|
Реферат: Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне (Математика)
Санкт-Петербургский Государственный Технологический Институт
(Технический Университет)
Кафедра Факультет VIII
Прикладной Курс II
Математики Группа 891
Дисциплина: Информатика – 2
Курсовая работа
Тема: «Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом
стержне»
Руководитель:
Поляков В.О.
Исполнитель:
Солнцев П.В.
Санкт-Петербург 2001
Введение
В решении любой прикладной задачи можно выделить три основных этапа:
- построение математической модели исследуемого объекта
- выбор способа и алгоритма решения полученной модели
- численная реализация алгоритма
Цель данной работы – на примере исследования распределения температуры в
тонком цилиндрическом стержне освоить основные методы приближённых
вычислений, приобрести практические навыки самостоятельных исследований,
существенно опирающихся на использование методов прикладной математики.
Содержание
1. Постановка задачи
1. Физическая модель
2. Математическая модель
2. Обработка результатов эксперимента
1. Задача регрессии. Метод наименьших квадратов.
2. Гипотеза об адекватности модели задачи регрессии
3. Нахождение коэффициента теплоотдачи ?
1. Вычисление интеграла методом трапеций
2. Вычисление интеграла методом парабол (Симпсона)
4. Вычисление времени Т0 установления режима
1. Решение уравнения комбинированным методом
2. Решение уравнения методом итерраций
5. Решение краевой задачи (метод малого параметра)
6. Заключение
Литература
1. Постановка задачи
1. Физическая модель
В ряде практических задач возникает необходимость исследования
распределения температуры вдоль тонкого цилиндрического стержня,
помещённого в высокотемпературный поток жидкости или газа. Это исследование
может проводиться либо на основе обработки эксперимента (измерение
температуры в различных точках стержня), либо путём анализа соответствующей
математической модели.
В настоящей работе используются оба подхода.
Тонкий цилиндрический стержень помещён в тепловой поток с постоянной
температурой ?, на концах стержня поддерживается постоянная температура ?0.
1.2 Математическая модель
Совместим координатную ось абсцисс с продольной осью стержня с началом
в середине стержня. Будем рассматривать задачу (распределения температуры
по стержню) мосле момента установления режима Т0.
Первая математическая модель использует экспериментальные данные, при
этом измеряют температуру Ui стержня в нескольких точках стержня с
координатами xi. Результаты измерения Ui рассматривают как функцию
регрессии и получают статистики. Учитывая чётность U(x) можно искать её в
виде многочлена по чётным степеням x (ограничимся 4-ой степенью этого
многочлена).
(1.1)
Задача сводится к отысканию оценок неизвестных параметров, т.е.
коэффициентов a0 , a1 и a2 , например, методом наименьших квадратов.
Вторая математическая модель, также использующая экспериментальные
данные, состоит в применении интерполяционных формул и может употребляться,
если погрешность измерений температуры Ui пренебрежимо мала, т.е. можно
считать, что U(xi)=Ui
Третья математическая модель основана на использовании закона
теплофизики. Можно доказать, что искомая функция U(x) имеет вид:
(1.2)
где ? - коэффициент теплопроводности, ? - коэффициент теплоотдачи, D –
диаметр стержня, ? - температура потока, в который помещён стержень.
Ищем U(x) как решение краевой задачи для уравнения (1.2) с граничными
условиями:
(1.3)
на отрезке [-L|/2;L/2], где L – длина стержня, ?0 - постоянная
температура, поддерживаемая на концах стержня.
Коэффициент теплопроводности ? зависит от температуры:
(1.4)
где ?0 - начальное значение коэффициента теплопроводности, ?? -
вспомогательный коэффициент.
Коэффициент теплоотдачи ? вычисляют по формуле:
(1.5)
т.е. как среднее значение функции
за некоторый отрезок времени от 0 до Т, здесь ?0 - значение ? при t
стремящемся к бесконечности, b – известный коэффициент.
Время Т0, по истечении которого распределение температуры в стержне
можно считать установившимся определяется по формуле:
(1.6)
где а – коэффициент температуропроводности, ? - наименьший
положительный корень уравнения:
(1.7)
Задание курсовой работы
Вариант № 136
Исходные данные:
1. L = 0.0386 м
2. D = 0,00386 м
3. ? ’ 740 оС
4. ?0 ’ 74 оС
5. ?0 ’ 141,85 (Вт/м*К)
6. ?? ’ 2,703*10-4
7. ? ’ 6,789*10-7
8. ?0 ’ 3,383*102 (Вт/м2*К)
9. ? ’ 218 оС
10. А = 3,043*10-5 (м2/с)
11
|X, м |U, oC |
|0 |353 |
|0,00386 |343 |
|0,00772 |313 |
|0,01158 |261 |
|0,01544 |184 |
|0,01930 |74 |
2. Обработка результатов эксперимента.
