгофа | |Обычно первый закон Кирхгофа записывается для узлов схемы, но, строго говоря, он | |справедлив не только для узлов, но и для любой замкнутой поверхности, т.е. | |справедливо соотношение | |[pic] | |(1) | | | |где [pic]- вектор плотности тока; [pic]- нормаль к участку dS замкнутой поверхности | |S. | |Первый закон Кирхгофа справедлив и для любого сечения. В частности, для сечения S2 | |графа на рис. 3, считая, что нумерация и направления токов в ветвях соответствуют | |нумерации и выбранной ориентации ветвей графа, можно записать | |[pic]. | |Поскольку в частном случае ветви сечения сходятся в узле, то первый закон Кирхгофа | |справедлив и для него. Пока будем применять первый закон Кирхгофа для узлов, что | |математически можно записать, как: | |[pic] | |(2) | | | |т.е. алгебраическая сумма токов ветвей, соединенных в узел, равна нулю. | |При этом при расчетах уравнения по первому закону Кирхгофа записываются для (m-1) | |узлов, так как при записи уравнений для всех m узлов одно (любое) из них будет | |линейно зависимым от других, т.е. не дает дополнительной информации. | |Введем столбцовую матрицу токов ветвей | |I= | |[pic] | | | |Тогда первый закон Кирхгофа в матричной форме записи имеет вид: | |АI=O | |(3) | | | |– где O - нулевая матрица-столбец. Как видим, в качестве узловой взята матрица А, а | |не АН, т.к. с учетом вышесказанного уравнения по первому закону Кирхгофа записываются| |для (m-1) узлов. | |В качестве примера запишем для схемы на рис. 3 | |[pic] | |[pic] | | | |Отсюда для первого узла получаем | |[pic], | |что и должно иметь место. | |2. Контурная матрица (матрица контуров) – это таблица коэффициентов уравнений, | |составленных по второму закону Кирхгофа. Строки контурной матрицы Всоответствуют | |контурам, а столбцы – ветвям схемы. | |Элемент bij матрицы В равен 1, если ветвь j входит в контур i и ее ориентация | |совпадает с направлением обхода контура, -1, если не совпадает с направлением обхода | |контура, и 0, если ветвьj не входит в контурi. | |Матрицу В, записанную для главных контуров, называют матрицей главных контуров. При | |этом за направление обхода контура принимают направление ветви связи этого контура. | |Выделив в нашем примере (см. рис. 5) дерево, образуемое ветвями 2-1-4, запишем | |коэффициенты для матрицы В. | | | | | |[pic] | | | |[pic] | |[pic] | |[pic] | | | | | |. | |Перейдем теперь ко второму закону Кирхгофа. | |Под напряжением на некотором участке электрической цепи понимается разность | |потенциалов между крайними точками этого участка, т.е. | |[pic] | |(4) | | | |Просуммируем напряжения на ветвях некоторого контура: | |[pic] | |Поскольку при обходе контура потенциал каждой i-ой точки встречается два раза, причем| |один раз с “+”, а второй – с “-”, то в целом сумма равна нулю. | |Таким образом, второй закон Кирхгофа математически записывается, как: | |[pic] | |(5) | | | |- и имеет место следующую формулировку: алгебраическая сумма напряжений на зажимах | |ветвей (элементов) контура равна нулю. При этом при расчете цепей с использованием | |законов Кирхгофа записывается [pic]независимых уравнений по второму закону Кирхгофа, | |т.е. уравнений, записываемых для контуров, каждый из которых отличается от других | |хотя бы одной ветвью. Значение топологического понятия “дерева”: дерево позволяет | |образовать независимые контуры и сечения и, следовательно, формировать независимые | |уравнения по законам Кирхгофа. Таким образом, с учетом (m-1) уравнений, составленных | |по первому закону Кирхгофа, получаем систему из [pic]уравнений, что равно числу | |ветвей схемы и, следовательно, токи в них находятся однозначно. | |Введем столбцовую матрицу напряжений ветвей | |U= | |[pic] | | | |Тогда второй закон Кирхгофа в матричной форме записи имеет вид | |BU = 0. | |(6) | | | |В качестве примера для схемы рис. 5 имеем | |[pic], | |откуда, например, для первого контура получаем | |[pic], | |что и должно иметь место. | |Если ввести столбцовую матрицу узловых потенциалов | |= | |[pic] | | | |причем потенциал последнего узла [pic], то матрица напряжений ветвей и узловых | |потенциалов связаны соотношением | |U=AТ[pic] | |(7) | | | |где AТ - транспонированная узловая матрица. | |Для определения матрицы В по известной матрице А=АДАС , где АД – подматрица, | |соответствующая ветвям некоторого дерева, АС- подматрица, соответствующая ветвям | |связи, может быть использовано соотношение В= (-АТС А-1ТД1). | |3. Матрица сечений – это таблица коэффициентов уравнений, составленных по первому | |закону Кирхгофа для сечений. Ее строки соответствуют сечениям, а столбцы – ветвям | |графа. | |Матрица Q , составленная для главных сечений, называется матрицей главных сечений. | |Число строк матрицы Q равно числу независимых сечений. | |Элемент qij матрицы Q равен 1, если ветвьвходит в i-е сечение и ориентирована | |согласно направлению сечения (за положительное направление сечения принимают | |направление ветви дерева, входящей в него), -1, если ориентирована противоположно | |направлению сечения, и 0, если ветвьj не входит в i-е сечение. | |В качестве примера составим матрицу Q главных сечений для графа на рис. 5. При | |указанной на рис. 5 ориентации ветвей имеем | | | | | |[pic] | | | |[pic] | |[pic] | |[pic] | | | |В заключение отметим, что для топологических матриц А, В и Q, составленных для одного| |и того же графа, выполняются соотношения | |АВТ= 0; | |(8) | | | | | |QВТ= 0, | |(9) | | | |которые, в частности, можно использовать для проверки правильности составления этих | |матриц. Здесь 0 – нулевая матрица порядка [pic]. | |Приведенные уравнения позволяют сделать важное заключение: зная одну из | |топологических матриц, по ее структуре можно восстановить остальные. | |Литература | |1. Теоретические основы электротехники. Т.1. Основы теории линейных цепей./Под ред. | |П.А.Ионкина. Учебник для электротехн. вузов. Изд.2-е , перераб. и доп. –М.: Высш. | |шк., 1976.-544с. | |2. Матханов Х.Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи.: Учеб. для | |электротехн. и радиотехн. спец. 3-е изд. переработ. и доп. –М.: Высш. шк., 1990. | |–400с. | |3. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, | |С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с. | | | |Контрольные вопросы и задачи | |Сформулируйте основные топологические понятия для электрических цепей. | |Что такое узловая матрица? | |Что такое контурная матрица? | |Что такое матрица сечений? | |Токи ветвей некоторой планарной цепи удовлетворяют следующей полной системе | |независимых уравнений: | |[pic]. | |Восстановив граф цепи, составить матрицы главных контуров и сечений, приняв, что | |ветвям дерева присвоены первые номера. | |Ответ: | |B= | |[pic] | |Q= | |[pic] | | | |Составить матрицу главных контуров для графа на рис. 3, приняв, что дерево образовано| |ветвями 2, 1 и 5 | |Ответ: | |B= | |[pic] | | | |Решить задачу 5, используя соотношения (8) и (9). |
| Теория / ТОЭ / Лекция N 3. Представление синусоидальных величин с помощью | |векторов и комплексных чисел. |
|Переменный ток долгое время не находил практического применения. Это было связано с | |тем, что первые генераторы электрической энергии вырабатывали постоянный ток, который| |вполне удовлетворял технологическим процессам электрохимии, а двигатели постоянного | |тока обладают хорошими регулировочными характеристиками. Однако по мере развития | |производства постоянный ток все менее стал удовлетворять возрастающим требованиям | |экономичного электроснабжения. Переменный ток дал возможность эффективного дробления | |электрической энергии и изменения величины напряжения с помощью трансформаторов. | |Появилась возможность производства электроэнергии на крупных электростанциях с | |последующим экономичным ее распределением потребителям, увеличился радиус | |электроснабжения. | |В настоящее время центральное производство и распределение электрической энергии | |осуществляется в основном на переменном токе. Цепи с изменяющимися – переменными – | |токами по сравнению с цепями постоянного тока имеют ряд особенностей. Переменные токи| |и напряжения вызывают переменные электрические и магнитные поля. В результате | |изменения этих полей в цепях возникают явления самоиндукции и взаимной индукции, | |которые оказывают самое существенное влияние на процессы, протекающие в цепях, | |усложняя их анализ. | |Переменным током (напряжением, ЭДС и т.д.) называется ток (напряжение, ЭДС и т.д.), | |изменяющийся во времени. Токи, значения которых повторяются через равные промежутки | |времени в одной и той же последовательности, называются периодическими, а наименьший | |промежуток времени, через который эти повторения наблюдаются, - периодом Т. Для | |периодического тока имеем | |[pic], | | (1) | | | |Величина, обратная периоду, есть частота, измеряемая в герцах (Гц): | |[pic], | |(2) | | | |Диапазон частот, применяемых в технике: от сверхнизких частот (0.01ё10 Гц – в | |системах автоматического регулирования, в аналоговой вычислительной технике) – до | |сверхвысоких (3000 ё 300000 МГц – миллиметровые волны: радиолокация, | |радиоастрономия). В РФ промышленная частота f = 50Гц. | |Мгновенное значение переменной величины есть функция времени. Ее принято обозначать | |строчной буквой: | |i - мгновенное значение тока [pic]; | |u – мгновенное значение напряжения [pic]; | |е - мгновенное значение ЭДС [pic]; | |р- мгновенное значение мощности [pic]. | |Наибольшее мгновенное значение переменной величины за период называется амплитудой | |(ее принято обозначать заглавной буквой с индексом m). | |[pic] - амплитуда тока; | |[pic] - амплитуда напряжения; | |[pic] - амплитуда ЭДС. | |Действующее значение переменного тока | |Значение периодического тока, равное такому значению постоянного тока, который за | |время одного периода произведет тот же самый тепловой или электродинамический