2.1 Задача регрессии. Метод наименьших квадратов.
Ищем функцию регрессии в виде (1.1). Оценки коэффициентов находим с
помощью МНК, при этом наименьшими будут оценки, обеспечивающие минимум
квадратов отклонений оценочной функции регрессии от экспериментальных
значений температуры; суммирование ведут по всем экспериментальным точкам,
т.е. минимум величины S:
(2.1)
В нашем случае необходимым т достаточным условием минимума S будут:
Где k = 0, 1, 2. (2,2)
Из уравнений (2.1) и (2.2) получаем:
(2.3)
Сумма
Система (2.3) примет вид:
(2.4)
В результате вычислений получаем Sk и Vj. Обозначим матрицу
коэффициентов уравнения (2.4) через “p”:
Методом Гаусса решаем систему (2.4) и найдём обратную матрицу p-1. В
результате получаем:
Подставляя в (2.1) найденные значения оценок коэффициентов ак, находим
минимальное значение суммы S:
Smin=0.7597
При построении доверительных интервалов для оценок коэффициентов
определяем предварительно точечные оценки.
Предполагается, что экспериментальные значения xi измерены с
пренебрежимо малыми ошибками, а случайные ошибки измерения величины Ui
независимы и распределены по нормальному закону с постоянной дисперсией ?2,
которая неизвестна. Для имеющихся измерений температуры Ui неизвестная
дисперсия оценивается по формуле:
Где r – число степеней свободы системы, равное разности между
количеством экспериментальных точек и количеством вычисляемых оценок
коэффициентов, т.е. r = 3.
Оценка корреляционной матрицы имеет вид:
Оценки дисперсий параметров оценок коэффициентов найдём по формулам:
Где Sk – минор соответствующего диагонального элемента матрицы
нормальной системы;
? - главный определитель нормальной системы.
В нашем случае:
S0=3.5438 10-22
S1=-8.9667 10-14
S2=6.3247 10-7
Откуда:
Найденные оценки коэффициентов распределены по нормальному закону, т.к.
линейно зависят от линейно распределённых экспериментальных данных Ui.
Известно, что эти оценки несмещённые и эффективные. Тогда случайные
величины:
Имеют распределения Стьюдента, а r = 3.
Выбираем доверительную вероятность ?=0,9 и по таблице Стьюдента находим
критическое значение ?? равное 2,35, удовлетворяющее равенству:
Доверительные интервалы для коэффициентов:
(2.4*)
В нашем случае примут вид:
2.2 Проверка статистической гипотезы об адекватности модели задачи
регрессии.
Имеется выборка объёма n экспериментальных значений (xi;Ui).
Предполагаем, что ошибки измерения xi пренебрежимо малы, а случайные ошибки
измерения температур Ui подчинены нормальному закону с постоянной
дисперсией ?2. Мы выбрали функцию регрессии в виде:
Выясним, нельзя ли было ограничиться многочленом второго порядка, т.е.
функцией вида:
(2.5)
C помощью МНК можно найти оценки этих функций и несмещённый оценки
дисперсии отдельного измерения Ui для этих случаев:
Где r1 = 4 (количество точек – 6, параметра – 2).
Нормальная система уравнений для определения новых оценок коэффициентов
функции (2.5)с помощью МНК имеет вид:
(2.7)
Решая эту систему методом Гаусса, получим:
(2.8)
Чем лучше функция регрессии описывает эксперимент, тем меньше для неё
должна быть оценка дисперсии отдельного измерения Ui, т.к. при плохом
выборе функции в дисперсию войдут связанные с этим выбором дополнительные
погрешности. Поэтому для того, чтобы сделать выбор между функциями U(x) и
U(1)(x) нужно проверить значимость различия между соответствующими оценками
дисперсии, т.е. проверить гипотезу:
Н0 – альтернативная гипотеза
Т.е. проверить, значимо ли уменьшение дисперсии при увеличении степени
многочлена.
В качестве статического критерия рассмотрим случайную величину, равную:
(2.9)
имеющую распределение Фишера с(r ; r1) степенями свободы. Выбираем
уровень распределения Фишера, находим критическое значение F*?,
удовлетворяющее равенству: p(F>F*?)=?
В нашем случае F=349.02, а F*?=10,13.
Если бы выполнилось практически невозможное соотношение F>F?, имевшее
вероятность 0,01, то гипотезу Н0 пришлось бы отклонить. Но в нашем случае
можно ограничиться многочленом
, коэффициенты в котором неодинаковы.
3. Нахождение коэффициента теплопроводности ?.
Коэффициент ? вычислим по формуле (1.5), обозначим:
(3.1)
Определим допустимую абсолютную погрешность величины интеграла I,
исходя из требования, чтобы относительная погрешность вычисления ? не
превосходила 0,1%, т.е.:
(3.2)
Т.к. из (3.1) очевидно, что ?>?0, то условие (3.2) заведомо будет
выполнено, если:
(3.3)
Т.е. в качестве предельно допустимой абсолютной погрешности вычисления
интеграла I возьмём ?’0,001Т (3.4)
Т=218 оС, следовательно, ?’0,218 оС.
3.1 Вычисление интеграла I методом трапеции
Использование теоретической оценки погрешности
Для обозначения требуемой точности количества частей n, на которые
нужно разбить отрезок интегрирования [0;T] определяется по формуле:
, где M2’[f”(t)], t e [0;T], f(t)=e-bt3
Учитывая формулу (3.4) получаем:
(3.5)
Дифференцируя f(t), получим:
А необходимое условие экстремума: f”(t)-f’’’(t)=0, откуда получаем:
Далее вычисляем значения f’’(t) при t=t1, t=t2, t=0 и t=T, получаем:
f’’(t1)=1.5886 10-4
f’’(t2)=-1.6627 10-4
f’’(0)=0
f’’(T)=7.4782 10-6
Итак: M2’1,5886 10-4, откуда n=25.66; принимаем N=26.
Далее вычислим интеграл I:
Погрешность вычисления ?:
3.2 Вычисление интеграла I методом парабол
При расчётах будем использовать теоретическую оценку погрешности с
помощью правила Рунге. Для обеспечения заданной точности количество частей
n, на которое следует разделить интервал интегрирования можно определить по
формуле:
, откуда:
Нахождение М4 можно провести аналогично нахождению М2 в предыдущем
пункте, но выражение для fIV(t) имеет довольно громоздкий вид. Поэтому
правило Рунге – наиболее простой способ.
Обозначим через In и I2n значение интеграла I, полученное при разбиении
промежутка интегрирования соответственно на n и 2n интервалов. Если
выполнено равенство: |I2n-In| = 15? (*1), то |I-I2n|=?
Будем , начиная с n=2, удваивать n до тех пор, пока не начнёт
выполняться неравенство (*1), тогда:
(3.6)
Согласно формуле парабол (3.7):
Результаты вычислений сведём в таблицу:
|n |In |I2n |
|4 |102.11 | |
|8 |101.61 |0.5017 |
По формуле (3.7) I = 101,61 что в пределах погрешности совпадает со
значением, полученным по методу трапеций
|n=8 |n=4 |
|ti (8) |y8 |ti (4)|y4 |
|0 |1 |0 |1 |
|27.25 |0.9864 | | |
|54.5 |0.8959 |54.5 |0.8959 |
|81.75 |0.6901 | | |
1090.4151
|136.25 |0.1796 | | |
163.50.0514
|190.75 |0.0089874 | | |
2180.00088179
4. Вычисление времени Т0 установления режима
4.1 Решение уравнения комбинированным методом
Время установления режима определяется по формулам (1.6) и (1.7).
Проведём сначала отделение корней. Имеем y = ctg(x) и y = Ax. Приведём
уравнение к виду: A x sin(x)-cos(x) = 0. Проведём процесс отделения корня.
|F(x) |-1 |-0.6285 |0.4843 |
|x |0.01 |0.05 |0.1 |
т.е. ? с [0.01;0.05]
Убедимся, что корень действительно существует и является единственным
на выбранном интервале изоляции.
f(a) f(b)0 – условие единственности также
выполняется. Проведём уточнение с погрешностью не превышающей ?’10-4
Строим касательные с того конца, где f(x) f”(x)>0
f”(x)=(2A+1)cos(x) – A x sin(x). f”(x)>0 на (a;b), следовательно
касательные строим справа, а хорды слева. Приближение корня по методу
касательных:
по методу хорд:
Вычисление ведём до того момента, пока не выполнится условие:
Результаты вычислений заносим в таблицу:
|n |an |bn |f(an) |f(bn) |
|0 |0.05 |0.1 |-0.6285 |0.4843 |
|1 |0.07824 |0.08366 |-0.0908 |0.0394 |
|2 |0.08202 |0.08207 |-9.1515 10-4 |3.7121 10-4 |
|3 |0.08206 |0.08206 |-8.4666 10-8 |3.4321 10-8 |
Т0 = 72,7176 секунд.