эффект,| |что и периодический ток, называют действующим значением периодического тока: | |[pic], | |(3) | | | |Аналогично определяются действующие значения ЭДС и напряжения. | | | |Синусоидально изменяющийся ток | |Из всех возможных форм периодических токов наибольшее распространение получил | |синусоидальный ток. По сравнению с другими видами тока синусоидальный ток имеет то | |преимущество, что позволяет в общем случае наиболее экономично осуществлять | |производство, передачу, распределение и использование электрической энергии. Только | |при использовании синусоидального тока удается сохранить неизменными формы кривых | |напряжений и токов на всех участках сложной линейной цепи. Теория синусоидального | |тока является ключом к пониманию теории других цепей. | |Изображение синусоидальных ЭДС, напряжений | |и токов на плоскости декартовых координат | |Синусоидальные токи и напряжения можно изобразить графически, записать при помощи | |уравнений с тригонометрическими функциями, представить в виде векторов на декартовой | |плоскости или комплексными числами. | |Приведенным на рис. 1, 2 графикам двух синусоидальных ЭДС е1 и е2 соответствуют | |уравнения: | |[pic][pic]. | |[pic] | |Значения аргументов синусоидальных функций [pic] и [pic] называются фазами синусоид, | |а значение фазы в начальный момент времени (t=0): [pic] и [pic] - начальной фазой ( | |[pic][pic]). | |Величину [pic], характеризующую скорость изменения фазового угла, называют угловой | |частотой. Так как фазовый угол синусоиды за время одного периода Т изменяется на | |[pic] рад., то угловая частота есть [pic], где f– частота. | |При совместном рассмотрении двух синусоидальных величин одной частоты разность их | |фазовых углов, равную разности начальных фаз, называют углом сдвига фаз. | |Для синусоидальных ЭДС е1 и е2 угол сдвига фаз: | |[pic]. | | | |Векторное изображение синусоидально | |изменяющихся величин | |На декартовой плоскости из начала координат проводят векторы, равные по модулю | |амплитудным значениям синусоидальных величин, и вращают эти векторы против часовой | |стрелки (в ТОЭ данное направление принято за положительное) с угловой частотой, | |равной w. Фазовый угол при вращении отсчитывается от положительной полуоси абсцисс. | |Проекции вращающихся векторов на ось ординат равны мгновенным значениям ЭДС е1 и е2 | |(рис. 3). Совокупность векторов, изображающих синусоидально изменяющиеся ЭДС, | |напряжения и токи, называют векторными диаграммами. При построении векторных диаграмм| |векторы удобно располагать для начального момента времени (t=0), что вытекает из | |равенства угловых частот синусоидальных величин и эквивалентно тому, что система | |декартовых координат сама вращается против часовой стрелки со скоростью w. Таким | |образом, в этой системе координат векторы неподвижны (рис. 4). Векторные диаграммы | |нашли широкое применение при анализе цепей синусоидального тока. Их применение делает| |расчет цепи более наглядным и простым. Это упрощение заключается в том, что сложение | |и вычитание мгновенных значений величин можно заменить сложением и вычитанием | |соответствующих векторов. | | | |[pic] | | | |Пусть, например, в точке разветвления цепи (рис. 5) общий ток [pic] равен сумме токов| |[pic] и [pic] двух ветвей: | |[pic]. | |Каждый из этих токов синусоидален и может быть представлен уравнением | |[pic]и[pic] . | |Результирующий ток также будет синусоидален: | |[pic]. | |Определение амплитуды[pic] и начальной фазы [pic] этого тока путем соответствующих | |тригонометрических преобразований получается довольно громоздким и мало наглядным, | |особенно, если суммируется большое число синусоидальных величин. Значительно проще | |это осуществляется с помощью векторной диаграммы. На рис. 6 изображены начальные | |положения векторов токов, проекции которых на ось ординат дают мгновенные значения | |токов для t=0. При вращении этих векторов с одинаковой угловой скоростью w их | |взаимное расположение не меняется, и угол сдвига фаз между ними остается равным | |[pic]. | |Так как алгебраическая сумма проекций векторов на ось ординат равна мгновенному | |значению общего тока, вектор общего тока равен геометрической сумме векторов токов: | |[pic]. | |Построение векторной диаграммы в масштабе позволяет определить значения [pic] и | |[pic] из диаграммы, после чего может быть записано решение для мгновенного значения | |[pic] путем формального учета угловой частоты: [pic]. | | | |Представление синусоидальных ЭДС, напряжений | |и токов комплексными числами | |Геометрические операции с векторами можно заменить алгебраическими операциями с | |комплексными числами, что существенно повышает точность получаемых результатов. | |Каждому вектору на комплексной плоскости соответствует определенное комплексное | |число, которое может быть записано в : | |показательной [pic] | |тригонометрической [pic] или | |алгебраической [pic] - формах. | |