4.2 Решение уравнения комбинированным методом
Приведём f(x) = 0 к виду x = ?(x). Для этого умножим обе части на
произвольное число ?, неравное нулю, и добавим к обеим частям х:
X = x - ? f(x)
?(x) ’ x - ? A x sin(x) + ? cos(x)
В качестве ? возьмём:
где М = max [f’(x)] на [a;b], а m = min [f’(x)] на [a’b]
В силу монотонности f’(x) на [a;b] имеем m = f’(а), М = f’(b). Тогда ?
’ 0,045.
Приближение к корню ищем по следующей схеме:
Вычисление ведём до тех пор, пока не выполнится условие:
(q = max |?’(x)| на [a’b])
?’(x) на [a’b] монотонно убывает, поэтому максимум его модуля
достигается на одном из концов.
?’(0,05) = 0,3322 ?’(0,1) = -0,3322, следовательно, q =
0.3322 < 1. В этом случае выполняется условие сходимости и получается
последовательность:
|i |xi |?( xi) |? xi |
|0 |0.075 |0.082392 |0.00739 |
|1 |0.082392 |0.082025 |0.000367 |
|2 |0.082025 |0.08206 |3.54 10-5 |
|3 |0.08206 |0.082057 |3.33 10-6 |
|4 |0.082057 |0.082057 |3.15 10-7 |
Итак, с погрешностью, меньшей 10-4, имеем:
Т0 = 72,7176 с. , ? ’ 0.03142
5. Решение краевой задачи
Используем метод малого параметра. Краевую задачу запишем в виде:
(5.1)
Введя новую переменную y = (U - ?0)/(? - ?0), запишем (5.1) в виде:
(5.2)
? ’ ??(? - ?0) ’0.18, L/2 =0.0193. В качестве малого параметра возьмём
?.
Тогда, подставив y(x) в уравнение (5.2) и перегруппировав члены при
одинаковых степенях ?, получим:
(5.3)
Ограничимся двумя первыми членами ряда:
Из (5.2) и (5.3) находим общее решение уравнения для y0:
где y0 с тильдой – частное решение данного неоднородного уравнения;
y(1) и y(2) – линейно независимые решения однородного уравнения.
Корни уравнения:
y0общ = 1 + c1ch(px)+c2sh(px), где p = 0.01953
Константы найдём из граничных условий:
откуда с1 = 0, с2 = -0,57; т.е. имеем функцию:
y0 = 1 - 0.57 sh(px)
Общее решение:
Частное решение:
Дифференцируя и подставляя в уравнение, получим:
А1 = 0; А2 = -0,1083; В1 = 0; В2 = 17,1569;
Тогда общее решение для y1 имеет вид:
с3 = 0; с4 = 0,0462
Перейдя к старой переменной U, получим:
?0 ’ 0; ?1 ’ -374.11; ?2 ’ -12.9863; ?3 ’ 2057
Итоговое уравнение:
Пользуясь этой формулой, составим таблицу значений функции U(x):
|x |U(x) |U |
|0 |352.9075 |353 |
|0.0019 |350.4901 | |
|0.0039 |343.1972 |343 |
|0.0058 |330.9053 | |
|0.0077 |313.4042 |313 |
|0.0097 |290.391 | |
|0.0116 |261.4598 |261 |
|0.0135 |226.0893 | |
|0.0154 |1836255 |184 |
|0.0174 |133.2579 | |
|0.0193 |74 |74 |
Используя данную таблицу, строим график функции U(x).
[см. приложение 1]
6. Заключение
Решение задачи на ЭВМ при помощи вычислительной системы ManhCad 7.0 дало
результаты (функцию распределения температуры в тонком цилиндрическом
стержне), полученные по решению практического задания и обработкой
эксперимента (функции регрессии), которые практически (в пределах
погрешности) совпадают с экспериментальными значениями.
Литература
1. Методические указания «Методы приближённых вычислений. Решение
нелинейных уравнений»
(ЛТИ им. Ленсовета, Л. 1983)
2.Методические указания «Приближённые методы ислисления определённых
интегралов»
(ЛТИ им. Ленсовета, Л. 1986)
Методические указания «Изучение распределения температуры в тонком
цилиндрическом стержне»
(ЛТИ им. Ленсовета, Л. 1988)
Приложение 1
-----------------------
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Реферат на тему: Исследование свойств прямоугольного тетраэдра
Общеобразовательная муниципальная
средняя школа №5
ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТЕТРАЭДРА
Автор работы:
Андреева Елена Валерьевна
ученица 11 «б» класса
Научный руководитель:
Солдаткина Клавдия Дмитриевна
Учитель математики
Город Кузнецк, 2004 год
ПЛАН.
І. Объект исследования.
ІІ. Цель исследования.
ІІІ. Доказательства свойств прямоугольного тетраэдра.
ІV. Практическое применение свойств прямоугольного тетраэдра.
V. Использованная литература.
І. ОБЪЕКТ ИССЛЕДОВАНИЯ
В работе впервые вводится понятие «Прямоугольный тетраэдр». Тетраэдр-
многогранник, содержащий 4 грани. Тетраэдр является треугольной пирамидой и
содержит 4 трёхгранных угла (рис. 1) Трёхгранный угол- фигура,
образованная тремя плоскостями (гранями), имеющими общую точку (вершину)
(рис 2) [1,2].
О О
А В
А В
С С
Рис. 1 Тетраэдр.
Рис. 2 Трёхгранный угол.
Трёхгранный угол содержит три плоских угла, образованных рёбрами,
лежащими на одной грани. Введем понятие прямого трехгранного угла. Назовем
прямым трёхгранным углом трехгранный угол, содержащий три прямых плоских
угла (рис3), т.е. рёбра трёхгранного угла взаимно перпендикулярны. Введем
также понятие прямоугольного тетраэдра. Тетраэдр называется прямоугольным,
если содержит прямой трёхгранный угол (рис 4).
А
А
В
В
О О
С
Рис. 3 Схема прямого
Рис. 4 Схема прямоугольного
трёхгранного угла,
тетраэдра.
Введем также понятия катетных граней, гипотенузной грани,
катетов и гипотенуз прямоугольного тетраэдра. Прямоугольный тетраэдр
содержит три катетные грани (грани, содержащие прямой плоский угол) и
гипотенузную грань (не содержащую прямой угол). Прямоугольный тетраэдр
содержит три катета (рёбра прямого трёхгранного угла) и три гипотенузы
(рёбра, лежащие на гипотенузной грани). Тетраэдр, катеты которого равны,
назовем равнокатет-ным.
ІІ. ЦЕЛЬ ИССЛЕДОВАНИЯ
Установление или доказательство свойств прямоугольного тетраэдра
Актуальность темы: прямоугольный тетраэдр является простейшей
геометрической фигурой, обладающей уникальными свойствами. Изучение этих
свойств в школьном курсе математики должно способствовать развитию
абстрактного и логического мышления у учащихся.
ІІІ. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА [pic] СВОЙСТВ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТЕТРАЭДРА.
I. Квадрат площади гипотенузной грани равен сумме квадратов площадей
катетных граней.
А
Дано:
ОАВС - прямоугольный тетраэдр
SОАВ= S1 SABC= S
[pic]SOBC= S2 SOAC= S3 В
Доказать: О
D
SІ=S1І+S2І+S3І
С
Доказательство.
Пусть AD- высота гипотенузной грани АВС, проведённая к ребру ВС из
вершины А,
ОD- проекция AD на катетной грани ОВС, OD
перпендикулярно ВС, т.к. AD перпендикулярно ВС и АО перпендикулярно ОВС
(обратная теорема о трёх перпендикулярах). SABC= 1/2 BC(AD
SOBC=1/2 BC(OD
SOAB =1/2 OA(OB
SOAC=1/2OA(OC
SІ OBC+S ІOAB +S ІAOC= 1/4(BCІ(ODІ+OAІ(OBІ+OAІ(OCІ)=
=1/4(BCІ(ODІ+OAІ(OBІ+OCІ))=1/4(BCІ(ODІ+OAІ(BCІ), т.к.
ОВІ+ОСІ=ВСІ (по теореме Пифагора)
SІOBC+SІOAB+SІOAC=1/4 BCІ(ODІ+OAІ)=1/4 BCІ(ADІ , т.к.
ODІ+OAІ=ADІ (по теореме Пифагора)
т.е. SІOBC+SІOAB+SІOAC=SІABC
SІ1+SІ2+SІ3=SІ, что и требовалось доказать.
II. Сумма квадратов гипотенуз равна удвоенной сумме квадратов катетов.
Дано: А
ОАВС- прямоугольный тетраэдр
где а , b , с - катеты. В
АВ, ВС и АС- гипотенузы а
Доказать: b
АВІ+ВСІ+АСІ=2(аІ + b І +сІ)
Доказательство.
О
АВІ = аІ + b І
с С
ВСІ = b І + сІ (по теореме Пифагора)
АСІ = аІ + сІ
АВІ + ВСІ + АСІ =2аІ + 2 b І +2сІ , что и требовалось доказать.
III. Объём прямоугольного тетраэдра равен 1/6 произведения катетов.
А
Дано:
ОАВС - прямоугольный тетраэдр
а , b , с - катеты. В
Доказать:
а b
V=(1/6) а · b · с
Доказательство. О С
с
Поскольку тетраэдр является треугольной пирамидой, его объём
V=(1/3 )Sосн · h
Выберем в качестве основания катетную грань ОВС, тогда катет а
будет высотой тетраэдра, т.к. а перпендикулярен ОВС, т.е.
V=(1/3) SOBC· а , т.к.SOBC=(1/2) b
·.с
Имеем V=(1/6) а · b · с, что и требовалось доказать.
IV. Расстояние от вершины прямого трёхгранного угла до гипотенузной
грани определяется по формуле:
_______________
h = (a?b?c)/?aІ·bІ + bІ·cІ + aІ·cІ
где a, b, c – катеты тетраэдра
Дано: А
ОАВС- прямоугольный тетраэдр
ОА = а, ОВ = b, ОС = с катеты Д
ОД = h – перпендикуляр к грани
АВС а
h В
Доказать: b
____________ О
h = (a·b·c) / ?aІbІ+bІcІ+aІcІ с С
Доказательство.
Объем тетраэдра:
V = (1/3)SАВС·h
C другой стороны: V = (1/6)abc (свойство 3 прямоугольного тетраэдра).
Следовательно,
h = (abc) / (2SАВС)
Из первого свойства прямоугольного тетраэдра:
___________________
SАВС = ?ЅІОАВ + SІОВС + SІ ОАС
____________
т.е. SАВС = (1/2)?aІbІ+bІcІ+aІcІ
Следовательно,
____________
h = (abc) / ?aІbІ+bІcІ+aІcІ , что и требовалось
доказать.
V. Косинусы направляющих углов нормали к гипотенузной грани
определяются по формулам:
____________
cos ? = h / a= (bc) / ?aІbІ+bІcІ+aІcІ
____________
сos ? = h / b = (ac) / ?aІbІ+bІcІ+aІcІ
____________
cos ? = h / c= (ab) / ?aІbІ+bІcІ+aІcІ
где a, b, c – катеты тетраэдра;
? – угол между катетом а и нормалью
? – угол между катетом b и нормалью
? – угол между катетом с и нормалью.
h – нормаль
Дано:
ОАВС - прямоугольный тетраэдр.
ОА = а, ОВ = b, ОС = с - катеты
ОД = h – нормаль к грани АВС А
Доказать: Д
____________
cos ? = (bc) / ?aІbІ +bІcІ +aІcІ h
____________ а В
cos ? = (ac) / ?aІbІ +bІcІ +aІcІ ?
b
____________ ?
cos ? = (ab) / ?aІbІ +bІcІ +aІcІ
?
С
О с
Доказательство.
Соединим точку Д с точкой А и получим прямоугольный треугольник ОАД
cos ? = ОД/ОА = h/a
____________
Поскольку h = (abc) / ?aІbІ+bІcІ+aІcІ
____________
cos ? = (bc)/?aІbІ+bІcІ+aІcІ , что и требовалось доказать.
Аналогично:
____________
cos ? = ОД/ОВ = d/b = (ac)/?aІbІ+bІcІ+aІcІ
____________
cos ? = ОД/ОС = d/c = (ab)/?aІbІ+bІcІ+aІcІ
VI. Радиус сферы, описывающей прямоугольный тетраэдр, определяется по
формуле:
________
R = ( Ѕ) · ?aІ+bІ+cІ
где a, b, c – катеты тетраэдра
К L
Дано:
ОАВС- прямоугольный тетраэдр А М
ОА = а, ОВ = b, ОС = с – катеты
R – радиус сферы, описывающей
тетраэдр.
Доказать: а
_______ В Д
R = (1/2)?aІ+bІ+cІ b
О
Доказательство. с С
На базе прямоугольного тетраэдра
ОАВС достраиваем прямоугольный параллелепипед ОВДСАКЛМ. Диагонали
прямоугольного параллелепипеда являются диаметрами описывающей его сферы,
т.к. центр симметрии прямоугольного параллелепипеда совпадает с центром
описанной сферы т.е.:
_______ _____
________
КС = D = ?aІ+bІ+cІ (ВС = ?bІ+cІ , ВК = а, КС = ?ВСІ+ВКІ
)
Поскольку данная сфера одновременно описывает прямоугольный
тетраэдр, имеем:
_______
R = (1/2)D = (1/2)?aІ+bІ+cІ,
что и требовалось доказать.
VII. Радиус сферы, вписанной в прямоугольный тетраэдр, определяется по
формуле:
abc
r = ____________ ,
?aІbІ+bІcІ+aІcІ + ab + bc + ac
где a, b, c - катеты тетраэдра.
Дано: ОАВС - прямоугольный тетраэдр
ОА = а, ОВ = b, ОС = с – катеты. О1 – центр вписанной сферы
r - радиус вписанной сферы
Доказать:
r = h / (1 + cos? + cos? + cos?)
[pic]
Доказательство: Пусть вписанная сфера касается гипотенузной грани в точке
Д. Тогда О1Д перпендикулярна гипотенузной грани и О1Д = r.
_ _
Пусть do - единичный вектор нормали к гипотенузной грани, т.е. |dо| = 1
Координаты этого единичного вектора (cos ?; cos ?; cos ?) являются
направляющими косинусами нормали к гипотенузной грани.
__
Найдем проекцию вектора ОО1 с координатами (r; r; r) на вектор нормали:
___
__
ОК = |ОО1|cos? , где ? – угол между вектором ОО1 и вектором нормали.
___ __ _ __ _
|OO1|cos? = (OO1·do) = r·cos? + r·cos? + r·cos? , где (ОО1·dо) –
скалярное произведение двух векторов.
Пусть перпендикуляр к гипотенузной грани ОН = h,
тогда h = OK + KH, т.е.
h = |OO1|cos? + r, т.к. КН = r
(поскольку КНДО1 является прямоугольником).
Имеем
h = r cos? + r cos? + r cos? + r
т.е.
r = h / (1 + cos? + cos? + cos?)
С учетом 4-го и 5-го свойств прямоугольного тетраэдра имеем полную формулу:
____________
(abc)/? aІbІ+bІcІ+aІcІ abc
r = ____________ =
____________ ,
1 + (bc + ac + ab) / ?aІbІ+bІcІ+aІcІ ?aІbІ+bІcІ+aІcІ +
ab + bc + ac
VIII. Свойства равнокатетного прямоугольного тетраэдра.
А
Дано:
ОАВС -прямоугольный тетраэдр
ОА = ОВ = ОС = а – а
катеты В
Доказать, что гипотенузная а
грань является правильным
треугольником и косинусы О Д
двугранных углов между
гипотенузной гранью и катетными а
гранями равны С
___
?1/3
Доказательство.
Стороны гипотенузной грани находим по теореме Пифагора:
_________ __
АС = ? ОАІ +OCІ = ?2 а
_________ __
АВ = ? ОАІ +OBІ = ?2 а
_________ __
ВС = ? ОВІ + ОСІ = ?2 а
т.е. треугольник АВС равносторонний или правильный, что и требовалось
доказать.
Проведем отрезок АД перпендикулярно ВС. Отрезок ОД является проекцией
отрезка АД на грань ОВС и поэтому ОД будет перпендикулярен ВС по теореме о
трех перпендикулярах. Следовательно, угол ОДА является линейным углом
двугранного угла между гранями ОВС и АВС
Поскольку АД является высотой правильного треугольника АВС:
_ _ _ ___
АД = (?3/2)АВ = (?3/2)?2 а = ?3/2 а
ОД является высотой равнобедренного прямоугольного треугольника ОВС,
опущенной с вершины прямого угла. Следовательно:
_
ОД = а/?2
Косинус двугранного угла: __
сos _ОДА = ОД/АД = 1/?3 , что и требовалось
доказать.
Результаты исследования: исследования позволили установить свыше 8
важнейших свойств прямоугольного тетраэдра. Поскольку эти исследования
проводились впервые, все полученные результаты обладают научной новизной.
Формула, устанавливающая связь между площадями граней прямоугольного
тетраэдра, является аналогом теоремы Пифагора для трехмерных фигур и
поэтому имеет большую теоретическую значимость.
ІV. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТЕТРАЭДРА
Результаты исследований можно использовать при решении задач на
факультативных занятиях по темам «Пирамида» и «Прямоугольный
параллелепипед» в средней школе. С использованием свойств прямоугольного
тетраэдра можно найти более рациональные и упрощенные варианты решения
задач по сравнению с традиционными методами.
Например: задача №96 (стр.131) учебного пособия: В.М.Клопский,
З.А.Скопец, М.И.Ягодовский. Геометрия.-М.: Просвещение, 1979.
Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с катетами а и b,
высота пирамиды проходит через вершину прямого угла основания и равна Н.
Найти площадь полной поверхности.
А
Дано:
ОАВС- пирамида,
основанием является прямоугольный H
треугольник ОВС с катетами а и b В
ОА = Н, высота.
Найти:
b
S полн. О Д
а
С
1) Решение по традиционной схеме:
S полн. = SАОС + SАОВ + SВОС + SАВС
SАОС = (1/2)аН; SАОВ = (1/2)bН; SВОС = (1/2)аb;
Найдем основание и высоту боковой грани АВС с помощью теоремы Пифагора:
______ ________
ВС = ? аІ +bІ ; АД = ? ОДІ +НІ , где ОД – проекция высоты АД на
основание ВОС.
Поскольку ОД _ ВС, из подобия треугольников ВОС и ВОД имеем:
______
ОД/ b = а/ВС или ОД = (аb)/ВС = (аb)/ ? аІ +bІ
Следовательно, _______________
________________________
АД = ? (аb)/( аІ +bІ) + НІ = ?[(аb)І +(bH)І
+ (аH)І]/( аІ +bІ)
_________________
В результате получаем SАВС= (1/2) ? (аb)І +(bH)І + (аH)І
_________________
Cледовательно, S полн.= (1/2) [? (аb)І +(bH)І + (аH)І + аН + bН + аb]
2)Решение с использованием первого свойства прямоугольного тетраэдра:
S полн.= SАОС + SАОВ + SВОС + SАВС
SАОС = (1/2)аН; SАОВ = (1/2)bН; SВОС = (1/2)аb;
___________________ _________________
SАВС= ? SАОС І + SАОВІ + SВОС І = (1/2)? (аb)І +(bH)І + (аH)І
_________________
Cледовательно, S полн.= (1/2)(? (аb)І +(bH)І + (аH)І + аН + bН + аb)
Задача №280 (стр.76) учебного пособия: Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов,
С.Б.Кадомцев и др. Геометрия.-М.: Просвещение, 1994.
Ребро куба равно а. Найти площадь сечения, проходящего через диагонали
двух его граней
К L
Дано:
ОВДСАКLM - куб А М
ОА = а, ОВ = b, ОС = с – ребра
?АВС – сечение куба плоскостью, прохо-
дящей через диагонали смежных а
граней. В Д
Найти:
а
SАВС О
а С
1) Решение по традиционной схеме:
Найдем стороны сечения АВС с помощью теоремы Пифагора:
______ __
АС = АВ = ВС = ? аІ + аІ = ?2 а
Площадь правильного треугольника АВС найдем по формуле:
_ _
_
SАВС= (?3/4)(АС)2 , т.е. SАВС= (?3/4)(2а2) = (?3/2)а2
2)Решение с использованием первого свойства прямоугольного тетраэдра:
SАОС = SАОВ = SВОС = (1/2)а2 (поскольку тетраэдр
равнокатетный);
___________________
SАВС= ? SАОС І + SАОВІ + SВОС І
_________ _
Cледовательно, SАВС= (1/2) ? аІ + аІ + аІ = (?3/2)а2
V. Список использованной литературы:
1. М.Я.Выгодский. Справочник по элементарной математике. Изд. 6-е,
Гостехиздат, М.-Л., 1952.
2. А.П.Киселев. Геометрия. Учебник для средней школы, ч.1 и 2.- М.:
Учпедгиз 1951.
3. Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. Геометрия. Учебник для
средней школы.-М.: Просвещение, 1994.
| |
